log. sin. -J Z E' E
i ZEE' = 54® 16 0".5 et Z' E'E = 108» 32’ 1"
log. tang. a 9.5181855
log. sin. M 9.9841409
comp. log. sin.(<f’ — M) 1.8814683
log. lang. PE'E. 1.3837947 et PE'E=87» 38' 1"
Différence (Z E'E — PE'E)=20° 54' log. cos. 0.9704419
log. tangd' 0.5830695
d’où
log. tang. N 0.5535114
N = 74° 22' 50" comp log. cos. N 0.5698497 A' = 60°
A'-fN = 134° 22' 50' log. sin. (A'-fN) 9.8542329
log. cos. d' 9.4026017
log. sin. L 9.8266843
Latitude L=42° 8' 23"
COORDONNEES GEOGRAPHIQUES. 385
On peut encore employer celte méthode en n’observant que deux hauteurs d’nn même astre, dn soleil, par exemple, à deux époques dilîérentes de la journée, l’angle a est alors donné par l’intervalle de temps qui s’écoule entre les deux observations. On l’évalue le plus exactement qu’il est possible à l’aide d'une bonne montre.
Si l'on faisait usage de celte dernière méthode à la mer, il faudrait avoir egard au chemin fait par le vaisseau dans l’intervalle des observations, ainsi qu’à l’aire de vent suivie, c’est-à-dire ramener d’abord la première observation à ce qu’elle aurait été si on l’avait faite au même point que la seconde.
n étant le nombre de noecds ou de minutes de degrés courus entre la première et la seconde observation, Q l’angle formé par la direction de la route et la ligne du relèvement du côté du soleil, n' le nombre de minutes qu’il faut ajouter, ou ôter à la première hauteur observée, on a
n'=:ncos. Q,
et suivant que Q est < ou > que l’angle droit, n’ est additif ou soustractif.
Supposant que dans l’exemple ci-dessus, la première hauteur vraie ait été 51° 2' 18", que le vaisseau ait parcouru 5 nœuds pendant l’intervalle des observations, que Q ait été de 123<> 45’
On aurait log. 5' 0.69897
log. cos. Q 9.74474
log. n' 0.44371 n' soustractif = 0® 2' 48"
Cette valeur de h est celle qui a été introduite dans le calcul cidessus et la latitude trouvée = 42° 8' 23" serait celle du vaisseau à l’instant de la seconde observation.
Longitude. La longitude d’un lieu est l’arc de l’équateur qui mesure l’angle formé au pôle par le méridien du lieu et par celui qui passe par l’Observatoire de Paris dont la longitude est 0.
La longitude se compte depuis 0 jusqu’à 180® du côté de l’orient et du côté de l’occident.
La longitude d’un point de la terre est immédiatement donnée par la différence des heures que l’on compte en ce point et à l’Observatoire de Paris, précisément au même instant. Cette différence d’heure, en vertu de la rotation de la terre , correspond en effet à un arc de
15 degrés pour 1 heure (temps moyen) ,
15 minutes de degrés pour 1 minute de temps,
1 5 secondes de degrés pour 1 seconde de temps.
386 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES.
En général, pour convertir le temps en arc, on réduira les heures en minutes de temps, on les ajoutera aux minutes que l’on axait déjà, on mettra respectivement les indices degrés <>, minutes ' de degrés, seconde " de degré aux minutes ', secondes"., tierces de temps que l’on avait et l’on prendra le quart du tout.
I b«tir« 55i 54" — us’ 54" de temps, deviennent — - — d’arc = 28° 58' 30" d’arc.
Réciproquement pour convertir des arcs d'équateur en temps , on mettra respectivement les indices minutes ’ de temps, secondes " de temps, tierces de temps à la place des indices de degré » minutes ' do degré, secondes " de degré, et l’on multipliera par 4.
47° 35' 28" d'équateur deviennent (47’ 35" 28'") 4 de temps = 188' 1401' 112"' = 3" 10' 21" 52'", ce qui revient à compter :
4 minutes de temps moyen pour 1 degré d’arc,
4 secondes de temps pour 1 minute d’arc,
4 tierces de temps pour 1 seconde d’arc.
La Connaissance des temps donne plusieurs années à l’avance les heures exactes que l’on comptera à l’Observatoire de Paris, au moment même où l’on pourra observer de différents points du globe certains phénomènes célestes. Si l’on possède la connaissance des temps, la détermination de la longitude d’un lieu revient alors à trouver I’hbcre en ce lieu au moment précis du phénomène, cl à faire la réduction du temps en arcs, indiquée ci-dessus; si l’on n’a point la connaissance des temps, il faut un chronomètre réglé sur l'Observatoire et dont on connaisse bien la marche.
Les phénomènes célestes qui servent à résoudre le problème des longitudes peuvent être une éclipse de lune, une éclipse de satellite, une occultation d’étoile, un fait quelconque d’une durée sinon instantanée du moins fort courte. De là, plusieurs méthodes. Nous ne développerons ici que celles dont l’ingénieur puisse faire usage.
Longitude par le chronomètre. 1*> déterminer I’hkure du lieu dont on cherche la longitude; 2° prendre la différence de cette heure à celle marquée par le chronomètre réglé sur le temps de Paris; convertir celle différence en degrés, minutes et secondes d’arcs. La longitude sera orientale ou occidentale, suivant que l’heure du lieu avancera ou retardera sur l'heure moyenne, comptée à Paris. (Voyes heure pour la vérification du chronomètre.)
Par les éclipses ou les occultations. Ces phénomènes, ou sont trop rares pour être une ressource, ou ils exigent des observations délicates et des instruments très précis, ou ils entraînent à des calculs assez pénibles. Nous renvoyons aux traités spéciaux.
COORDONNEES GEOGRAPHIQUES 387
Par la milhode dite de Borda. Cette méthode convient à terre comme en mer. Elle revient toujours à comparer les heures comptées dans deux lieux éloignés, au même instant, ou plus exactement à des instants très peu différents. Le phénomène instantané, ou supposé tel, est ici la distance, à un certain instant, des centres de la lune et du soleil, ou de la lune et d’une étoile. L’idée première de celte méthode parait appartenir à Reineras Gemma, médecin hollan dais, mort en 1555.
La distance du centre de la lune au soleil, et à diverses étoiles, est donnée, pour Paris, de trois heures en trois heures dans la connaissance des temps.
Soient donc :
HO l’horizon et Z le zénith,
A =H L la hauteur apparente de la lune,
A' = OS la hauteur apparente du soleil ou de l’étoile au même instant,
H = HL' la hauteur vraie de la lune,
H'=OS' la hauteurvraiedu soleil ou de l’étoile au même instant,
H' et H' sont A et A' corrigées de la réfraction de la parallaxe et de la dépression s’il y a lieu,
D = LS la distance apparente des centres des astres au même instant.
A = L' S' la distance vraie des centres des astres au même instant,
ZL = 90° — A Z L' = 90° — H
Faisant A -f- A' — (— D = S , le triangle LZS donne ( voyez Géométrie),
Cos. Z =
cos. 1) — sin. h «in. 4' co«. h co«. K'
388 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES
Le triangle L' Z S’ donne
Cos. Z =
cos. A — sin. H «in. Hcos. H cos. H'
d’où
Sin. cos* i (H4-H0 — -V H c°8’ cos. i S cos. MS — D).
cos. h cos. h' '
Pour rendre celte formule propre au calcul logarithmique. Borda fait
I //c°*-Hcos.H-Xcos.iScos.(iS — D)\ V V cos. A cos. h' )
d’où
cos. i(H-fH')
Sin. iA = cos.i (H+H')cos. M
= sin. M
Lorsque l’on aura obtenu la distance vraie A des centres des astres pour le moment de l’observation, on cherchera l’heure vraie de Paris, A l’instant où A a lieu, ce qui revient à
1° Prendre dans la Connaissance des temps , où les distances des centres sont données de trois heures en trois heures (10800"), la distance p pour ce jour qui soit < A ; et la distance q > A ; 2° à ajouter, à l’heure qui y correspond à p, un temps t donné par la proportion
Enfin , l’on calculera l’heure vraie du lieu de l’observation pour le même instant, au moyen de son anglb horaire a par la formule
Sin. j a
cos. \ (d+R'+l) sin. \ (d-f-t — H1) Sin. d cos. I
dans laquelle d — distance polaire, H' = hauteur vraie du centre 1= latitude.
Et la différence des heures, convertie en temps, donnera la longitude.
Une application rendra tout ceci plus clair.
Application. L’on a observé la distance des bords les plus voisins du soleil et de la lune, il est clair que pour avoir D, distance des centres, il faut ajouter à la distance observée, d’une part, le demidiamètre du soleil, de l’autre, le demi-diamètre de la lune après les avoir corrigés
COORDONNEES GEOGRAPHIQUES. 389
Soit, tontes corrections faites , D = 1 1 6° 39' 44".
On a pris la hauteur du bord inférieur du soleil au-dessus de l’horizon de la nier, étant à 5m. au-dessus du niveau de la mer, on a trouvé 18° 40' 55"
Retranchant pour la dhprbssiom 4' 19"
Il reste 18» 36' 36"
Ajoutant le demi-diamètre du soleil 15' 56"
On a, A' = hauteur apparente du soleil 18° 52' 32"
Ou sensiblement A' = 18° 52' 30"
H' s’obtiendra en corrigeant A' de la réfraction, et de la parallaxe on a A' = 18° 52' 30"
On ôtera pour réfraction 155" 6
On ajoutera pour parallaxe 8"
Ou l’on retranchera différence 141" 6=2' 28"
H' = hauteur vraie du soleil =18° 50' 2"
La hauteur observée du bord inférieur de la lune a été trouvée de
Otant pour dbprbssioh duc à 5 mètres 4' 19"
Ajoutant demi-diamétre lune corrigé 15' 43"
On a, pour A = hauteur apparente, lune 44« 26' 49"
Ou sensiblement et plus simplement 44° 26' 50"
H se tire de A en le corrigeant de réfraction et parallaxe, et celleci doit d’abord être calculée à l’aide de la parallaxe horizontale.
On trouverait, par exemple. A étant 44° 26' 50"
Parallaxehorizont«.56'56"Xcos.hautr. apparente 0« 40' 39"
Otant réfraction 55"
H = hauteur vraie centre lune 45° 6' 34"
390 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES.
Calcul de sin. M.
Posant D=I16° 39' 40" pour faciliter le calcul quitte à ajou
ter 4" à A,
h'— 18° 52* 30" comp. log. cos. h' 0.0240048
h = 44° 26' 50" comp. log. cos. h 0.1463652
S=I79® sa'
J S = 89» 59° 30” log. COS.JS 6.1626961
(JS — D)= 26° 40' 10" log. COS. (JS — D) H'=18° 50' 2" log. cos. H H =45° 6' 34" log. cos. H'
H-fH' 63® 56' 36" log. du
i(H + H')— 31® 58' d’où M=0® 45' 57"
Prenant la moitié 18" log. cos 4 (H-j-H'j Log. sin. M
Calcul de A.
Log. cos. i(H-j-H') 9.9985546
Log. cos. M 9.9999610
Log. sin. 4 A 9.9285156
d’où ±A= 58» 1' 12"
doublant 116® 2’ 24"
restituant 4"
On aA=rll6° 2' 28" pour la distance vraie des centres des astres vus du centre de la terre.
Calcul de l’heure vraie pour Paris.
! différence*
1403" log.(A — p) 3.1470577
La connaissance t
des temps donne, f
pourcejour,à6l>. >5404" comp. log.
je suppose. . . . p=115®39' 5"l ( q — p) 6.2672847
log. 10800" const'. 4.0334238 log. t 3.4477662
COORDONNEES GEOGRAPHIQUES. 391
d’où / = 2804" = 0b. 46' 44"
heure pour laquelle la distance était p. . . . 6".
Heure vraie de Paris 611. 46' 44"
Calcul de l’heure vraie du lieu de l'observation pour le mime instant, en fonction de l’angle horaire a.
On a distance polaire = d = 90° — déclinaison. La déclinaison se lire de la connaissance des temps qui la donne chaque jour pour midi, et on la calculerait, par interpolation, pour l’heure trouvée cidessus 6b. 46' 44".
Soit cette déclinaison ainsi calculée 13° 40'
On a distance polaire pour la même heure </= 76° 20'
Soit/ =16° 10', on a trouvé H' =18° 50' 2"
d’où
l = 16° 10' 0" comp. log. cos. I 0.0175226
d = 76° 20' comp. log. sin. d 0.0124727
ir -f /-frf =m° 20' 2"
i (e/|/+H')= 55° 40’ 1" log. cos. i (d-f/-f-H') 9.7512811
{ (rf-j-f— H'b= 36° 49' 50" log. sin. i(d-fJ-H') 9.7777787
Log. sin. J « = moitié = 9.7795280
d’où i a — 37° 0' 23"
a = 74° 0' 46" qui
converti en temps donne
heure vraie du lieu de l’observation 4h 56' 3" 4"'.
Calcul de la longitude par la différence des heures.
On a trouvé
Heure vraie de Paris au moment de l’observation 6b 46' 44" Heure vraie du lieu de l’observation au même instant 4*1 56' 3"
Dilïérence de longitude en temps lü 50' 41" Donc, la longitude cherchée est occidentale cl = 27° 40’ 15"
Remarque. Les observations qui fournissent les données du calcul des longitudes exigent ordinairement deux et même trois observateurs; si l’on ne pouvait se faire seconder, il faudrait procéder comme suit :
392 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES.
1° Prendre la hauteur du bord inférieur de la lune et immédiatement la hauteur du bord inférieur du soleil en notant, avec la plus scrupuleuse attention, l’heure de chacune de ses observations donnée par une montre à secondes ;
2# Prendre la distance D du bord éclairé de la lune au bord le plus voisin du soleil; noter, d'après la montre, l’heure de l'observation ;
3° Prendre une seconde hauteur du soleil et immédiatement une seconde hauteur de la lune, en notant encore l'heure de chaque observation ;
4° Ramener toutes les observations à ce qu’elles auraient été si on les avait faites au moment où l’on a observé D, et ce, par la méthode dont je donne un exemple simple.
Soient beurct
Première hauteur du bord de la lune
lh
Première hauteur du bord du soleil
Distance du soleil à la lune
Seconde hauteur du soleil
Seconde hauteur de la lune
Il faut tout ramener à l’heure 2b. 8' 56", ou sensiblement 2b. 9' de la montre.
Or, on posera pour la lune la proportion
Excès d de li : dernière hauteur sur la moyenne.
Retranchant cet excès de la dernière hauteur, on a 37° 13' 21" pour la hauteur du bord de la lune réduite à l’heure où l’on a observé D.
On trouverait de môme qu’il faut ajouter 1° 33' 48” à la dernière hauteur du soleil, de sorte que le problème est ramené au cas où trois observateurs auraient obtenu les données suivantes vers les 2h. 9' do la montre. Ce sont ces données qu’il faudrait livrer au calcul.
Hauteur du bord de la lune 37° 13' 21"
Hauteur du bord du soleil 59° 19' 46"
Distances des bords voisins au môme instant 82° 42' 50"
Que si, au lieu de la distance de la lune au soleil, on calculait la longitude par la distance de la lune h une étoile, le calcul se conduirait d'une manière analogue, mais I’anglb horairk de l’étoile ne
donnant pas directement l’heure vraie du lieu au moment de l’observation , il faudra déduire celle heure vraie de l’angle horaire de l’ctoile, comme il est dit au mot angle horaire.
Les ingénieurs qui désireraient s’exercer à ces calculs trouveront beaucoup d’applications numériques dans le Thaité de navigation de Dubourguet, ouvrage très recommandable qui a mérité et obtenu l’approbation de l’Institut après un rapport de Delambre.
Je donne ici un tableau de coordonnées géographiques extrait du beau travail de M. Plissant, et qui a pour titre Description géométrique de la France. Il permettra aux ingénieurs de rattacher leurs nivellements au niveau de la mer, et leur fournira une foule de données utiles et des moyens de vérification pour leurs levés; j’y joins les coordonnées géographiques des montagnes de la Franco qui ont plus de 1000 mètres d’élévation.
