II O

Il 10.27

CORDES. (PI. XXXI). Nomenclature. Les cordages se composent de fils dont le diamètre varie de 0.001 à 0.005 ; dans la marine, on noininc ces fils fils de caret. Le chanvre qui sert à les fabriquer se divise en brins de différentes longueurs; les fils de caret de plus longs brins ou de premier brin ont 0m.008 de tour, les fils de second brin 0>».01 , et ceux de troisième brin 0“.014. Les plus petits cordages se nomment ficelles, et dans la marine bitords, parce qu’ils sont composés de deux petits fils cordés ou commis ensemble; les lignes nommées merlins daus la marine, sont composées de trois fils. Plusieurs fils tordus ensemble se nomment tourons ou torons. Trois à six torons tordus ensemble donnent les haussières ou aussières, et ces aussières tordues ensemble composent à leur tour les grelins.

Dans les arts de constructions, on distingue les cordages en lignes, cordages à main, vingtaines , au h a ns, chablcaux, câbles et brayés. — Les lignes sont, comme dans la marine, composées de trois fils. — Le cordage à main est formé de quatre torons de six fils chacun : il a euviron 0“.0i7 diamètre. — La vingtaine est formée de quatre torons de sept fils chacun :son diamètre est d'environ O"1. 027. — Les aubans ont diamètre 0m.034 et sont formés de quatre torons de dix fils. — Le chableau ou petit câble a diamètre 0'“.0 17 et se compose de quatre torons de 40 fils chaque. — Le câble a, dans les bâtiments, un diamètre qui varie de 0m.054 à 0“.08i ; il est formé de quatre torons qui portent chacun de 60 à 90 fils suivant le diamètre.— Enfin les brayés qui servent à lier les pierres sont de petits câbles à quatre torons moins tordus que les câbles ordinaires.

Théorie. On considérera d’abord les cordes comme parfaitement flexibles, inextensibles, et l’on fera en même temps abstraction de leur masse propre et du frottement qu’elles exercent.

Dans cet état, pour que deux forces qui tirent aux extrémités d’une corde droite se fassent équilibre, il faut 1 u que la résultante des efforts exercés à l’une des extrémités soit égale et directement contraire à celle des efforts exercés à l’autre extrémité; 2° que la direction de ces résultantes se confonde avec celle de la corde.

La tension de la corde est mesurée par l’une des deux résultantes égales ci-dessus et le principe d’égalité entre l’action et la réaction montre clairement que dans l’état d'équilibre ou de mouvement uniforme, on ne peut appliquer des forces d'intensité différente aux extrémités d'une même corde; cela suppose toujours que l’on fait abstraction du frottement, de l’inertie, etc.

Si la corde P AQ tirée par deux efforts PQ passe sur un point fixe A (fig 1, planche XXXI), les deux forces P et Q sont encore égales dans les hypothèses ci-dessus; l'effort R sur le poiul fixe A est dirige suivant la droite AR qui divise l’angle PAQ^='a en deux parties égales, cl l’on a, pour la pression R sur l’appui A,

R=z(P+Q)cos. ; a -

SI II. ; a.

Lorsque plusieurs forces agissent sur des cordes qui concourent en un même point et y sont retenues par un nœud fixe N, 11 y a équilibre si la tension de l’une quelconque d'entre elles est égale et directement contraire à la résultante des efforts exercés par toutes les autres.

Les cordes étant au nombre de trois (fig. 2), et agissant autour du nœud fixe N, il n’v aura équilibre qu’autantque les tensions T, T, Ts agiront dans le même plan, et qu’elles seront entre elles comme ? le sinus de l’angle au travers duquel passe la direction de chacune, rd’où

*in. T, NT, *in. T, N T, sin.T, N T,"

Problèmes (fig. 3, planche XXXI). Etant données, la position de deux poulies fixes C et B, la valeur des poids P Q suspendus aux extrémités du cordon qui passe sur ces points fixes, celle du poids R attaché au point A du cordon CAB, on demande la position de AC et de AB lorsque le système a pris sa position d'équilibre stable.

Menez (fig. 4) da proportionnelle au poids R et parallèlement à sa direction ; sur da, formez le triangle dae avec les côtés ae de, proportionnels aux efforts PetQ. Puis, par le point B (fig. 3), menez B A parallèle à ea, et par le point C la droite CA parallèle à de. CAB sera la position du cordon dans le cas de l’équilibre.

Les côtés du triangle ade étant connus tous trois, on en calculerait facilement les trois angles.

Au reste, tirez l’horizontale BG par le point B, l’angle GBC est donné par les positions de B et de C; GBA est également connu, car il est le complément de GAB = dae. On a aussi CB A z=GBA — GBC. Donc, dans le triangle CAB on connaît CB et les angles CAR CB A, et dès lors BC A, on en tirera facilement CA et CB.

Si P=Q, ade devient isocèle; si outre P = Q, les points fixes CB sont situés sur une même horizontale, il vient : AC = AB, triangle ade isocèle, eia semblable à BG&; faisant alors BC=d, BG=^d et GA=A, on aurait

Que si, au lieu des deux poulies C B, on avait deux points fixes Cet B (fig. 5) auxquels seraient attachées les extrémités du cordon, le point d’application A du poids R ne pouvant plus se déplacer, il n’y a point lieu de rechercher la position d’équilibre du système ; cette position est fixée. On trouverait les efforts exercés sur les points fixes C et B en décomposant R au point A parallèlement aux cordons CA, B A, la plus gronde composante se trouverait du côté où la verticale de R est la plus rapprochée du point fixe.

Au lieu d’être réuni par un nœud fixe, si le cordon TAT' (fig. 6) est attaché à deux points fixes par ses extrémités MP et qu’il enfile un anneau A sur lequel agit le cordon AT" soumis à la tension T", les conditions d’équilibre du système sont que le prolongement de AT" coupe en deux parties égales l’angle MPA et que les tensions T T' soient égales. On trouverait la position d’équilibre du système par la méthode suivante

Soit l la longueur du cordon MAP {fig. 7), la position des points M et P étant donnée ainsi que l’effort T" que nous supposons vcrti^m| cal; du point M comme centre et d’un rayon —l coupez en un point P K la ligne PK, menée par le point P parallèlement à la direction de l’effort T". Menez la droite M K , puis par le milieu m de P K, élevez une perpendiculaire à PK, elle rencontrera MK en un point A qui sera le lieu de l’anneau A, lorsque le système aura pris une position stable. Pour avoir les efforts T T' auxquels sont soumis les points d’attache M et P, menez de M à la direction de PK la perpendiculaire MF que nous appelons d; appelons 2 a l’angle MAF qu’on sait être= 2MAG, comme d’ailleurs T est nécessairement = T’, on a

T" = 2 T cos. a, et le triangle MKF donnant

on a

d = l sin. a , d’ou

On trouverait facilement les distances MA, AP, car la situation des points d’attache M, P, étant donnée, on en déduirait FP et d, et

pp

comme FK = KM cos. a, on en tire mK= et

KF : KM :: Km : (KA = PA) :: mF : AM.

Le lieu de tous les points que peut occuper l’anneau A est une ellipse dont les foyers sont M et P, et dont le grand axc=:/y la situation d’équilibre stable est celle pour laquelle l’anneau A occupe le point le plus has possible, point où la tangente à la courbe est horizontale.

Si M el P étaient sur une même horizontale, on aurait MA=AP.

Soient C et B deux points fixes situes sur une même horizontale CEB (fig. 8), CF un cordon portant à son extrémité F un anneau dans lequel passe le cordon PF B attaché lui-même au point fixe B et portant à son autre extrémité un poids P. L’équilibre stable du système n’aura lieu que lorsque le point P sera le plus bas possible; or, comme les points Pet F sont sur la môme verticale, si l’on prolonge cette direction jusqu’à sa rencontre en E avec C B, la condition cidessus revient à faire en sorte que E P soit maximum. Faisant la distance inconnue CE = x, CB = d, PFB = /, CF = o, on trouve pour obtenir x la relation

2 dx"1 — à‘x — à1 l = o.

Voyez encore le mot polyco.nk funiculaire.

Résistance des cordes. D’après Coulomb, les cordes blanches d’ancienne fabrication portent jusqu'à 50 à 60 kil. par fil de caret de 0“.008 de tour ou de long brin. Mais on ne doit jamais les charger au delà de 40 kil.

Les cordes goudronnées ne portent que les J ou les * des cordes blanches pour le même nombre de fils de caret. Elles durent moins et résistent moins que les cordes blanches : elles sont aussi plus roides. — La résistance des cordes mouillées n’est guère que le tiers de celle des cordes sèches.

D’après Duhamel, on a, à | près, en plus ou en moins pour la tension P en kil. capable de rompre une corde blanche,

P = 400d,=*0.5cî,

d et c étant respectivement les nombres de centimètres contenus dans le diamètre d ou dans la circonférence c. ,

Rondelet a mesuré la résistance d’une corde par le nombre de fils dont elle est composée et par le poids que l’un de ces fils peut supporter avant de rompre. Il suppose que chaque fil a 0.002 diamètre. Connaissant lu grosseur de la corde, il en conclut le nombre de fils qu’il faudrait commettre pour lui douuer cette grosseur, et multipliant le nombre de ces fils par la résistance de l’un d’eux, il a la résistance totale.

-D’après ses expériences, la résistance d’un fil de 0m.002 diamètre diminue dans les cordes à mesure que leur grosseur augmente; elle est de 7k.8 pour les cordes au-dessous de 0.027 diamètre, de 7k.2 pour des diamètres de cordes conqpris entre O”. 027 et 0n'.05l et de 7 kil seulement pour les diamètres compris entre 0,n. 054 et 0“’.081.

Faits. — Les cordes rompent de préférence aux points d’attache ou d’enroulement et aux nœuds. Elles cèdent au bout de quelques heures de tension sous des efTorls plus faibles que ceux qu’elles ont sup-

portés pendant plusieurs minutes. — La rupture est ordinairement précédée d’un allongement.

Mouiller le* cordage». — On rapporte que lors de l’érection de l’obélisque du Vatican, Fontana, qui en était chargé (année 1586), faillit échouer dans son entreprise ; que l’obélisque étant parvenu à une certaine hauteur, les cordes se distendaient sous le poids énorme qu’elles avaient à supporter, quand , confondu dans la foule, un ouvrier s’écria, malgré les ordres de Sixte-Quint, qoi avait commandé, sous les peines les plussévéres, le plus profond silence : Mouilles les cordages. Cette heureuse inspiration assura, dit-on, le succès de celte opération difficile. On croit utile de constater ici que cette poétique anecdote a, contre son authenticité, la théorie, l'expérience et le mémoire de Fontana lui-mémc, qui n’en fait aucune mention. Lorsque des cordes sont soumises à une forte tension, comme l’étaient celles de Fontana, leurs éléments forment une masse presque impénétrable à l’eau ; si on les mouillait dans cet état, le liquide n’agirait que sur les fils de la circonférence, et si elles venaient a se raccourcir sensiblement, l’harmonie de l’ensemble serait détruite, et la rupture serait imminente. Voyez, à ce sujet, l’intéressante discussion de l’habile ingénieur qui a été chargé de l’érection de l’obélisque de Luxor. (Histoire de la translation et de l’ érection de l'obélisque, par A. fcbas.)

Lors de l’érection de l’ofiélisquc de Luxor, aucun cordage n’a subi une tension plus grande que la moitié ou même le tiers celle qui pouvait le rompre.

Elasticité des cordes. Un hauban de O™. 135 considéré comme hors de service, s’est allongé de 0.55 sous une traction de 1000 jusqu’à 30<)0kil., et sous une traction croissante de 3000à6500 kil. à laquelle il s’est rompu, il s’est encore allongé de 0.32 en reprenant presque son premier état chaque fois que l’on cessait de faire effort. On n’indique pas la longueur primitive de ce hauban.

Poids des cordages, c étant le nombre de centimètres contenus dans la circonférence du cordage, et p le poids en kilog. de 1 mètre de ce cordage, on a ordinairement

On a vu à l’article chaînes que les cordes en chanvre de même résistance doivent avoir à la circonférence autant de centimètres pu moins que le fer des maillons des chaînes compte de millimétrés au diamètre.

Raideur des cordes. L’effort qujil faut faire pour plier une corde est ce qu’on appelle proprement sa raideur. — C’est au point même où la corde change de direction pour s’enrouler que la roideur agit. — Le déroulement, au contraire, parait n’exiger aucun effort sensible. Il résulte des expériences de Coulomb ,

1° Que la roideur est indépendante de la vitesse d’enroulement; 2° que son intensité, pour un même diamètre de corde, est en partie constante et en partie proportionnelle à l’effort Q exercé sur le brin qui s’enroule; 3° que cette roideur est en raison inverse du diamètre du rouleau sur lequel la corde se ploie.

Il a, en conséquence, représenté le travail nécessaire pour ployer un mètre de corde blanche par la formule générale,

— (a-{-èQj kilogrammètres,

d étant le diamètre de la corde, D celui du rouleau, Q la tension de la corde au point d’enroulement, a un effort constant pour un même diamètre cl une même espèce de corde, variable toutefois avec la nature de cette corde, b un nombre qui croit avec la tension Q, u. un exposant qui varie, pour les cordes blanches, avec leur degré d’usc, de telle sorte que l’on a sensiblement p=2 pour les grosses cordes neuves, j* = i .5 pour les cordes plus qu’à demi usées, et pzz: 1 pour les (icelles très petites et très flexibles.

Il en résulte que le travail à opérer au point d’enroulement, indépendamment des aulfes circonstances, pour enrouler un mètre de corde est exprimé par

. Q + îr(~MQ)

Pour les cordes goudronnées, on remplace d par le nombre n des fllsde caret, et la roideur ne variant pas sensiblement avec le degré d’usé, on l’exprime simplement par

Tableau du travail nécessaire pour plier un mètre de différentes cordes autour d’un arbre de 1 mètre de diamètre , d'après Coulomb.

conDes.

d = diamètre des

cordes.