POIDS

des cordes par mètre

roideur ' constante.

roideur par kilog. d’effort.

mèlnes.

kll.

kil.

Blanches de 30 fils de caret.

id-

id.

Goudronn. de 30filsdecaret .

• id.

id.

id-

âid.

M. Poncelet remarque que pour les cordes blanches mouillées de

0m.02 et au-dessus, il faut prendre pour d? a le double des nombres

Krlés au tableau. La valeur de d^a augmente aussi un peu pour ; cordes goudronnées quand la température est au-dessous de zéro, enfin elle est un peu moindre pour les cordes qui viennent d’être récemment pliées sur une poulie, de sorte que si une corde passe sur deux poulies consécutives, sa roideur est au-dessous de celle que lui assignerait le tableau ci-dessus. On diminue d’ailleurs la roideur des cordages en les impreigoant d’un corps gras ou en les frottant avec du savon.

Lorsqu’il s’agit d’évaluer la roideur d’une corde donnée au moyen du tableau, on y choisit une corde qui, par sa constitution et sa grosseur, s’éloigne le moins possible de celle-là. On substitue les va-

leursded^a, d^b dans la formule — (d^a-f- d^éQ), en y remplaçant D cl Q par les valeurs qui conviennent au cas en question ; on multiplie ensuite le résultat ainsi obtenu par le rapport , d’

étant le diamètre de la corde dont on cherche la roideur, et j* un exposant convenablement choisi d’après ce qui est dit ci-dessus. Pour

les cordes goudronnées, on remplace le rapport des nombres de fils de caret.

\^J |A par celui —

Frottement des cordes ou des courroies sur les cxjlindres immobiles (fig. 9). Partagez l’arc AC= S du cylindre enveloppé par la corde en un nombre très grand de parties égales et assez petites pour que la longueur s de chacun des petits arcs ac, cC, a A ne diffère point sensiblement de celle de sa corde ac. Par les points de division a, a, c, C, menez des tangentes qui se couperont deux à deux et parmi lesquelles les directions des forces extrêmes t q se trouveront nécessairement comprises. Soit t la tension d’un élément quelconque de la corde, etna proportionnel à t, ne— an,- avant que le mouvement naisse, le frottement sera nul et la tension q opposée à t lui sera égale et sera. ainsi proportionnelle à ne— na. La résultante des efforts tangentieis t et q sera donc représentée par la diagonale n m du losange acnm, et cette résultante nm — p sera la pression normale exercée sur la courbe, pression qui, lors du mouvement, donnera lieu à un frottement fp, de sorte que, si ce mouvement a lieu de c vers a, t devra excéder q de la quantité fp,

t — q — fp.

Pour obtenir p, on peut remarquer que les triangles isocèles nam,

a Oc, sont semblables, car les angles en a et c étant droits, on a

cna-\-aOc = 1 80° =.cna~\- nam, d’où aOc — nam; on a donc

nm : ac ac : r,

On voit , en faisant l’arc s = 1 mèlre que , abstraction faite du frottement, la pression normale p, rapportée à l’unité de longueur exercée par une corde tendue sur la convexité d'une courbe est égale, en chaque point, à la tension t qui y a lieu, divisée par le rayon r de courbure.

On aura donc, pour l’accroissement de la tension d’un élément de la corde à l’élément suivant, en tenant compte du frottement,

ft *

ou, en passant des quantités variables très petites à ces mêmes quantités supposées infiniment petites,

dt fdt

Intégrant celte dernière équation entre les limites <=T, f=Q, cl s=o, ets = AC=S, on obtient

•°g- hyp- ^ = 7> ou T = Qe r

e étant la base des logarithmes népériens, e — 2.7182. Si l’on veut employer les logarithmes vulgaires, on a, § étant toujours la lon-

gueur développée de l’arc embrassé, ou — celte longueur dans le

cercle de rayon 1 , n le nombre de degrés de cet arc, it le nombre 3.14159..

log. T= log. Q ± 0.43429 ^ = log. Q ±0,43429 f — ,

le signe inférieur correspond au cas où T serait entraîné parQ.

Coefficient du frottement. Quant au coefficient f du frottement, il a été déterminé par MM. Morin, Lebas, etc. Ce dernier remarque qu’il prend des valeurs assez différentes. Si le rouleau est en bois tendre et mou, les cordages soumis à une forte tension pénètrent

dans l'intérieur, en creusani la surface de sillons raboteux qui augmentent le frottement, surtout si la pièce n’est pas parfaitement ronde. M. Lebat a trouvé, toutefois, que dans les circonstances les plus défavorables, f ne dépassait pas 0.222. Cependant, les expériences de M. Morin élèvent ce coefficient à plus du double, ou 0.52, lorsque les fibres sont parallèles et qu’il n’y a pas d'enduit, et à 0.33 lorsqu’elles sont perpendiculaires et mouillées d’eau.

Pour les couRROiRsen cuir, neuves, mais souples et unies, glissant sur tambours en chêne perpendiculairement aux fibres du bois, la moyenne de vingt expériences de M. Morin donne f = 0.47, et pour limites extrêmes 0.426 et 0.575. Pour les poulies en fonte, la poulie et la courroie étant sèches, les nombres correspondants sont 0.282, 0.238, 0.323; enfin la courroie et la poulie étant mouillées, la moyenne de/=0.377, et les extrêmes 0.3t7 et 0.458. Voyez ’ s expériences de M. Morin sur l’adhérence, in-t“.

Les chemins parcourus par l’effort moteur et l’effort résistant étant égaux, si l’on représente le travail du premier par Tœ et celui du second par Tr, on aura é|idcroment,

Tm = Tr* r

Ces expressions montrent que le frottement des cordes ne dépend point de l’étendue de l’arc embrassé, mais seulement de l’ouverture

— = de l’arc comprise entre les normales extrêmes OC, AO cl

du coefficient du frottement; c’est que, en effet, la pression normale qui donne lieu au frottement dépend elle-même de l'ouverture de cet angle. Il importe donc peu, quant au frottement du moins, que la corde passe sur un tambour fixe d’un grand ou d’un petit diamètre, pourvu que le nombre de degrés embrassé soit le même dans les deux cas.

Si T, T, T,... représentent respectivement les efforts qu’il faut appliquer à l’extrémifé d’une corde pour la faire glisser lorsqu’elle est enroulée de 1 tour, 2 tours, 3 tours..., l’autre extrémité étant d’ailleurs soumise à un même effort Q, on a respectivement

— =27:... 47:... 6 it

2 ~f 4 r.f Gr.f

Tt =Qe T2 = Qc T, = Qe

c'est-à-dire que les efforts T, T, T,... forment une progression géo-

métrique dont le rapport est e quantité toujours plus grande que

CORINDON. — COURBES. 425

l’unité. Faisant f— 0.33, on aurait 2 r. f= 2.07345, le rapport de la progression deviendrait

c’est le nombre dont le logarithme hyperbolique est 2.07345. Ce nombre est 7.95. Il en résulte que dans ce cas chaque tour multiplie le frottement par un nombre très voisin de 8. Si, au lieu d’évaluer l’accroissement du frottement par tour, on procédait par demi-tour, le rapport de la progression deviendrait

e ou 2.82

^l'js l’hypothèse ci-dessus.

Cet énorme accroissement explique complètement les effets bien connus de l’cnronlement des cordes sur des arbres fixes. Voyez le mot courroies et la planche suivante.

CORINDON. Substance vitreuse ou pierreuse dont l'alumine forme la base; elle est infusible au chalumeau, et donne une matière bleue lorsqu’on la soumet à un feu très vif après l’avoir réduite en poudre. Le corindon raie tons les corps excepté le diamant. Son poids spécifique varie de 3.97 à 4.16. Le corindon comprend dans ses sous-espèces le saphir, le rubis, la télésie, l’émeri, substances qui contiennent de 0.80 à 0.98 d’alumine, un peu de silice ou de chaux, de l’oxyde de fer qui les colore suivant sa proportion par rapport aux antres substances, en gris, en noirâtre, bleuâtre, rougeâtre.

COULOMB (Charles-Augustin), ingénieur, né à Angouléme en 1736, mort à Paris en 1806. On lui doit une foule d’expériences consciencieuses, et des mémoires que, même à l’cpoque actuelle, les ingénieurs peuvent consulter avec fruit.

COURBES. Nous ne nous occuperons ici que des courbes planes, c'est-à-dire de celles dont tous les points sont contenus dans un seul et même plan ; on trouvera à chacune de ces courbes en particulier les propriétés qui les caraçtériscnt individuellement. (Voy. ellipse, parabole, etc.) Nous nous proposons de résumer dans cet article les généralités de la théorie des courbes considérées dans leur ensemble, et seulement au point de vue de leurs propriétés communes.

Définitions et conventions. L 'équation d’une courbe est l’expression analytique de la relation qui lie ses lignes principales, telles

que son rayon vecteur, son paramètre, etc., aux deux distances de chacun de ses points à deux axes pris dans leur plan, et menés par un point arbitraire de ce plan; soit, par exemple (fig. 1, planche XXXIII) O ce point quelconque, et soient menées par ce point dans le plan de la courbe, deux droites indéfinies OX OY, queleplusordinaireroent on fait perpendiculairesl’uneà l’autre, soit enfin DMM'É

la courbe plane. Imaginez que de chacun des points MM'M" de

la courbe, on ait conduit jusques aux droites OX, OY, qu’on appelle axer des coordonnées , d'autres droites MP MQ M'P' M'Q' respectivement parallèles à ces axes, on appellera abscisses les distances PO = MQ P'O — M'Q' des points de rencontre PP’ au point arbitraire O, et on désignera ces distances par les lettres x x' x"...; enfin, on appelle ordonnées et on désigne par y y’ y" les distances MP=QO M'P',=Q'0, des points de rencontre QQ' au même point O, qui prend la dénomination d ‘origine des coordonnées. La droite indéfinie OX est Y axe des abscisses, et la droite O Y est l’axe des ordonnées. Lorsque ces axes sont perpendiculaires entre eux, les coordonnées sont dites rectangulaires ; les x et les y expriment alors les plus courtes distances à l’origine des coordonnées des projections des points de la courbe sur chacun des axes. Nous supposerons dans touteequi va suivreque les coordonnées sontrectanguiaires, comme dans la figure 1 .

Signes des coordonnées. On convient de prendre positivement ou d'affecter du signe -f- les abscisses des points de la courbe situés à droite de l’axe des ordonnées, et négativement ou d’affecter du signe — celles des points situés à sa gauche; quant aux ordonnées , elles sont positives au-dessus de l’axe des abscisses et négatives au-dessous; il en résulte que les points de la courbe situés dans les quatre angles de la figure ont leurs coordonnées xy affectées des signes cidessous.

Angle Y OX

| coordonnées positives. .

Angle Y,OX,

| coordonnées négatives. .

Angle Y OX,

j abscisse négative. . . .

| ordonnée positive. . . .

Angle Y,OX

( abscisse positive

| ordonnée négative. . . .

On peut remarquer encore, 1° que les points où une courbe coupe l’axe des abscisses ont une ordonnée nulle ou y — o, et qu’au contraire les abscisses sont nulles, ou x = o pour tous les points où une courbe coupe l’axe des ordonnées; 2° que l’abscisse

et l’ordonnée d’un point situé à l’origine O sont nulles simultanément.

Equations des courbes. L’équation d’une courbe s’obtient en exprimant analytiquement ou l’une quelconque de ses propriétés, ou les circonstances de sa description. Prenons le cercle comme exemple simplc(/fy. 2, planche XXXIII) et plaçons d’abord l’origine des coordonnées à son centre O; soit OM = r son rayon, M un point quelconque de sa circonférence, OP=x l’abscisse de ce point, MP=y son ordonnée; tous les points de la circonférenco sont situés, par rapport au centre, de telle sorte que l’on a pour tous et chacun d’eux, en vertu des triangles rectangles :

x et y exprimant des quantités indéterminées et variables avec la situation du point M, mais liées entre elles à l’aide de la quantité connue r, de telle sorte que l’une d’elles x étant donnée, par exemple, l’autre y s’obtient immédiatement. On a en effet

Celte dernière expression est Y équation du cercle rapportée au centre. Elle exprime en effet une propriété caractéristique commune à tous les points de la circonférence, et servirait au besoin à la retrouver en môme temps qu’elle fait connaître toutes les affectations de la courbe. ,

Si l’origine était au sommet S de la courbe, l’ordonnée M P ou y d’un point quelconque étant moyenne proportionnelle entre les segments SP = x et P N = (2r — x) on aurait

yx=x (2 r — x)

cl l’équation du cercle rapportée à l’extrémité du diamètre pris pour axe des abscisses deviendrait

Enfin, si l'origine des coordonnées rectangulaires était en un point quelconque A dont les distances aux projections du centre seraient respectivement a et (3, la propriété des triangles rectangles donnerait encore

(x- et) ’ + P)’ = rJ

d’où l’on déduirait pour l’équation la plus générale du cercle, dans le système des coordonnées rectangulaires, la relation

Sous-tangentes et tangentes des courbes (6g. 3). En considérant les courbes comme des polygones d’une infinité de côtés infiniment petits, le prolongement de l’un de ces côtés peut être considéré à son tour comme une tangente à la courbe. La position et la longueur de celte ligne sont complètement déterminées lorsque, en outre, du , point de contact M avec la courbe (point donné par les valeurs de ses coordonnées x — AP </ = PM) on connaît encore la position du point T où la tangente rencontre l’axe des abscisses. La position de ce point T se déduit de la valeur de la sous-tangente PT, distance du pied P de l’ordonnée du point de contact M au point T, et celleci s’obtient facilement en remarquant que si par un point m de la courbe infiniment voisin de M on mène une ordonnée mp , puis par M une parallèle Mr à P p, Mm pouvantparbypothèse être considérée comme une droite infiniment petite, les triangles semblables MPT mMr donnent

mr : rM :: MP : PT ou dy : dx V. y : PT

car mr et rM ne sont autre chose que les accroissements infiniment petits ou les 01FFRRENTIELI.KS de l'ordonnée et de l’abscisse, on a donc en général pour la valeur de la sous-tangente du point dont x et y sont les coordonnées ,

Sous-tangcnlc = y —

Celte formule est générale, elle convient à toutes les courbes, soit que les x et les y soient rectangulaires ou qu’ils ne le soient pas, pourvu que les y soient parallèles entre eux; donc

Pour avoir la sous- tangente j l’équation de la courbe étant connue, il faudra : t° différentier celle-ci; 2° tirer de l’équation différen-

cia;

tielle la valeur de — ; 3° multiplier ce rapport par y, ordonnée dy

connue du point de contact ou mieux par la valeur de y exprimée enx, valeur donnée par l’équation même de la courbe. On aura ainsi la sous-tangente simplement exprimée en x et en constantes.

Si l’on trouve une valeur négative pour 5-, il faudra porter

celte valeur à partir du pied de l’ordonnée du côté opposé à l’origine des x.

Remarquant que le carré de la tangente T M = la somme des carrés de la sous-tangente et de l’ordonnée, on a immédiatement pour la valeur de la tangente d'un point quelconque dont les coordonnées sont a: et y et dans une courbe quelconque définie par son équation ,

tangente = * |/‘ + ^ = V \/

Sous-normalesj normales. On obtient tout aussi facilement les valeurs générales de la sous-normale PQ et de la normale MQ qui deviennent

sous-normale = u —

J dx

normale = V |/i + g = V [/

Arc élémentaire j inclinaison des éléments de la courbe. Dans toute courbe, dontrfs ou Mm est l’arc élémentaire au point quelconque, M dont les coordonnées sont x et y on a

ds=[/

dx 1 dy'

dx H 3

— = cos. T — - = sin. T

T désignant en général l’angle MTX = mMr formé par l’élément de la courbe au point M ou par la tangente à la courbe en ce point avec l’axe des abscisses. On a aussi

^ = tang. T et ~ = tang. de l’angle Mmr = TMP

formé au point dont les coordonnées sont x et y par la courbe ou sa tangente avec l’ordonnée.

On remarque que les coordonnées positives d’une courbe sont croissantes tant que ^ a une valeur positive et qu’elles sont décroissantes dans le cas contraire j enfin, suivant que le coefficient

différentiel du second ordre — est de même signe que l’ordonnée

dx *

ou de signe contraire , la courbe est convexe ou concave vers l’axe des abscisses.

La dernière des expressions ci-dessus montre que :

Pour trouver en quel point une courbe ou sa tangente fait avec r ordonnée un angle donné, ou dont la tangente est connue et = t par exemple, on devra déterminer par la différentiation de l’équa-

lion de la courbe la valeur de — , égaler celle valeur à la tangente

I de l’angle donné, substituer pour y sa valeur en x et en constantes tirée de l’équation de la courbe. On aura ainsi la valeur ou les valeurs de x qui répondent aux points où la courbe fait un pareil angle avec l’ordonnée.

Si la courbe ne fait nulle part avec l’ordonnée un angle égal à l’angle donné, on trouvera que la valeur ou les valeurs de x sont