ABC

Appelant a (3 y les angles autour du point O respectivement opposés aux côtés abc du grand triangle, on a

OA = O B = O C = r — ^ = rayon du cercle circonscrit;

et les triangles partiels sont entr’eux respectivement comme les sinus de leurs angles en O, ou sin. a : sin. p : sin. y.

Retrancher d’un triangle BCA = T (6g. 16, pl. XLV) un autre T

triangle dont l’aire soit - par une droite qui soit la plus courte possible.

On opérera vers le plus petit des angles'du triangle. Soit B cet angle : on le divisera en deux parties égales par la droite B H et par le point D, et par II on conduira DUE. Les points D, H, E sont doublement déterminés par

BD = BE = BH = cos. i CB A

Etant données les deux bases b B d’un trapèze dont Paire est T et la hauteur H (fig. I l, pl. XLV), en séparer par une droite iP parallèle

aux bases un trapèze compris entre b et B' et qui ait une aire déterminée t.

On a pour la hauteur h et pour la base B' de ce trapèze

« = * + V- 4 = =* |/iüfr=a + *■

Partager un quadrilatère A BDC = K (fig. 15, pl. XLV) en deux parties Q Q', qui soient entre elles comme m : npar une droite ff parallèle à A B.

Prolongez AG BD jusqu’à leur rencontre R et soit H la hauteur du triaDgle A BR et T son aire; soient aussi t Paire du triangle RCI) et R k — H'. Si H' était connu on porterait cette valeur sur II à partir de R et par son pied k on conduirait ff parallèle à AB. Or, ou a

Si Q et Q' devaient être équivalents, on aurait m — n et dès lors

Enfin s’il s’agissait de partager K en n parties équivalentes chacune = t par des droites parallèles à AB, on chercherait par la trigonométrie la valeur de A R ; puis prenant à partir de R et sur A R des distances R/~= z Rÿ = s' R h — z" ...on conduirait par les points f, g, h ... des parallèles à AB. Ces points f, g , h seraient déterminés par les relations :

S=AR l/l+f; *' = AR \ j ' + V; *"=AR \ /t + v...

Solution graphique du problème : [Diviser un quadrilatère A BDC (fig. 1, pl. XL VI) en deux quadrilatères équivalents par une droite ff parallèle d AB.

Prolongez AC A B jusqu’à leur rencontre en R ; par le point I) menez DE parallèle à la diagonale BC. Marquez le point m milieu de EA; sur RA comme diamètre décrivez une demi -circonférence; par le point m élevez ml perpendiculaire à RA ; de R comme centre avec la corde RI comme rayon décrivez un arc qui coupera R A en f ; la ligne de division cherchée est la parallèle à AB qui passe par ce point f.

Par une droite partant du sommet D (fig. 2, pl. XL VI) partager le quadrilatère A Cl) B = K en deux parties AC DE, EDB qui soient entre elles comme m : n.

On aura

EDB =

et connaissant Dd = h, on en déduira