DÉPENSE THÉORIQUE
pour des
hauteurs
i’orilice (H — h) =
sur
le
sommet.
et
au-dessus.
580 ECOULEMENT.
l'ahle de» coefficients de correction de la dépense pour les orifices rectangulaires verticaux en mince paroi, avec contraction complète, et versant librement dans l’air d'aprèsles expériences de MM . Poncblet ' cl Lesbros. (Les charges II, h étant mesurées en un point du réservoir où le lirpiidc est parfaitement stagnant.)
ECOULEMENT. 581
Le coeffidcnt m parait augmenter avec la largeur de l’orifice, et lorsqu'elle atteint lm. 50, on a, d’aprèsM. Morin :
m = 0.675 . . . 0.679 . . 0.727 suivant que
Lorsque l’un des côtés de l’orifice sera compris dans le plan de l’une des paroi» intérieures du réservoir, la contraction y étant supprimée, on cherchera dans les tables précédentes le coefficient m , et l’on aura pour le coefficient m3 à introduire dans la formule (25) à la place de m
Enfin si la contraction n’avait lieu que sur deux ou un des côtés de l’orifice, on prendrait respectivement
le dernier cas est celui où trois des faces du réservoir seraient dans les plans dés côtés des orifices.
Vannes d’écluse. Pour les vannes d’écluse en particulier où l’écoulement s’opère sous des charges de 2“ à 4n,.50, on aurait moyennement d’après les expériences concordantes de Pin et de Lespinasse, etc.
Si le réservoir est disposé pour diminuer la contraction (fig. 11 ,pl. XLIX), ce qu'on obtient par des raccordements tels qu’on ait ( l étant la largeur delà vanne),
ab = 1 l ef>\lol<2l
arrondissant les angles et raccordant le fond, on a pour une vanne verticale m — 0.70.
Vannes inclinées des roues Poncelet (fig. 10). Lorsque les côtés et la base de l'orifice rectangulaire sont respectivement dans les plans des joueset du fond du réservoir, ou lorsque ces plans se raccordent avec l’orifice par les arrondissements de la fig. 11, la contraction n’ayant lieu qu’au sommet, le coefficient m de la dépense s’élève à 0.70 si la retenue est inclinée à 1 de base sur 2 de hauteur et m = 0.73 si (fig. 10; elle est inclinée à 1 de base sur 1 de hauteur.
Il — h est la hauteur verticale de l’orifice et — — - la charge sur lecentre. à introduire dans l’expression de la dépense
582 ECOULEMENT.
Sous de faibles charges et de petites ouvertures de vanne, on devra augmenter de ~ environ les coefficients ci-dessus.
Ces coefficients supposent qu’il n’y a point de choc de la part des aubes de la roue contre la veine fluide, effet qui a lieu trop souvent dans les prétendues roues Poncelet exécutées par d’ignorants ouvriers; lorsqu’il y a choc et rcraou ces coefficients peuvent diminuer de i à { de leur valeur.
Sites orifices étaient noyés d’une hauteur n au-dessus de leurcentre, les coefficients ci-dessus s’appliqueraient encore, mais il faudrait évidemment remplacer le radical de la formule (25) ou la vitesse par
Il -}— A
en désignant par H' et h1 les charges à l’aval sur le seuil et sur le sommet de l'orifice., et remarquant que
S'ils n'étaient noyés qu’en partie, on les partagerait en deux autres l’un débouchant librement dans l’air, l’autre sous l’eau du bief inférieur et l’on appliquerait séparément à chacun la formule qui s’j rapporte en adoptant un même coefficient pour la dépense.
Cabinets d'eau ( fig . i , pl. L). La dépense des cabinets d’eau A ' se calcule comme toute autre en fonction de la section u> de l’orifice, de la charge h1 sur son centre et du coefficient m qui convient à cet orifice ordinairement rectangulaire; on a donc en général pour la vitesse v et la dépense Q,
v = j/ 2 g h’; Q = woc
celle disposition que l’on rencontre dans quelques forges donne lieu à une perte de chute qu’il importe d’évaluer.
Perte de chute dans les cabinets d’eau. (H1 — h') — ( H — h) est évidemment celte perte, elle se déduit immédiatement de la formule générale (19), en observant 1» que le réservoir A étant ici toujours
très grand par rapport à la section s du tuyau est négligeable;
2° que P — p = o; 3° que s étant égale à a = a', il n’y a pas de contraction à la sortie, et la vitesse moyenne du liquide dans le tuyau est celle V avec laquelle il débouche dans le cabinet d’eau. On a donc
2rL
ECOULEMENT. 583
la hauteur h' étant supposée invariable pendant l’écoulement qui se fait à la vanne, on a nécessairement
mettant pour V dans l’équation la valeur ci-dessus, faisant a = o dans celto approximation, et par compensation élevant la valeur de jî à 0.0035, il vient pour la perte de chute en fonction de la charge h' sur le centre de l’orifice t».
Si, ce qui n’a pas lieu en général, la section s était assez petite par rapport à celle A ' du cabinet d’eau, pour que l’on eût sensiblement
~ = o, on arriverait à l’expression suivante donnée pour la première fois par M. Poncelet
les anciens charpentiers de forges avaient admis en principe que s devait être équivalent à w. On voit que lorsque cette condition se trouvera réalisée les formules ci-dessus se simplifieront encore.
Influence des coursiers. Les orifices rectangulaires verticaux sont assez souvent suivis de coursiers plus ou moins inclinés (fig. 2, pl. L) qui dirigent l’eau sur les roues. Ces coursiers n’exercent d’influence notable ni sur la vitesse de sortie à l’orifice , ni sur la dépense lorsqu’ils sont courts, lorsque leurs parois latérales ne convergent point, ou lorsque la pente est assez rapide, pour que la veine ne rencontre pas ces parois.
S’il n’en est pas ainsi, l’influence des coursiers devient d’autant plus grande que la charge est plus faible, et ils diminuent la dépense et la vitesse de sortie V en amoncelant le liquide contre l’orifice.
Ci étant alors la section de la veine dans le coursier relevée en un point où le régime peut être censé devenu uniforme;
U la vitesse uniforme à cette section ; ,
n la hauteur de son niveau au-dessus du centre de l’orifice; h la charge dansle réservoir sur le centre de l’orifice ; u) l’aire de cet orifice ;
V' la vitesse desortie; m le coefficient;
on a
m u> V ' = üU
58* ECOULEMENT.
la variation de vitesse (V' — U) — U
\ m oj
perle de force vive
\mfi)
donne lieu à une
on a donc pour la vitesse en Q
à / Üfl ih— n)
°=1/ rrpii i
J' y m to
et pour la vitesse V' et la dépense Q'
üU f / 2 9 U> — »)
V' I / m’ iü* . I. md)\î
m,ü y -ÛÏ-+11 -~u-)
Q' = QU = m u> V' . . . (30)
Déversoirs. On appelle déversoirs {fig. 3, pl. L) les orifices réel angulaires pratiqués dans la p^foi verticale plane et mince d'un réservoir entièrement découvert et où la charge h sur le sommet est nulle. Quoique l’inclinaison de la nappe liquide vers l’orifice change les circonstances de l’écoulement, on se contente, dans la pratique, de faire h — 0 dans la formule (24); l’on a alors pour la dépense Q
Q = ? m3/II yTgH = [xf H H . . . (31)
H est la différence de niveau comprise entre le milieu du seuil du déversoir et la partie supérieure de la nappe liquide en amont du plan vertical où l’inflexion commence à se faire sentir.
Mesure de II. M. D'Aubuisson avait remarqué et M. Castel a depuis constaté que l'eau se tient contre les portions MN de la cloison comprise entre les berges et les bords du déversoir au même niveau qu’en amont du déversoir avant que le fluide commence à s’infle chir vers lui. On pourra donc mesurer II dans le plan du déversoir en prenant de chaque côté un point de la ligne d’eau vers les sont mets M N des angles, tendant un cordeau de l’uu à l’autre point et mesurant la distance verticale H de ce cordeau au milieu du seuil Lorsque cette opération ne pourra être exécutée, et que l’on n’aura pas d’instrument de nivellement à sa disposition, on prendra l’épaisseur E de la nappe dans le plan et au milieu du seuil afin d'atténuer l’erreur qui pourrait résulter du défaut d'horizontalité. / et L étant alors les largeurs respectives du déversoir cl du cours d’eau en amont, on tirera H des relations suivantes données par MM. l’on-
ECOULEMENT.
cclelet Lesbros. On calculera d’abord une valeur auxiliaire K
et l’on aura en général
H = E -(- 0.0009 -j- 1/ KE~+b;0000008r .... (331
Lorsque la largeur l du déversoir = la largeur L du canal d’amenée, et lorsque l = 0.86 L, on a, respectivement, d’après MM. Bidone et Eytetwein
Valeurs du coefficient p. La valeur moyenne du coefficient u de la formule (31) = 0.450 pour les larges déversoirs, et 0.405 pour ceux qui sont étroits.
Il ne semble pas que l’épaisseur des parois exerce une influence sensible sur sa valeur, tant qu’elle ne dépasse pas O™. 04, cl que la charge n’est pas très faible. Il n’en est pas de même des charges, et l’on aurait, d’après MM. Poncelet cl Lesbros, la correspondance suivante entre II et p
II = 0m.01 ... 0.02 ... 0.03 ... 0.04 ... 0.06
Ces coefficients supposent que la largeur L du cours d'eau est fort grande par rapport à /, qui, dans le tableau ci-dessus, n’avait que 0m.20 -, lorsque la largeur du déversoir approche de celle du canal d’amenéc, ou lui devient égal, le coefficient p paraît augmenter, d’après M. Castel, jusqu’à la limite supérieure 0 450 qu’il ne dépasse pas, tant que la largeur l est < 0,n.74. La largeur du déversoir paraît exercer elle-même une très grande influence; quand cette largeur atteint 2 mètres, et que l = L, on aurait, d’après les expériences de M. le colonel A. Morin, la correspondance suivante :
586 ECOULEMENT
Il faut observer ici que le seuil étant fort épais et = O". 08, la résistance qu'il a opposée à l’écoulement a été d’autant plus sensible, que la charge a été plus faible. Sous les fortes charges, la veine se détache du seuil malgré son épaisseur.
Influence des coursiers sur les déversoirs. Lorsque les déversoirs seront suivis d’un coursier, on obtiendra à peu prés la vitesse au déversoir en multiplanl par 0.96, le coelficient p relatif au cas où la veine verserait librement dans l’air, pourvu que la lame ne soit pas recouverte par le remou dans le canal.
Si elle l’était, on mesurerait sa section ü dans le canal, en un point où la vitesse U est devenue uniforme, et n' étant la hauteur du niveau de celte section au-dessus du seuil du déversoir, H' celle du niveau d’amont au-dessus du même seuil avant l’inflexiou de la lame, on aurait d’après üubual
0 = ûü = 0.90 ü y/ig (U1 — n') . . - (35)
si le fond du réservoir et du canal sont dans le prolongement l’un de l’autre. Ou n’a pas même d’approximation pour les autres cas
Vitesse à l'extrémité des coursiers. On a vu dans les paragraphes consacres à l’influence des coursiers, les moyens d’estimer en général la vitesse U dans ces coursiers à une distance égale à deux ou trois foi9 la largeur de l’orifice.
Si le coursier se prolonge au delà, et si la pente est rapide, la vitesse u à l’extrémité du coursier aura pour valeur suffisamment approchée
m = y / Ü1 + 2 ge = y/ 1g + *j • • • (36)
e étant la hauteur de chute comprise entre l’extrémité du coursier et le point où la vitesse moyenne a été trouvée = U.
Si la faible penteet la forme du coursier^. 4, p/.L) sonttellesqu’on ne puisse pas négligerl’influencedcs parois, on mesurera la section ü' de la lame liquide à l’extrémité du coursier, en un point où l’inflexion qui caractérise le déversoir est près de se manifester; et, comme on connaît la dépense Q’ à l’orifice qui a lieu dans ces conditions, on obtiendra la vitesse u vers l'extrémité du coursier par la relation
Enfin, si le coursier était très long, et que l’on ne pût pas mesurer la section ü' à son extrémité; on prendrait une moyenuc W entre ta vitesse U, calculée comme on l’a vu pour une distance égale à
ECOULEMENT. 587
deux ou trois fois la largeur de l’orifice, et cette même vitesse augmentée de celle qui serait due à la pente e, on aurait ainsi
négligeant « dans le terme relatif à la résistance des parois, faisant [3 = 0.0035, L la longueur développée du coursier, déduisant q<
la section S = ^ et le périmètre mouillé c de la dépense Q’ de l’orifice et de la largeur du coursier, il vient pour la vitesse u h l'extrémité
u = y/ UJ + S ge — Zl‘ p W* .... (39)
Conduites d’eau. L’équation du mouvement dans une conduite de section constante s débouchant à l’air libre, est évidemment celle (22) dans laquelle on ferait P = p. Toutefois, lorsque les conduites ont une longueur L plus grande que cent diamètres, le terme relatif à la résistance des parois devient si grand, par rapport au premier membre, qu’on peut, sans erreur sensible, égaler ce dernier à zéro. Il vient alors
j(H-A) = ^(«V+ pV*) . . . (40) d’où, à cause de a = 0.000 17 et (1 = 0.003416, «l’a près Prony,
V = 53.38 L/ îJÜLTL.*) — 0-.025 .. (41)
Si la conduite est circulaire , D étant son diamètre, on a c = s I) S = J •n D1, de sorte que si Q est le volume d’eau qu’elle débile par seconde,
