TT

2liL’ , m,„, AL ly

lorsque l’on ne tient pas compte de la résistance des parois.

ECOULEMENT. 57S

S’il s’agit de l’écoulement de l’eau à l’air libre ( fig . 3} et que la surface A du réservoir soit très grande par rapport à a, l’expression de la vitesse Y se réduit à

Dans le cas où A étant toujours très grand par rapport à a , on aurait en outre a' = A’, ce qui a lieu lorsqu’un tuyau {fig. 4) de section constante et unjformc A' établit la communication entre un grand réservoir et l’orifice de sortie, il viendrait

Enfin si l’orifice a égale la section A' du tuyau et que l’écoulement se fasse à gucule-bée, m = 1 et a = A' donne

Influence d’un élargissement brusque. {Fig. 5. PI. XLVIII.) L’effet produit par un élargissement brusque est analogue à celui produit par un étranglement. Les vitesses u, V' étant supposées en raison inverse des sections, on a, en remarquant qu’il n’y a pas de contraction

ta u = Q V’; («- V') = V' - l) =« (t - l)

et la masse élémentaire d M en perdant subitement son excédant de vitesse {u — Y') donne lieu à une perte de force vive qui fournit un terme positif

</M (m — V’)2 m: wa fi — dM.V5|“ — l)*..(15)

à ajouter au premier membre de l’équation (1), ou plus généralement aux autres forces vives du système.

Influence de la résistance des parois. On ne tient pas compte de la résistance des parois des orifices, mais lorsqu’ils sont précédés ou suivis de canaux ou tuyaux d’une longueur sensible L , d’une petite section s, ou peut d’autant moins se permettre de négliger cette résistance que la vitesse moyenne u est plus grande. L’ob-

57* ECOULEMENT. '

serra lion semble avoir démontré ( p . 448) que la résistance R des parois était assez exactement représentée par l’expression

R = cL (au-f-P"1) kilogrammes. . . . (16)

c étant la partie mouillée ou le périmètre mouillé de la section constante s, et a et p des coefficients donnés par l’expérience qui dépendent de la nature du fluide et paraissent indépendants de celle des parois. On a pour l’eau (p. 443) dans les canaux découverts

et dans les tuyaux remplis

le chemin parcouru par la tranche d M dans le tuyau ou le canal pendant dt est udt; R. udt est donc le travail absorbé, par la résistance des parois pendant le même temps, et comme on a évidemment

rfM = - sudt

il vient pour le travail détruit

. d M. y (au -f- Pu») .... (17)

le double de ce terme entrerait avec le signe — dans le second membre de l’équation (1) des forces vives.

Influence des coudes ( fig . 6, fl. XLYIII) u étant la vitesse moyenne de la masse d M dans le canal ou tuyau de section constante s, rie rayon de courbure du coude, \ son développement, on a, d’après les expériences de Dubuat, et pourl’eau seulement l’expression empirique

dM. (0.0039 -f 0.0186 r) -, u1 (18)

de la perte de force vive due à chacun des coudes. Ce terme entrerait avec le signe -{- parmi ses analogues dans le premier membre de l’équation (1) des forces vives.

Application théorique. Le système indiqué ( fig. 7, pl. XLYIII) offre l’ensemble de la plupart des cas particuliers que nous avons étudiés isolément. Le fluide passe d’un grand réservoir A où il est entretenu à un niveau constant dans un autre grand réservoir A' où il est supposé se maintenir aussi à un niveau n constant. La communication entre les deux réservoirs est établie au moyen d'un tuyau d’une grande longueur L et de section constante s. En admettant

ECOULEMENT. 575

d’abord que le fluide éprouve des contractions à l’enlrée a' et à la sortie a du tuyau, tenant compte de l’influence du rétrécissement en a ' et de rélargissement après a, ainsi que de la résistance du tuyau, on a pour obtenir la vitesse Y avec laquelle le liquide déhouche dans le réservoir inférieur la relation

A'*“ïî+ [J a’ ~ l) . + (4'

ma ’ A7

= 2 9 (H — «) + — ~ (a u -f- pu2). . . (19)

les vitesses u et Y conservant d’ailleurs entre elles le rapport

ma Y = su

Lorsque les sections A Af des réservoirs sont très grandes par rapport aux orifices a, a', les petites fractions peuvent être négligées et le second membre de l’équation (19) restant le même, le premier se réduit à

Si, en outre, l’orifice d’entrée a1 du tuyau est égal à sa section s, ce premier membre devient

si de plus l’orifice de sortie a=s=a' , il n’y a plus de contraction à la sortie, m=l et la vitesse u dans le tuyau devient= Y, on a donc

VJ[l + (; ~l)I] = 2Sr(H-n)+ÿ(p-p)-^(aY+?Y2).(22)

Enfin si ( fig . 8, pl. XLVIII) l’on se bornait simplement à supprimer le réservoir inférieur de la fig. 7, le tuyau débouchant à l'air libre par un orifice a < s, il faudrait faire n=o dans la formule (19) et comme A' n’est alors autre chose que ma on aurait

- ^ (au + pu2). . . (23)

équation qui ne diffère de celle (10) {fig 3) qu’en ce qu’elle ren-

576 ECOULEMENT.

ferme le terme relatif à la résistance des parois du tuyau.

Applications pratique»; observation. Avant de rcchercbercommcnt.cn combinant la théorie avec les données expérimentales, on obtient les solutions approximatives des problèmes d’écoulement que la pratique réclame, rappelons qu’aucune des formules ci-dessus ne saurait s’appliquer pendant les premiers inslantsdc l’écoulement, et parexemplcau moment où l’on ouvre les orifices des réservoirs qui contiennent les fluides. Elles supposent essentiellement que les phénomènes qui ont lieu à un instant quelconque ont encore lieu sans variation aucune pour tous les instants compris dans la durée que le calcul considère, en un mot que le régime est établi, circonstance que l’on reconnaîtra dans la pratique «t ce que les niveaux des liquides ou les tensions des gaz sont devenus invariables. Nous insisterons également sur la nécessité d'étudier avec la plus grande attention les dispositions intérieures et extérieures des réservoirs, les accidents de forme des orifices et toutes les circonstances d'un écoulement avant d’y appliquer le calcul; remarquant qu’une paroi épaisse n’est autre chose qu’une paroi miner dés que la veine liquide s’en détache en amont et ne la rencontre plus, que pour un orificedcmème forme et de môme paroi: tantôt la veine se détache, tantôt elle ne se détache plus, suivant que la charge est plus forte ou plus faible, enfin que des contractions ont lieu qui ne sont pas toujours apparentes et qu’on ne les recon naît souvent à la partie inférieure des orifices avec coursier recouvert par le liquide que par la présence des bulles d’air qui se can tonnent dans cette région.

Ajutages ( pl . XLIX). On appelle ainsi les tubes adaptés extérieu rement auxorifices. Ilssont ou cylindriques ou coniques convergents vers le dehors, rarement coniques divergents.

Ajutages cylindriques (fig. 1. 2. 3). Lorsque leur longueur est moindre que la moitié de leur diamètre, la veine se détache et l’ècoulemcnt s’opère comme en mince paroi. Lorsqu’au contraire I* longueur atteint deux ou trois diamètres, l’ccoulement se fait à gueule-bée, le coefficient m à employer = 0.82, il porte principalement sur la vitesse.

m s’abaisse à environ 0.5 (fig. 3) lorsque le tuyau cylindriqur s’enfonce d’une quantité notable à l’intérieur.

Ajutages coniques convergents (fig. i et 5, pl. XL1X). Ils influent sur la section de la veine et sur la vitesse suivant l’angle de conver gence, lorsque leur longueur atteint 2 à 3 fois leur plus petit diamètre. En désignant par n le coefficient de la section, par n’ celui qui porte sur la vitesse, le coefficient de la dépense sera m =z nn' cl l’oo aurait, d’après M. Castel, à très peu prés les relations suivantes :

ECOULEMENT.

Angle

ainsi la contraction extérieure et la vitesse de sortie augmentent avec l’angle de convergence, la plus grande dépense correspond à l’angle de 12° ( fig . 4.)

Ajutages coniques divergents {fig . 6, pl. XL1X). La pratique n’emploie pas ces espèces d'ajutages. Je crois cependant utile de rappeler ici que, sous certaines conditionsdelongueur et d’évasement, ils peuvent augmenter la dépense réelle à ce point qu’elle dépasse la dépense théorique. Avec des ajutages de la forme indiquée ( fig . 6), Venturi a obtenu des dépenses qui ont dépassé la dépense théorique de | de j et même de près de J-, le coefficient m qui porte presqu’entièrement sur la vitesse ayant pris les valeurs 1.21, 1.31, 1.46. Il attribue ces effets à des causes qui sont encore aujourd’hui assez obscures et parmi lesquelles figure celle qu’il a nommée principe de la communication latérale du mouvement dans les fluides.

La figure 6 est l’ajutage de plus grande dépense; sous une charge constante de 0".88 il a produit une aspiration mesurée à l’origine, au premier tiers, et au second tiers par des colonnes d’eau respectivement égales à t”. 63, 0m.63et 0m.215.

Ajutages divers ,- buses pyramidales, étranguillons, etc. On emploie dans les anciens moulins, dans les forges, et dans les scieries des disses pyramidales (fig. 8) pour conduire l’eau sur les roues. Ces buses en bois ont la forme de pyramides quadrangulaircs, l’angle dièdre de deux des faces opposées est ordinairement compris entre 12 et 15 degrés. M. Lespinasse donne pour le coefficient de la dépense relative à ces busesm=:0.98 en moyenne; d’après M. Morinm — 0.964 lorsque ces buses n’ont pas- de cadre à l’intérieur et d’après MM. Piobert et Tardy m=0.864 lorsque leur extrémité est garnie d’un cadre. — Les étranguillons des trompes (fig. 7) qui sont aussi des espèces de buses d’environ 0m.32 de longueur, dont deux faces sont parallèles cl les deux autres fort inclinées m’ont fourni 0m.98 = m comme le coefficient le plus probable de la dépense, bien que ces ajutages donnent lieu à des contractions sur les deux faces parallèles.

Orifices rectangulaires verticaux (fig. 9, pl. XLfX). Soient l la largeur de l’oriGce

x la charge sur le centre de figure d’une de ses tranches horizon ■ taies d’une épaisseur dx infiniment petite Idx sera la section de celte tranche J/2 gx la vitesse de sortie du filet central de la tranche

578 ECOULEMENT.

d O étant le volume d’eau qu'elle débite, on a

d Q Idx J/ *2 j x

H étant la charge sur le seuil de l’orifice, et h la charge sur son sommet **

Q ou la dépense par l’orifice, dont

H — h devient la hauteur, sera évidemment I’intégrale de l’expression ci-dessus; prise entre les limites a:=H et x=h, d’où

Q = Lfdx = § l (H h ff2sh\. . . (24)

il restera à multiplier le second membre par le coelficient m convenable à chaque cas particulier.

Les praticiens se sont accordés pour substituer à celte expression assez compliquée de la dépense, celle

Q — ml (Il -h) (25)

qui n’est autre chose que le produit de la section de l’orifice par la vitesse du filet placé à la même profondeur que son centre de gravité, le tout multiplié par le coefficient de réduction convenable. Si l’orifice est isolé des faces latérales et du fond du réservoir et percé dans une paroi mince et plane, ou si étant isolé il est percé dans une paroi plane épaisse et que la veine se détache de celle paroi contre les arêtes d’amont , on prendra la valeur du coefficient m dans les tables suivantes. Il porte principalement sur la section (pf. XLVII) et la vitesse de sortie reste à trèspeuprèségale à la vitesse théorique.

ECOULEMENT. 679

Table des coefficients de correction de la dépense pour les orifices rectangulaires verticaux en mince paroi, avec contraction complète, et versant librement dans l'air, d’après les expériences de MM. Porcelet et Lbsbros. (Les charges H, h étant relevées dans le plan de l’orifice.) .