DT DT

arc d’approche = — X AT = — . R,

On trouverait de même que la dent TK, en s’éloignant de la ligne des centres jusques en E où le contact cesse, donne pour la valeur de l’arc de retraite mesuré sur le cercle primitif de rayon BT = R,

arc de retraite 2= X BT S . R,

d’où l’on obtient

arc d'apprdche AT X DT X DIi AT R, DA

arc de letraùe HT X ET X DA BT R, BE

relation qui montre que, dans ce système, les arcs d’approche et de retraite sont directement comme les rayons des cercles de base respectifs de la roue qui mène et de la roue menée. Celle relation suppose évidemment que les dents de chacune des roues ont une longueur suffisante pour atteindre le cercle de base de la roue opposée.

On peut au reste diminuer à volonté Parc d’action en diminuant la longueur des dents. Du rayon BH, par exemple, et du centre B décrivez (fig. 1 ,pl. LIX) l’arc HA, le point h où cetarc coupe la tangente De sera le lieu du premier contact si c’est la roue A qui mène; un tracé analogue sur cette dernière roue donnerait de même le

fi h; eng renages.

point e pour le lieu du dernier contact et l’on démontrerait comme ci-dessus la relation suivante :

• arc d'approche h T

arc dç, retraite Te

Les dénis en développantes se raccordent par des courbes quelconques, laissant toutefois un creux d’ane profondeur T k suffisante pour le passage k E de la dent mE. Un arc de cercle du rayon AE indique celte profondeur minimum TA:.

Quant aux rayons des cercles de base, on les obtient immédiatement lorsque l’on connaît les deux cercles primitifs et que l’on a fixé l’arc d'action T Be, on a en effet lie = BT cos T Be ... etc.

Saillie des dents. Il suffit de comparer la fig. 2, pl. LV]|[,à la Kg. i , pi. I.IX, pour s’assurer que les relations que l’on a déduites de la première s’appliquent à la seconde e! que dès lors on a pour déterminer la saillie des dents en développantes

Il faut observer toutefois que, dans le cas des dents en développantes, ces formules ne donneront que la saillie qui permettra à la dent de continuer son action jusqu’au cercle de base de l’autre roue. Elles ne s’appliqueraient pas, comme aux épicycloïdes, à toutes les autres situations du contact.

Crémaillère d'après la quatrième solution (fig. 2 , pl. LIX'. Décrivez le cercle primitif BT , menez AC tangente en T et qui sera dés lors la droite primitive de la crémaillère. Soit, alors , BE le rayon du cercle de base de la développante EF et admettons que la dent de la crémaillère soit limitée par une droite EGH formant avec la tangente AC un angle EG A= B T EJ.

Si la développante passe à la position ef , elle conduira la dent G 11 en gh, le contact ayant toujours lieu sur la ligne ETA, et la vitesse d’un point de la circonférence BT sera d’ailleurs toujours égale à celle d’un point de la tangente AC. On a en effet

siu EGT

et par la propriété de la développante

BE

E/i = arc Ee

arc mn X — = arc mn . sin BTE

= arc mn sin EGT d’où Gÿ = arc mn On serait également parvenu à ce résultat en remarquant (fig 1 )

. ENGRENAGES. 6i7

que, pour le cas d’une crémaillère, le rayon AT devient infini, la circonférence primitive devient une droite passant par T, et les développantes GH, Ew deviennent elles-mêmes des droites perpendiculaires à la direction eTD.

Ainsi (fig. 3), une roue à dents en développantes engrènera convenablement avec une crémaillère à dent droite pourvu que le côté de celle-ci soit incliné sur la droite primitive de la crémaillère d’un angle fJ tel qu’on ait

rayon de la base . .

— r-r-rzr — Sin 0

rayon promut

Le lieu du contact est alors la droite ETA ce qui annullc l'inconvcnient signalé du tracé ordinaire (p. 614), tracé qui dérive du cas particulier où le rayon de la base étant le même que le rayon primitif, la droite primitive coïncide avec la droite ETA.

Tracé des dents de roue par arcs de cercle. La portion de courbe qui forme le contour d’qnc dent a toujours un développement assez laible pour qu’un ou deux arcs de cercle au plus puissent lui être substitués sans erreur sensible. Toute la difficulté consiste à déterminer convenablement les centres et les rayons de ces arcs et nous allons montrer comment celte détermination résulte des principes généraux précédemment établis.

Nous avons démontré :

l°Que l’action de deux courbes (fig. 1 et 2, pl. LX) qui agissent •par contact immédiat est, pour chaque instant, semblable à celle de deux rayons AP, BQ (fig. 1) qui se conduisent par l’intermédiaire d’une bielle PQ dont les points d’articulation sont les centres P, Q de courbure au point de contact actuel des courbes ;

2° Que le rapport des vitesses angulaires des rayons AP, BQ fig. 2) est, à chaque instant, .celui des segments BT, AT de la ligne des centres, déterminés par l’intersection de la bielle avec celle ligne, a l’instant donné.

Pour une autre position A p, B </. des bras AP, BQ (fig. 2), le rapport des vitesses angulaires deviendrait celui de Br à A/, rapport qui serait plus grand ou plus petit que le premier suivant que t passerait d’un côté ou de l’autre du premier point T.

Or, si le point L qui est l’intersection de deux positions consécutives de la bielle pouvait coïncider avec T, le rapport des segments resterait le même pour ces deux positions et le rapport des vitesses angulaires serait constant pendant le passage de la première à la seconde position. Admettons, pour un moment, que cette coïncidence a lieu; les courbes en contact (fig. 1) pourront, d'après ce qu’on a vu, être remplacées par des arcs de cercle décrits des centres P cl Q et passant par un même point quelconque M de la droite PQ; et le

rapport des vitesses angulaires des courbes sera parfaitement constant au moment où elles atteindront la position pour laquelle M est le point de contact; il restera sensiblement constant pour un petit mouvement angulaire en deçà et au delà de cette position.

Et comme la constance de ce rapport ne dépend que des centres des arcs, ces arcs peuvent être tracés par un inéme point quelconque de la direction PQ, par m par exemple en dehors île la distance des centres de courbure. 11 y aura toutefois cette différence que si le point par lequel passent les arcs est situé comme M entre les centres de courbure, les deux arcs tracés des centres P et Q seront convexes, tandis que si le point commun est pris en dehors des centres, comme en m, l’arc tracé du centre le plus éloigné P sera concave.

Donc pour déterminer un couple de centres de courbure qui permette la transmission du mouvement angulaire dans un rapport constant, il suffit de construire la figure 2 de telle sorte que l'intersection L de deux positions consécutives de la bielle tombe sur la ligne des centres de rotation. Or on a vu à l’article biecle que L est le point de PQ où la perpendiculaire abaisséodoK, axe instantané de rotation de la bielle, vient rencontrer cette bielle (*).

De là la construction suivante (fig. 3, pl. LX) :

Recherche des centres de courbure des dents. A et B étant les centres de rotation des deux roues, T le point de contact des circonférences primitives ; par le point T menez une droite PTQ laisant un angle quelconque avec la ligne des centres . et soit pris arbitrairement sur PTQ un point P quelconque comme centre de courbure de la dent de la roue AT. Pour obtenir le centre de courbure de la dent de la roue B qui doit engrener convenablement avec la première, menez par T une perpendiculaire indéfinie à PTQ; par le centre de rotation A et le centre de courbure P de la dent de celte roue, tirez la droite AP que vous prolongerez jusqu’à ce qu'elle rencontre l’indéfinie AK. Par le point de rencontre K de ces droites et par le centre de rotation B de l’autre roue tirez K B, le point Q où cette droite prolongée vient rencontrer PTQ est le centre de courbure de la dent de la roue B.

(*) Cet axe instantané de rotation K de la bielle est lui-méme déterminé par l’intersection K des directions AP, BQ des deux bras. C’est ce qu’il est facile de démontrer très simplement , et sans avoir recours an beau théorème de M. Chastes. En effet, lors d’un mouvement naissant de la bielle, son aiticulation P prend une direction nécessairement perpendiculaire au bras AP, ce qui revient 4 dire que P tourne autour d’un point situé quelque part sur la direction de AP. De même son autre articulation Q prend en même temps une direction initialement perpendiculaire à BQ ; c’est 4 dire que Q tourne autour de quehpie point de la direction BQ. I.es deux extrémités de la bielle tournant pour un instant autour d’un point situé 4 la fois sur les directions AP, BQ tournent, pour cet instant, autour de leur intersection K.

mie

Et un petit arc mn décrit de P par un point m quelconque de la direction PTQ cl qui ferait partie du contour de la dent montée sur la roue AT, marcherait convenablement avec un autre petit arc mp déeril de Q par le même point m, et qui ferait partie du contour de la dent montée sur la roue BT. *

Si le centre de rotation B était situé de telle sorte que l'angle KBT fût aigu, s’il était en B' par exemple, le centre de courbure Q passerait alors en Q' du même côté que P par rapport à T, et le petit arc mp deviendrait évidemment concave.

Enfin si KBT était égal à PTA, KB deviendrait parallèle à PT, le centre de courbure Q serait rejeté à une distance infinie et la partie mp de la dent montée sur la roue dont le centre est B deviendrait une droite perpendiculaire à PT.

Calcul des distances, au point de contingence T, des centres de cour bure P et Q.

Soit KT = C, AT = R, , PT = d, ATP = 0.

.Menez AR perpendiculaire à PT, les triangles semblables A R P, PTK donnent

ptxah ptxak