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La roue mène.

Crémaillère mène.

infinie.

Applications de la troisième solution. Les dents tracées suivant les principes des deux premières solutions et notamment de la seconde, sont celles que la pratique a très généralement adoptées; leur emploi offre cependant un inconvénient très grave; le cercle décrivant de l’arc épicycloïdal des dents devant avoir pour diamètre le rayon du cercle primitif de la roue avec laquelle ces dents engrènent, il en résulte qu’une roue d’un pas cl d'un nombre de dents donné, 40 par exemple, tracée pour marcher convenablement avec une autre roue, de 50 dents, engrènera fort mal avec une roué d'un tout autre nombre de deuts, tel que 100; il est évident en effet que le diamètre du cercle décrivant étant 1 dans le premier cas, devrait être double dans le second , et engendrer dès lors des arcs épicvclotdaux différents des premiers. Celte objection intéresse au plus haut degré la pratique moderne qui fait un emploi constant d’engrenages métalliques. Elle oblige en effet le fdbdcur à exécuter pour un pas donné autant de modèles differents qu’il veut faire engrener de roues différentes avec une seule et mémo roue; ce qui exige un nombre presque indéfini de modèles.

64 ï ENGRENAGES.

Ed oulre, dans une foule de combinaisons mécaniques, il arrive qu’une roue principale doit conduire à la fois et directement deux, trois, quatre roues de différents diamètres. Il est évident que les principes exposés jusqu’ici ne peuvent en aucune façon satisfaire convenablement à celte condition.

L’emploi des engrenages en fonte exige donc un (racé des dents tel que deux roues quelconques d’un pas déterminé, engrènent convenablement.

On satisfera évidemment à celte condition essentielle par l’application de la troisième solution. Il suffira en effet de choisir pour tout un système de roues du même pas, un cercle décrivant convenable, mais constant [pi. LVI1I), de le faire rouler extérieurement sur chacune des circonférences primitives pour décrire les parties des dents extérieures à ces circonférences, puis de le faire rouler intérieurement à chacune d’elles pour lui faire décrire les épicycloïdes internes qui forment les parties des deDts intérieures à ces mêmes circonférences primitives.

La ligure 1, pl. LVIII, montre l’application de ce principe.

A, B sont les centres de rotation; TrfD = Tf/G est le cercle décrivant, constant, qui en roulant, savoir : extérieurement sur F/ a décrit les faces rq; intérieurement à Ee a décrit les flancs mp de l’autre roue; extérieurement à Ee et intérieurement à F/' a déprit les faces mn et les flancs rs.

Ces courbes se conduiront ainsi qu’on l’a vu, page 625 , suivant un rapport constant des vitesses; — le demi-cercle générateur G jT sera le lieu du contact avant la ligne des centres; — le demi-cercle égal Tdl) sena le lieu du contact après le passage de celte ligne. — Ce contact s’éloignera de plus en plus du centre de rotation de la roue qui mène, en se rapprochant du centre de la roue conduite. — Il commencera avant la ligne des centres entre la pointe n de la dent conduite et la racine s de la dent qui conduit, remontera de n vers m sur la première et descendra de s vers r sur la seconde, jusqu’au passage de la ligne des centres sur laquelle le contact aura lieu entre les points r etm. — Il s’avancera, après le passage de celte ligne, de r vers q et de m vers n pour cesser à la pointe de la dent qui mène et à la racine de la dent menée, de telle sorte que le contact a lieu avant la ligne des centres au dedans de la circoulérence primitive de la roue qui mène et au dedans de la circonférence primitive de la roue menée, après le passage de cette ligne. — Chacune des roues peut d’ailleurs indifféremment conduire ou être conduite.

Diamètre du cercle décrivant. En aucun cas le diamètre du cercle décrivant ne doit être plus grand <|uc le rayon primitif de l’une quelconque des roues du système. S’il en était autrement les dents auraient à la racine une épaisseur beaucoup moindre que sur la circonférence primitive, défaut évident que partagent, quoique à un

dcgrc moindre, les dénis tracées d’après la seconde solution {fig. 2). Lorsque, au contraire, le diamètre du cercle décrivant T<?G (/>/. LVIII)est plus petit que le rayon du cercle primitif AT, les dents s’épanouissent vers -la base et acquièrent ainsi une forme qui favorise leur résistance à la rupture; il ne faudrait pas toutefois réduire ce diamètre à l’excès, car alors les faces épicycloïdales prenant trop de courbure, les dents deviendraient trop courtes; il semble que la meilleure règle à suivre consiste à prendre pour diamètre du cercle décrivant le rayon de la plus petite de toutes les roues du système.

Longueur des dents. Soit TA l’arc de retraite que l’on veut obtenir; décrivez l’épicycloïdc interne hd, d sera, par hypothèse, le dernier point de contact; A d sera dès lors le rayon total de la roue qui mène et dh le développement strict du flanc de la dent conduite. Une construction analogue tracée de l’autre côté de la ligne des centres donnerait la longueur des dents de la roue conduite et le développement de flancs de la roue qui mène.

On peut au reste calculer les saillies S, , S2, comme on l’a lait pour la seconde solution (p. 640 ). Comparant en effet les figures 2 et 1 ( pl . LVIII), on voit que le diamètre TD du cercle décrivant est équivalent au diamètre TB de la roue conduite (fig. 2), et comme TA arc de retraite {fig. 1) est égal à Td ou à Tl) X angle TDd, on obtient pour la saillie S, des deuts de la roue qui mène

A exprimant ici le nombre des dents que porterait une roue dont le rayon serait égal au diamètre du cercle constant TdD; on aurait de même pour la saillie S2 des dents de la roue conduite

Mais comme on suppose ici que deux roues quelconques du système doivent marcher ensemble et conduire ou être conduites, comme d'ailleurs il n’y a point d’inconvénient à augmenter un peu la saillie, tandis qu’en la diminuant le contact cesse trop tôt, on adoptera la première formule (a') pour exprimer la saillie S pour toutes les roues du système, de sorte que l’on aura en général

expression qui montre que la saillie S augmente a mesure que la nombre de dents D, diminue. A étant d’ailleurs la plus petite valeur que puisse prendre D,

S' — L* pfl A

sera la plus grande valeur que puisse acquérir la saillie.

Du plus petit nombre de dents. Il peut se déduire de la table qui accompagne la seconde solution , en observant que les nombres qui correspondent aux roues conduites doivent y être considérés comme exprimant les nombres de dents qui appartiendraient à une roue dont le rayon serait égal au diamètre du cercle décrivant.

Ainsi l’arc de retraite étant égal au pas, et le cercle décrivant étant celui d’une roue de douze dents, on voit que la plus petite roue qui puisse conduire serait une roue de trente dents au moins.

Crémaillères d’après la troisième solution. On a vu que le tracé de la- crémaillère, d’après la seconde solution, avait cet inconvénient grave que la développante des faces du pignon agissait d’un côté de la ligne des centres sur un seul point de la dent de la crémaillère. On évite ici cet inconvénient en choisissant pour cercle décrivant un cercle quelconque T AM [fig. 3,pl. LVIII) qui, roulant sur la tangente 3IN, engendre des arcs cycloldaux no qui forment ainsi les flancs des dents de la crémaillère. Le même cercle en roulant sur la circonférence primitive BT du pignon engendre des épicycloïdes dont le contact avec les premières courbes s’opère alors le long d’un arc on dont le développement sera d’autant plus petit que le diamètre du cercle décrivant sera lui-même plus grand.

En prenant T mk égal au cercle constant qui servirait à tracer les dents de toutes les roues d’un système , l’une quelconque de ces roues engrènerait convenablement avec la crémaillère.

Applications de la quatrième solution ( pl . LIX). Les dents en développantes de cercle diffèrent de celles qu’on a déduites de la seconde et de la troisième solution en ce que la face et le flanc appartiennent à une courbe continue, tandis que les dents épicycloïdales se composent de deux courbes diflérentes qui se raccordent sur le cercle primitif; — elles ont l’inconvénient d’agir plus obliquement et d’augmenter ainsi la pression sur les axes. Leur action s’exerce toujours en effet suivant une droite DTe tangente à leurs cercles de base et par conséquent oblique à la ligne des centres, tandis que les dents épicycloïdales agissent perpendiculairement à la ligne des centres à l’instant du passage sur celte ligne. — D'un autre côté elles jouissent de cet avantage qu’une variation de la distance des centres de rotation A B ne les empêche pas de se conduire convenablement et de plus que deux roues quelconques d’un même pas se conduisent également bien. — On a montré, au reste, que certaines combinaisons de dents épicycloïdales jouissaient de cette dernière propriété.

La fig.- 1 , pl . L1X, représente deux roues armées de dénis en développantes de cercle suivant la quatrième solution.

A, B sont les centres de rotation ; T le point de contact des cercles primitifs; BE, AD les rayons des circonférences développées, E D la tangente commune à ces dernières circonférences, tangente qui est dès lors le lieu du contact des dents. — Le contact s’opère donc pendant l’approche en dedans de la circonférence primitive de la roue qui mène, et au dedans de la circonférence primitive de la roue menée pendant la retraite.

Arcs d’approche et de retraite. Si l’on se reporte à la figure 5, pl. LIH, on voit facilement que l’action des courbes commençant en D, et T étant le point de contact à la ligne des centres des dents TH et TG, il faut que TH ait parcouru l’arc DIi pendant l'approche, or DT = arc DH puisque Tll est la développante de DH, donc