C -(- R, sin 0 1 -j- R, siu

pour le cas ou C est infini, devient

d — R, cos 0 = p,

ce rayon de courbure est indépendant du rayon de la seconde roue aussi bien <]ue du pas et du nombre de dents de la première.

Dès lors si, pour un système de roues, on fait 0 constant, deux roues quelconques de ce système marcheront convenablement. Prenant 0 75° 30' ce qui est une valeur très convenable, on aura

en général

p =: R cos 75° 301 — 0.25038 R = — à très peu près.

Soit alors A (fig. 4) le centre de la roue, AT son rayon primitif, menez TP faisant avec AT un angle ATP de 75» 30’ et du point A menez une perpendiculaire à TP ; le point P où cette perpendiculaire AP rencontre TP sera le centre de courbure et PT = p sera le rayon de courbure de la dent Op qui passe par T.

Il est encore plus simple de décrire sur le rayon R — A T un demicercle qui ait ce rayon pour diamètre et de déterminer le point P en

prenant une corde TP = ~.

Pour décrire les autres dents, on trace du centre A et du rayon AP intérieurement au cercle primitif une circonférence Vpmq qui devient le lieu des centres do courbure des dents; puis d’une ouverture constaute de compas = PT = p et par les divisions du cercle primitif on décrit des centres P ... q les dents pTO, mn, etc.

Analogie de ces dents avec les dents en développantes. On voit facilement que si Op était un arc de développante dont Vpq serait la base PT = p serait son rayon de courbure au point T. Ces dents se rapprochent donc des dents en développantes et participent de leurs avantages eide leurs inconvénients; toutefois comme elles sont tracées à l’aide d’un seul arc, il n’y a qu’une position pour laquelle le rapport des vitesses angulaires des roues est rigoureusement constant. Cette position est celle où le point de contact se trouve sur la ligne des centres.

Tracé des dents par deux arcs de cercle. On obtiendra un degré d’exactitude qui satisfera amplement à tous les besoins de la pratique en traçant le flanc et la face de chaque dent , chacun par un arc de cercle avec la condition que le point d’action exact de l'un soit situé un peu en deçà de la ligne des centres et celui de l’autre un peu au

delà de cette ligne et à la même distance = la moitié du pas, par exemple.

La planche LXl montre l’application de celte méthode, introduite par M. Robert Willis dans la pratique des ateliers anglais.

A est le centre de rotation de la roue, B celui de la roue avec laquelle la première engrène;

T le point de contingence de leurs circonférences primitives.

Par ce point T menez une droite QTç, formant avec la ligne des centres un angle PT A = BT5 qui peut être quelconque, mais qu’il est préférable de faire = 75° parce que les dents acquièrent alors une forme plus convenable.

Menez à cette droite QT</ et par le point T une perpendiculaire indéfinie et marquez sur celte perpendiculaire deux distances égales TK, TA, qui peuvent être quelconques mais plus petites toutefois que le plus petit rayon primitif AT. Par l’extrémité K de cette perpendiculaire et par le centre B menez B K que vous prolongerez jusqu’à sa rencontre Q avec QT<j. Joignez K au centre de la roue A, celte droite coupera QTj en un point P.

P est le centre de courbure des faces de la roue A, et Q est le centre de courbure des flancs de la roue B.

Pour avoir les rayons de courbure, prenez sur la circonférence primitive aTe de la roue A un point m situé à une distance de T égale au demi-pas et de l’autre côté de la ligne des centres par rapport aux deux centres Q et P. Pm sera le rayon de courbure des faces de la roue A, et Q m le rayon de courbure des flancs de la roue B; les premières seront donc convexes et en saillie sur la circonférence de rayon lî, , les secondes seront concaves et à l’intérieur de la circonférence de rayon R,.

Réciproquement , pour obtenir les centres et les rayons de courbure des flancs de la roue A et des faces de la roue B, lirez BA, puis par A et k tirez A k que vous prolongerez jusqu’à sa rencontre q aveu QT q. Les poinlsp et q sont les centres de courbure cherchés. Mar-

3 uez alors sur la circonférence primitive BT un point n à une distance e T égale au demi-pas et situé de l’autre côté de la ligne des centres par rapport à p et q; pn et qn seront respectivement les rayons do courbure des faces de la roue A et des flancs de la roue B, les premières étant prises en dedans du cercle primitif AT et les seconds étant en saillie sur la circonférence primitive BT.

Pour achever le tracé de l’engrenage on décrira du centre B et des rayons BQ, Bp, deux circonférences concentriques à la circonférence primitive BT, la première sera le lieu des centres de courbure des flancs, la seconde celui des centres de courbure des faces pour cette même roue BT. Plaçant une des pointes du compas sur la première Q" Q' Q on décrira tous les flancs de cette roue avec une ou-

verture constante Q'm' — Q" m" — Q m. On opérera de même pour les flancs qu’on tracera avec une autre ouverture constante p'ri —p"n" =zpn en s’appuyant sur la circonférence p" p' p tracée avec le rayon Bp.

On opérera d’une manière analogue pour la roue AT. La circon férencc q q1 q" tracée du rayon A q sera le lieu des centres de courbure de ses flancs dont les rayons de courbure constants sont q' n' = q" n" = qn. La circonférence P' P" P tracée du rayon AP sera le lieu des centres de courbure de ses faces dont les rayons constants P'm', P" m" sont donnés et = Pm.

Il importe de remarquer que les dents de la roue A par exemple ne changeraient point de forme, quand bien môme la roue B avec la-

Îiuclle elle engrène aurait un rayon différent de BT, pourvu touteois que les distances K T = TA = C demeurassent constantes. Quellcque puisse être en effet la position de B sur la ligne des centres, celte position n’affecterait que les lieux des centres de courbure Q et p des dents de celte môme roue BT, sans rien changer à la situation des centres de courbure P q de la roue AT.

Il en résulte que, quel que soit le nombre de roues d’un système pour lequel les lignes Qq cl KA conserveront les mômes positions angulaires par rapport à la ligne des centres, et les droites KT=TA la môme valeur absolue C, deux quelconques de ces roues marcheront ensemble convenablement.

On peut d’ailleurs déterminer la distance KT dans un tel système en considérant que si A se rapproche de T, A q qui tend d’abord à devenir parallèle à Tq, dépasse ensuite cette position; q dans le cas du parallélisme est rejeté à l’infini et le flanc de la roue A devient une ligne droite perpendiculaire à PT q. Lorsque la position de A qui rend T q parallèle à PTq est dépassée, le centre de courbure q des flancs de A se trouve situé de l’autre côté de T et ces flancs deviennent alcfrs convexes, ce qui donne aux dents une forme bizarre.

Il parait donc rationnel de donner à KT, pour valeur maximum, celle qui, combinée avec le plus petit rayon du système, rendrait A q parallèle à Tq. r étant dès lors le rayon primitif de la plus petite roue d’un système générai d’engrenages, on a

KT = rXs*nQTA, ou C=r. sinO.

Substituant celle valeur de C dans les formules qu’on obtient facilement en raisonnant comme à la page 649, il vient pour la distance d du point de contingence T au centre P de courbure des faces d’une roue de rayon R,

d — 11 ’ ^°S * = PT pour les faces

et pour celle D au même point T du centre de courbure q des flancs concaves de la même roue

Rr cos 0 ,

D = R j- r = q T pour les flancs.

Donnant à r et 6 les valeurs constantes qu’on juge les plus convenables pour ce système général d’engrenages, on calcule et l’on dispose facilement en tables numériques les valeurs de 1) et d correspondantes à différents rayons et à différents pas et l’on se trouve ainsi dispensé de faire un tracé pour chaque cas. , .

Si par exemple on prenait r= 1” pour le rayon du plus petit pignon d’un système de gros engrenages, tels que ceux qui font marcher un laminoir à fer, et 0 = 75° 30', on aurait sensiblement

d ~~ 4 (R + 1) ct D — 4 (R — i)

Application aux lanternes. L’application de la méthode aux cas particuliers, indépendants de tout système général , est très simple. S’agifcil par exemple de tracer les dents d’une roue qui doit conduire une lanterne. Les fuseaux de la lanterne n’étant rien autre chose que des dents en arcs de cercle, on pourra supposer que le point K (fig. 3, pl. LX) est situé à l’inflni, AP, BQ deviendront ainsi perpendiculaires à PTQ et les centres de courbure se transporteront en R et S. Le premier R sera celui de la dent ct le second S le centre du fuseau » prenant entre T ct S un point m à une distance de S égal au rayon du fuseau, Rm sera le rayon de courbure de la dent.

Autre application. Si, imitant les dents de la seconde solution, on voulait que le flanc de la roue À ( fig . 3, pl. LX) fût une droite dirigée suivant le rayon, celte condition rejetterait évidemment à l’infini le centre de courbure de ce flanc, le point k s’obtiendrait donc en menant de À une perpendiculaire à la direction K/TA. On joindrait ensuite les points k et B par une droite qui couperait PTQ en un point qui serait alors le centre de courbure de la dent destinée à conduire le flanc droit. La perpendiculaire A R serait elle-même la direction de ce flanc ctcc serait par le point R que devrait passer Parc de la dent qui mène. L’angle RT A devrait en mémo temps prendre la valeur qui rendrait TR= demi -pas, puisque R est par hypothèse le point pour lequel les dents agissent convenablement et ch toute rigueur. ^ ‘

Analogie de ces dents avec les dents épicydoidales. Soient (fig. 4, pl. LUI) TOô = o, TA = ‘2 r le diamètre dit cercle générateur do l’cpicycloïdc abc, pignez T b, cette droite sera normale en b à l’épicycloïde abc, et son rayon de courbure au même point b sera

or, on a

Ti = 2 r siu ± f

et cette normale fait avec la ligne des centres un angle 0 tel qu’on a

si l’on fait

cos 0 = sin j y

la distance au point T du centre de courbure du point b de l’épicycloïde deviendra

(Tn^-Sr)!,nîT = ir+*;eol,(l

expression qui est précisément la valeur générale de d (page 6*^9) lorsqu’on fait dans cclloci

C =a 2 r sin 0

ce qui montre que si mn (fi g. 3, pl. LX) était un arc de l’épicycloïde engendrée par le roulement sur la circonférence primitive AT d’uu cercle générateur dont le diamètre 2 r serait

Pm serait précisément le rayon de courbure de Fépicycloïde au pointm; on démontrerait de la même manière que Q'm est le rayon de courbure de Fépicycloïde interne mp au môme point m.

Les dents tracées par la méthode appliquée planche LXl se rapprochent donc suffisamment des dents épicycloïdales de la troisième solution , et toutes les règles données pour celles-ci quant aux moindres nombres, aux saillies, etc., sont applicables à celles-là.

Ijortque les axes des roues ne sont pas parallèles , on déterminera les cônes roulants comme il a été dit pages 620 et 621 , c’est à dire (fig. 1 , pl. LXIl)queIa position des axes \a,, Àa , étant connue, on divisera l’anglca, A a, compris entre eux en deux autres c, AT, e3AT par une droite AT, telle que les perpendiculaires Te, , T c3 soient réciproquement comme les vitesses angulaires des axes. Menant par le point T une perpendiculaire a,Ta2 à AT clic déterminera sur les axes deux points a, , a, qui seront les sommet!. respectifs de deux surfaces coniques Tdtelhl,id%eihi opposées à celles TrfjA,!!, T(/3A3R

qui portent les dents. C’est sur la surface de ces troncs de côneTd,e,A,, Trf2e2A2 qu’on applique les panneaux des dents et qu’on vérifie le trace général de l’engrenage.

Pour tracer ces dents, on développe ces surfaces troncs coniques sur un plan perpendiculaire en T à l’arête commune A BT. a,A,TA2ff2 serait la (race de ce plan qui serait dès lors perpendiculaire au papier. On a rabattu ce plan dans la figure 1 en le faisant tourner de 90° autour de sa trace «,T<r2, ce qui permet de voir les développements complets TA,!!,!’,, TA2H2T2 des surfaces coniques Td,e,T, TdjfjT. Il ue reste plus qu’à traiter ces arcs primitifs TT,, TT2 comme les cercles primitifs de deux roues planes dont les axes seraient parallèles et situés en a,, a2, c’est-à-dire qu’on tracera les dents de ces arcs par l’une quelconque des méthodes précédentes.

Des surfaces coniques A,G,T,B, A2Ï2G2B, parallèlcsaux premières, seront développées comme celles-ci et l’on y tracera comme en Ai'lB, les limites des dents vers l’intérieur. On voit en F/,0,0, la coupe totale de l’une de ces dents et un examen attentif de l'épure suppléera facilement de longues explications.

En pratique on commence par exécuter le solide conique dont la section serait e,G,0,F, , section limitée par deux surfaces coniques parallèles e,F,, G,0, et par deux autres e,G, , F,0, dont la génératrice passe par le sommet A. On trace sur des feuilles de laiton très minces et très flexibles les développements TA, H, T, , A»B,G des surfaces coniques parallèles, puis traçant les dents sur le métal avec une pointe d’acier, on découpe les panneaux qu’on euveloppc ensuite exactement sur leurs surfaces coniques respectives. Suivant alors avec un style les découpures des dents, elles se trouvent tracées sur les surfaces coniques e,F,, G, O,; on enlève tout ce qui excède le contour des dents en ayant soin que toutes les génératrices soient rigoureusement dirigées vers le sommet A, de telle sorte que la droite

3ui partant de A serait assujettie à s’appuyer sans cesse sur le contour e la dent/-, F, décrivit rigoureusement la dent O, o,.

Celte méthode, duc à Tredgold (1823) et à M. Poncelet, qui l’avait enseignée depuis longtemps, est d’une exactitude amplement suffisante en pratique. Elle suppose que les dents se conduisent dans des plans perpendiculaires à BT, ce qui est rigoureusement vrai pour le moment où elles passent dans le plan A a,a2 et dès lors sensiblement vrai pour les arcs d’approche et de retraite qui s’étendent toujours très peu en deçà et au delà de ce plan.

Au moment du contact, dans le plan A «,a2, les vitesses angulaires des axes sont donc rigoureusement en raison inveisedes rayons a, T, a, T, et ces rayons de développements sont évidemment eux-mémes dans le rapport des rayons C, T, C,2T des cônes dentés.

R étant le rayon C,T de l’un des cônes, c celui a, T du développc-

056 ENOflENAGES.

ment correspondant, a le demi-angle au sommet, on a

It

^ cos a

Ainsi l’action d’une roue conique est équivalente à celle d’uue roue

droite du même pas dont le rayon serait . n étant le nombre de

n «os a

dents de la roue conique, serait celui de la roue droite.

* 1 cos a

Ces relations montrent l’un des avantages des roues coniques sur les roues droites d’un même nombre de dents, car les roues marchent d’autant mieux que le nombre de leurs dents est plus grand et l'on voit qu’une roue conique équivaut à une roue droite d’un plus grand nombre de dents.

Lorsque deux roues coniques sont égales et leurs axes à angle droit, il vient

cos a

et l’action d’une telle roue est presque équivalente à celle d’une roue droite qui aurait moitié plus de dents.

Roues de champ. Deux roues de champ parfaitement égales (fig. 2 , pl. LXII), armées de fuseaux cylindriques égaux et perpendiculaires à leurs plans respectifs, dont les axes prolongés passeraient à une distance fe l’un de l’autre égale au diamètre des fuseaux, se transmettraient encore leurs vitesses angulaires dans un rapport constant.

Soit en effet a le centre d’un fuseau en prise avec celui dont l’axe est d ; menez fb dans le plan de la roue supérieure parallèlement à l’axe de la roue inférieure, et du centre a menez à fb la perpendiculaire ab. De même, par le centrcC de la roue inférieure et dans son plan menez Ce parallèle à l’axe de la roue supérieure, puis du centre d la droite de perpendiculaire à Ce. ab sera pour l’une des roues le sinus de la distance angulaire à fb, et cd celui de la distance angulaire à Ce dans l’autre ronc égale. Or la projection de la distance des axes ad est égale à celle de b à c = fe = diamètre d’un fuseau, donc a b — de et les mouvements angulaires sont égaux.

Lorsque les roues sont inégales (fig. 3, pl. LV), ce qui est le cas le plus ordinaire, et lorsque leurs axes se rencontrent, l’une étant armée de fuseaux cylindriques, l’autre doit recevoir des alluclions dont la surface de révolution peut être déterminée par les considérations suivantes :

Tracé des alluchons. Soit (fig. 4) c le centre de la roue qui porte les fuseaux cylindriques et supposons d’abord ces fuseaux réduits à leurs axes; PA P, est la circonférence primitive qui passe par les cen-

très des fuseaux, et p Ai», ia projection du cercle primitif des attachons de la grande roue que l’on voit en plan (fig. 5). Soient enfin P un fuseau, fm l’axe du solide de révolution avec lequel il est en prise, pFf la courbe génératrice de ce solide, dont on voit une section sur le plan, au niveau de Pu. On suppose que les cercles se touchent en A.

Faisant AC == r, al=z R, ma A —<? = distance angulaire de mf au plan des centres, ACP = fl, mN=x, NP= An = y, mp — p, on a

Am zz: R sin (p; y — r sin vers 0; Nm = Pn — Am x zzz r sin B — R sin o

Les vitesses aux circonférences étant égales par hypothèse et les points;» et P étant en coïncidence en A, l’arc AP de la figure 4 doit être égal à l’arc tm de la figure 5, augmenté du rayon mp de la base du solide ou du moins à très peu prés, d'où

Cette valeur de x combinée avec celle de y permet de tracer par points la courbe pFf, et rendant au fuseau son diamètre réel la courbe de l’alluchon s’obtiendra à la manière ordinaire en traçant une courbe parallèle à pFf à une distance égale au rayon du fuseau cylindrique.

L’alluchon pFf, en supposant qu’il conduise, se meut nécessairement dans la direction de la flèche et s’éloigne du plan des centres. Si l’on considère maintenant le fuseau Pt et l’alluchon plFtfl pendant leur approche de l’autre côté du plan des centres à une distance angulaire 0 égale à la première, la valeur de y reste la mémo, mais on a (ç, étant fait égal = mtat)

x, = R sin f, — r sin fl

R cp, — rQ =3 p = rfl — R a

d’où résulte

R sin tp, — r sin fl < r sin fl — R sin o et dès lors x, < x

La courbe p,F/( n’est donc pas la môme que pF(, mais elle est comprise dans celle-ci. Si les alluchons sont faits au tour, l’axe du solide de révolution coïocidcra avec le centre et la plus petite courbe doit être nécessairement adoptée; dès lors l’action ne se maintiendra qu’autant que le fuseau sera situé entre l’alluchon et le plan des centres. Or comme il convient que celle action s’exerce de préférence après le plan des centres qu’en deçà, il s’ensuit que lorsque les alluchons seront tournés, c’est la roue conduite qui devra les recevoir, les fuseaux cylindriques devant alors être donnés à la roue qui mène.

La figure 5 montre que le lieu du contact des alluchons d’un côté du plan des centres comme en m,, est compris à très peu prés dans la moitié de l’allucbon qui est intérieure au cercle primitif, tandis que de l’autre côté du plan des centres comme en m le lieu du contact est compris dans la moitié qui est extérieure. On pourrait donc obtenir une action régulière de l’un et de l’autre côté du plan des centres en formant la partie extérieure de l’alluchon suivant p, F,/j et la partie intérieure suivant p F f. Ce qui montre la possibilité pour les roues de champ de se transmettre leurs vitesses angulaires dans un rapport constant. Au reste ces systèmes ont cet inconvénient que le contact n’a lieu qu’en un seul point. On ne les emploie plus que pour des modèles ou dans les machines dont le travail est excessivement faible.

Application des développantes à la transmission du mouvement angulaire entre deux axes qui ne se rencontrent pas. Faites tourner le plan de l’une des roues de la figure 1, pl. LIX, autour de la droite De qui était le lieu du contact des dents lorsque les roues B, A étaient dans un même plan. Cette ligne De deviendra l’intersection des plans des roues; — la position de chacune des roues dans son propre plan ne sera pas changée par rapport à cette droite; — l’inclinaison des axes aura varié, ces axes ne se rencontreront pas, et la perpendiculaire commune menée dé l’un à l’autre sera égale à De ; — cette droite De sera toujours le lieu du contact des dents et le rapport des vitesses angulaires des axes restera, constant et le même qu’avant le mouvement des plans. Des dents en développantes pourraient donc transmettre dans un rapport constant le mouvement de deux axes inclinés d’une manière quelconque l’un par rapport à l’autre pourvu qu’ils ne se rencontrent pas. Cela suppose toutefois que les roues sont infiniment minces ou qu’elles ne se louchent que suivant la ligne De intersection de leurs plans. La tranche de l’une d’elles devrait donc, en pratique, être arrondie de telle sorte que le contact n’eût lieu que sur la ligne l)e. Cette propriété, au moins curieuse, des développantes a été signalée par M. Olivier, à qui l’on doit de beaux et nombreux travaux de géométrie descriptive (Yoy. Bulletin de la Société d'encouragement, t. XXXVIII, p. 430).

ENTURES.

Valeur approximative du travail perdu par le frottement des engrenages. Soient :

S l’angle formé par les plans des deux roues ; n le nombre des dents de l’une d’elles et qui arrivent elfcclivement au contact pendant un tour;

n' celui des dents de la seconde, qui touchent effectivement pendant un tour de cette seconde roue ;

f le rapport du frottement à la pression et qu’on suppose être le même pendant l’approche et pendant la retraite;

m le rapport

arc d’approche arc de retraite’

T le travail que les roues se transmettent en une seconde; n le rapport 3.14159 du diamètre à la circonférence.

On a, d’après M. Coriolis, pour le travail par seconde absorbé par le frottement des engrenages.

f* T (!+”»*) i / i 1 2 cos 6

(1 -f- m;» y ~r ^7, nn!

Cette expression devient un minimum pour m — 1 , c’est-à-dire quand arc d’approche = arc de retraite; elle se réduit alors à la moitié de ce qu’elle est quand le contact se fait d’un seul côté du plan des axes.

Si les roues sont dans un même plan et extérieures l’une à l'autre, ce qui est le cas le plus ordinaire, oo a ô = 180° et cos 3= — 1, il vient

Mtl + m1) (i , i\

c’est l’expression donnée par M. Poncelet, il y a plus de vingt ans.

Enfin lorsque l’une des roues est intérieure à l'autre 8 = 0 cos 8 = 1 et l’on a

valeur toujours moindre que la précédente et qui montre que le travail absorbé par le frottement est moindre pour les engrenages internes que pour les engrenages externes.

ENTURES. Voyez Assemblages^

ÉPACTE. Nombre qui exprime l’â'gc de la lune en jours au renouvellement de l’année. On peut retrouver l’épactc par la règle suivante qui ne s’applique que de 1 800 à 1 900 :

660 EPACTE

1° Retranchez + des deux derniers chiffres à droite du millésime, divisez par 19, le reste de la division est le nombre d’or ;

2° Retranchez 1 du nombre d’or, multipliez le reste par 11, supprimez tous les multiples de 30, le reste est Yêpacte civile.

Lorsqu’on connaît Yêpacte, il est facile d’en déduire à son tour l’àge de la lune pour une date donnée; ajoutez à cette date l’épacte de l’année et autant d’unités qu’il y a eu de mois entièrement écoulés depuis mars inclusivement; retranchez 30 si la soustraction est possible; le reste est l’âge de la lune à la date donnée.

Lorsqu’il s’agit des deux premiers mois de l’année, on substitue mars à janvier et avril à février, les dates lunaires étant respectivement les mêmes.

ÉPICYCLOIOES (pl. XLIV). Courbes engendrées par un point M (fig . 1) de la circonférence d’un cercle Hof qui roule, sans glisser, sur une autre circonférence MAF.

Si le cercle M a b roule à l’intérieur du cercle MAE, l’épicycloïdc MF est dite interne ou intérieure.

Tracé. Soient R le rayon du cercle fixe dont le centre est O, r celui du cercle roulant ; prenez sur chacune des circonférences un arc de même longueur développée.

Si cet arc embrasse D<> degrés sur la circonférence 2 ir R , il embrassera sur la circonférence roulante 2-rr, un nombre d de degrés tel qu’on aura nécessairement :

do = - 1)0

Divisez donc l’arc de U degrés sur la circonférence 2rR et celui de d degrés sur la circonférence 2i vr en un même nombre de parties égales et vous aurez :

arcs MA = Mo; MB = M4; AB = a6; MD = Md...

Par les points de division A, B ... F du cercle fixe, tirez des rayons indéfinis, puis du rayon Oo = R -J- r = distance des centres, décrivez oo6. Cet arc, pendant le mouvement du cercle mobile sera évidemment le lieu du centre o de ce cercle.

Il n’est pas moins évident que le roulement du cercle mobile amènera successivement ses points a , b, c, d ... sur les points correspondants A, B, C, D ... du cercle fixe, le point décrivant M s’éloignant lui-même successivement du centre 0, d’abord autant que a s’en rapproche, puis autant que b s’en rapproche ...., puis autant que rs'en rapproche, puis... etc., etc., donc :

Lorsque a sera en A, le point décrivant M sera sur l’arc décrit de O comme centre avec 0« pour rayon; or, M est aussi un point de

EPICYCLOIDES. 661

la circonférence du cercle générateur, dont le centre a puisé en o donc M est en t intersection de l’are al décrit de O avec 0« pour rayon et de l’are 1o, décrit de o, comme centre avec r pour rayon.

•Ainsi, du centre O, décrivez des arcs de cercle passant par les points de division a, b, c, d. . . f du cercle mobile ; avec le rayon r de ce cercle et successivement des lieux o4, o,2, o3, o. ... o,, de son propre centre décrivez Td’autres arcs; ils recouperont les premiers en des points 1, 2, 3, 4, 5, 6, qui appartiennent à Vépicycloïde.

Le tracé de Vépicycloïde interne dérive absolument des mêmes con- Éîdérations. 1^ bas de la figure en montre l’application. On peut remarquer que cette épicycloïde interne se réduirait à une droite MM' si le cercle mobile avait un diamètre 2r = R = rayon du cercle fixe.

Enfin, si le cercle fixe avait un rayon R infini, sa circonférence ^deviendrait une droite et le point décrivant du cercle mobile engendrerait une CYCLOÏDE.

En continuant le tracé de la figure, le point M du cercle mobile viendrait de nouveau au contact en M' extrémité du diamètre fixe MM', parce que l’on a fait R == 2r dans cette figure.

En général, une révolution entière du cercle mobile donnera autant d’arcs d’épicycloïdes et autant de points de rebroussement que

l’indique le rapport - réduit à sa plus simple expression, et dès lors,

le point décrivant M ne reviendrait pas à son point de départ si ce rapport était incommensurable.

Tangentes et normales à Vépicycloïde. Soit l, le point de l’épicy— cloïde par lequel il s’agit de mener une tangente tT ou une normale tS à la courbe. Du rayon Or décrivez un arc qui ira rencontrer la circonférence génératrice en un point s , lorsque celte circonférence occupe sa position initiale. Cherchez sur le cercle fixe le point S correspondant à s, ce qui revient à prendre sur lo cercle fixe un arc dont le développement MCS soit égal à Mes. Joignez r et S par une droite, t S est la normale au point t, et par conséquent, la perpendiculaire <T à <S est tangente à la courbe au point t.

La nortnalet S à un point quelconque t de l’épicycloïdc passe par le point de contact S du cercle de base et du cercle générateur.

Considérons maintenant pour plus de simplicité les cercles fixe et mobile comme deux polygones réguliers (fig. 5) d’une infinité de côtés tous égaux entre eux mais infiniment petits

Ma — ab — bc = AB = BC = ...

en sorte que ces polygones ne soient pas semblables ; et faisons rouler l’un de ces polygones MaAc ... sur l’autre MABC ...

Soit le rayon du cercle mobile ou celui du cercle inscrit au poly-

contingence abn, —■ sera R

662 EPICYCLOIDES.

gone mobile 2= 1 , <lo son angle de

l’angié de contingence naB du cercle ou polygone fixe, puisque les angles formés par deux arcs égaux dans différents cercles sont entre eux en raison inverse des rayons de ces cercles. Cela posé, la seule inspection de la Ggurc 5 donne facilement les relations ou propriétés suivantes :

Pendant la rotation d’un sommet quelconque du polygone mobile autour du sommet correspondant du polygone fixe, e sur E par exemple, une des extrémités E de la corde eM ou E4 de l’arc Mce = f pourra être regardée comme fixe, tandis que l’autre M ou 4 décrira un arc de cercle qui sera le côté élémentaire ds de l’épicycloïde.

La tangente à l’épicycloïde sera donc perpendiculaire à la corde de l’arc 9 qui a roulé.

Le petit côté ds de l’épicycloïde se confond avec un arc de cerqfôs* décrit d’unaravon = corde 9 et égal à la somme des arcs de contingence

ds — | dy -(- ^ J corde 9 = j dy . 2 sin £9

l’arc total s sera donc l’intégrale de la quantité ci-dessus, ou

L’élément de l’aire d A est visiblement égal au petit triangle scalène dont d 9 est la base et corde 9 un des côtés , plus au triangle isocèle qui a corde 9 pour côté et ds pour base. Or le premier de ces éléments est l’élément du cercle, le second est

donc l’aire de l’épicycloïde est égale à l'aire du cercle plus à l’urrégbalb de la quantité précédente.

L’angle que font ensemble deux côtés consécutifs de l’épicycloïdc est égal à — - -|- deux angles à la base d’un triangle isocèle dont l’angle du sommet est <^9 -] — — . Cet angle de contingence 3 est

donc

2 ' Il

enfin le rayon p de courbure est égal au côté ds de la courbe divise par l’angle 3 de contingence, donc

EQUATIONS. 663

p = 2 (U + I) 2 siu i f 2 + R

de sorte que si, au lieu d’êire égal à I , le rayon du cercle générateur était r, on aurait