SID
Si l’on faisait R négatif dans les formules précédentes, on aurait les propriétés de l’épicycloïde interne.
Enfin si l’on y faisait R = infini , on aurait les propriétés de la cycloïdk ordinaire.
ÉQUATIONS. On appelle équation une égalité entre deux quant tités; c’est à l’aide des équations que se résolvent tous les problèmes.
2 x -j- b — a est une équation.
On appelle membre l’ensemble -des quantités situées d’un même côté du signe = ; on appelle 1er membre tout ce qui se trouve à gauche du signe = et 2e membre tout ce qui se trouve à droite.
Les quantités qui composent un même membre lorsqu’elles sont séparées par les signes -f- ou — se nomment les termes.
Toute équation peut être considérée comme la traduction algébrique d’un problème et réciproquement tout problème donne lieu à une équation.
Les diverses questions qni peuvent se présenter conduisant à des équations plus ou moins composées, on a partagé celles-ci en plusieurs classes ou degrés.
Occupons-nous d’abord des plus simples ou de celles dites équations du premier degré. On nomme ainsi les équations dans lesquelles les inconnues ne sont multipliées ni par elles-mêmes ni entre elles.
Equations du 1er degré d une seule inconnue. Résoudre une équation, c’est arriver à une expression dans laquelle l’inconnue seule dans un membre soit égalée à des quantités connues, combinées entre elles par des opérations qu’on sache effectuer.
Il suit de là que pour amener une équation à cet état, il faut dégager l’inconnue des quantités connues avec lesquelles elle se trouve combinée.
Or l’inconnue x peut sc trouver mêlée aux quantités connues par voie d’addition, de soustraction, de multiplication, de division, elle peut aussi se trouver élevée à une puissance ou placée sous un radical, ou entrer dans une proportion, comme dans les exemples suivants :
EQUATIONS.
La règle générale pour dégager l’inconnue peut se résumer ainsi : Faites sur les deux membres de l'égalité à la fois des opérations contraires à celles qui se trouvent indiquées par les signes ou symboles que subissent les quantités dont vous voulez débarrasser l’inconnue.
Un terme connu est-il lié à l’inconnu, savoir :
Par le signe de l’addition? soustraycz-lc des] ce qui revient à le deux membres; f changer de mem-
Par le signe de la soustraction? ajoutez-Ici bre en changeant aux deux membres; J son signe.
Par celui de la multiplication? prencz-le pour diviseur de tous les termes des deux membres;
Par celui de la division? qu’il multiplie tous les termes des deux membres.
L’inconnue est-elle élevée à une puissance? extrayez la racine correspondante;
Est-elle sous un radical? élevez à la puissance correspondante;
Entre-t-elle dans une proportion? égalez le produit des extrêmes au produit des moyens et opérez comme on vient de le dire.
Ces régies sont fondées sur ce que l’on peut pratiquer sur deux quantités égales des opérations semblables, sans qu’une égalité cesse d’avoir lieu. Les exemples suivants vont éclaircir la règle.
(A) Dégager xdc x — 3 -J- 5 = 9 Ajoutez 3 aux deux membres, il vient :
* — 3 3 } 5 = 9 -{- 3 ou x|5 = 9-f 3
EQUATIONS.
Soustrayez 5, il vient :
te -j- 5 — 5 — 9 — | — 3 — 5 ou as = 12 — 5 et x = 7
On voit que l’on aurait pu se contenter de faire passer les termes d’un membre dans l’autre en changeant leurs signes et l’on aurait eu immédiatement
(B) 4 «as — 5 6 — 3 dx +- 4 e
Ajoutant 5 6 et retranchant 3 dx dans les deux membres, ce qui laisse toujours subsister une égalité, il vient :
. 4 ax — 5 6 •+ 5 6 — 3 dx = 3 dx — 3d£-f-56-}-4c
ôtant les termes qui se détruisent, l’un par l’autre, il vient :
i ax — 3 dx=z5b-\-ic
résultat auquel on serait parvenu en changeant dans (B) les signes des termes qu’on transpose, ce que nous ferons toujours à l’avenir.
Réunissant en un seul terme, en conservant leurs signes, tous les facteurs qui multiplient x lorsqu’ils se trouvent tous ramenés dans le premier membre de l’équation, on a
(4 a — 3 cl) 5 i -)- 4 e
divisant par (4 a — 3 d), puisque (4 a — 3 d) est multiplicateur , il vient :
(4 a — 3 d) 4 a — 3 <1 oa 1 x * — x —
en remarquant que le dividende et le diviseur étant égaux le quotient est 1 .
am
d — 3b — 2c donne par transposition - = 36 — 2 c +• d
multipliant par a qui est diviseur, il vient :
= (3 6 — 2c‘+ d) a ou £=(36 — 2c + <f)a
^ + ^ — | = 3; en suivant la règle on aura :
a-XSXG . 1 X * X ® *X*X5 3X 4X5X6
666 EQUATIONS.
pour se débarrasser du diviseur commun 4 X 6 X 5 > on devra multiplier tous les termes par ce diviseur 120. et comme on peut multiplier une fraction en divisant son dénominateur, il vient :
30 x -f- 24 x — 20 x = 360 ou (30 -f- 24 —* 20) x = 360 ®==^ = 10 + H
On remarque ici que lorsque tous les termes d’une équation ont un même diviseur, on peut le supprimer sans qu’une égalité cesse d’avoir lieu. Il en serait évidemment de même si tous ces termes avaient un facteur commun.
y 3 x -fi -}- 2 = 6 donne \/Zx +4 =6 — 2 = 4 3 x -f 4 = (4)' = 64 3 x = 64 — 4 = 60 * x = ^ = 20
(F) J x : a :: 5 b : 3 c donne l’équation — — = 5 ab
, 20 ai
d’où l’on tire 9 ex = 20 ab x = — —
(G) a - {- sc = a2 -j- x y/4 b' + x' donne d’abord en élevant au carré, puisqu’il y a un ÿ
(a -j- x y — o1 -j- x v/46* + x’ ou à1 -j- x2 -J- 2 ax = a2 -J- x y\ b • -f x* &,
puis, successivement :
x1 -{- 2 ax = x y 4 6* + x *
f-,+-2aX-= |/4 A1 + x^
quarrant de nouveau pour faire disparaître le y/- {x + 2 a)' = 4 ô1 + x1 x* -j- 4 a2 +.4 ax = 4 -f- x1
EQUATIONS.
x 7 — x"1 -f- 4 ax — 4 b% — * a1 ax — b* — a 1
(H) Soit enfin i/ex — ae = b -f {/x — a qui revient à l/c (x — a) — l/c" X V X — a — b -j- }/ x — oj divisant tous les termes par y x — a, on a
ou i/o — 1 = — .
renversant les fractions, ce qui laisse subsister une égalité
multipliant par b
élevant au carré
Voici quelques autres exemples que nous développerons un peu moins :
il vient successivement
13 -j- 3 x = (13)* -f- 3 x — 2 X 13 yTï 3 X 13 yTï = (13)* — 13 2 yrï — 13 — 1 = 13
donne
EQUATIONS
(L) On tirerait encore, savoir :
dei (».+ !)+ i(x+3) = |(xr{-4)H- 16; x = 4!
de [/%£ : V 3 : i * = t \
de = y'^+~x' x = l | /b^~
en élevant les deux membres à la quatrième puissance.
Faisons l’application de ces méthodes à quelques problèmes.
Pour parvenir à résoudre un problème il faut d’abord former entre ses données une équation, puis il faut résoudre cette équation. On a donné des règles générales pour former l’équation de tout problème, mais leur généralité même en rend l’application assez difficile. L'habitude, le raisonnement suppléeront bientôt ces règles.
Diophante, l’auteur du plus ancien livre d’algèbre qui nous reste,
Sassa dans l’enfance le sixième du temps qu’il vécut, un douxième ans l'adolescence, ensuite il se maria et passa dans cette union le septième de sa vie, augmenté de cinq ans, avant d’avoir un fils auquel il survécut de quatre ans et qui n’atteignit que la moitié de l’âge auquel son père est parvenu; quel âge avait Diophante lorsqu'il mourut?
Solution. Soit x cet âgeauquel il mourut, ou lenombre d’années qu’il vécut, il est clair que sa vie entière x se compose de son enfance
g, de son adolescence du temps que dura son union ^ -}- 5, de la vie de son fils ^ , et du nombre d’années qu’il lui survécut ou 4 ; donc :
multipliant par 2 tous les termes de l’équation pour simplifier, réduisant les entiers du premier membre en fractions de même dèno-
EQUATIONS. 669
minateur, puis chassant ces mêmes dénominateurs, il vient :
42 x + 21 x -f 36 x 126 x -f- 2268 = 252 x d’où 27 x = 2268 *
d ou, enfin .t — — — = 84
Diophante mourut donc à l’àge de 84 ans.
On a employé deux ouvriers, gagnant des salaires différents ; le premier ayant été payé au bout d’un certain nombre de jours a reçu 96 francs; le deuxième ayant travaillé 6 jours de moins n’a eu que 54 francs; s’il avait travaillé tous les jours, cl que l’autre eût manqué 6 jours, ils auraient reçu tous deux la même somme; on demande combien de jours chacun a travaillé et le prix desajournée?
Soit le prix de la journée du premier.
le nombre de jours qu’il a travaillé sera.
Le second, qui a travaillé six jours de
moins, aura donc travaillé un nombre de
jours exprimé par
Il a reçu 54 francs; le prix de sa journée
de travail est donc s?— -z—
96 — Ci
Si le premier avait travaillé 6 jours de moins, puisque le prix de sa journée est x , il aurait reçu 96 — 6 x
Si le second avait travaillé tous les jours
puisque le prix de sa journée est
il aurait reçu - — — X - = xz -r
Or, ces deux sommes seraient égales, donc :
— — — =96 — 6x, d’où 5184 = (96 — 6 a:)1 d où 72 = 96 — 6®
*rU " U X
d’où, enfin , 6 x = 96 — 72 = 24 d’où x • = — = 4 francs.
670 EQUATIONS.
Le premier ouvrier gagnait donc * fr. par J jour, il a travaillé ?? = Sijours. » Json gain est bien 96 fr.
Le second gagnait :* 1
96 — 6 x 96 — 2* 72 r. par jour, J son g-ain est bien 5*fr.
il a travaille six jours de moins que le pre- I mier ou 18 jours.
Un père étant interrogé sur l’âge de son fils, répond : Si du double de l’âge qu’il a maintenant vous retranchez le triple de celui qu’il avait il y a six ans, vous aurez son âge. Gomment faire pour le trouver?
Solution. Représenter cet âge par x et résoudre l’équation 2 x — 3 (x — 6) — x
qui devient
2 x — 3 as 18 = a: ou — a: -f- 18 = a: d’où 2 x = 18
d’où, enfin x — — = 9
L’enfant a donc 9 ans.
Trouver tous les instants où les deux aiguilles d’une montre sont en coïncidence.
Soit x l’espace circulaire parcouru sur le cadran par l'aiguille des heures entre une coïncidence et celle qui la suivra.
L’aiguille des minutes marchant 12 fois plus vite parcourra évidemment dans le même temps l’espace circulaire 1 2 x.
Soit c la circonférence du cadran, l’aiguille des minutes parcourra évidemment entre deux coïncidences l’espace circulaire c 4- x.
Mais nous venons de voir que 12 x est aussi la valeur du même espace, donc
* 1 2 x = c -f- x donc x — ^
donc entre deux coïncidences l’aiguille des heures parcourra le ^ du cadran ou le de douze heures, ou enfin d'heure = 1 u et — .
Mais il y a coïncidence à midi , donc il y aura coïncidences à
12bàl + n, *+•’. 3h+,*, *h+A, 5h-j- , 6h+‘i, llb+£
La résolution des équations ou problèmes du premier degré con-
EQUATIONS. 671
dait en définitive à une équation finale que l’on peut représenter d’une manière générale par
, 6 ax — b ou x = a
en faisant d’abord abstraction des signes de a et de b.
Or, il peut se présenter divers cas où :
1° a et b ont le même signe, et alors ona ï= — - = - et x a le signe -f- ou est positif ; ~ a a
2° Ou a et b ont des signes différents et alors l’inconnue x a le * signe — ou x est négatif.
Lorsqu’un problème régulièrement mis en équation conduit à une solution de ce genre ou donne à l’inconnue une valeur négative, cela signifie ou bien que la solution est impossible, ou bien, lorsque la question se prête à de telles interprétations et c’est ce qui a lieu le plus souvent, cela annonce qu’il faut changer la qualité de l'inconnue en une qualité opposée, et par exemple des degrés de chaleur en degrés de froid, une vitesse dans une direction en une vitesse dans une direction contraire, un avoir en une dette, un bénéfice en une perte, une hauteur au-dessus d’un point en une profondeur au-dessous de ce point, une distance à sa droite en une distance à sa gauche, une action en une réaction, une puissance en une résistance, etc.;
3° b étant zéro, on a x = - ou ax = 0, c’est-à-dire que puisque a
n’est pas zéro par hypothèse, il faut bien que x soit zéro lui-méme pour que son produit par a soit =» 0 ;
4° b n’étant pas nul ou zéro et ayant un signe quelconque, et a
étant zéro, on a x = - , ce qui ne veut point dire, tant s’en faut, que
x soit = 0 comme dans le cas ci-dessus. Remarquons en effet que x n’est autre chose que le quotient de b par zéro ; or zéro ou rien étant contenu dans une quantité quelconque b un nombre de fois inassignablc, ou infiniment grand, on exprime cette circonstance par un caractère particulier qui est celui-ci oo ; on a donc x — oo ; on dit alors que x est infini ou infiniment grand, c’est-à-dire plus grand qu’aucune quantité quelque grande qu’elle soit; et suivant qu’en vertu du signe de b, x acquerra le signe -)- ou le signe — , sa valeur sera infinie dans un sens ou dans l’autre.
5° Enfin b ainsi que a peuvent être égales à zéro ; l’on a alors x — - , on dit alors que x a une valeur indéterminée, ^ étant le signe de ^indétermination. En effet x = - suppose 0 X a: = 0 , c’est-àdire suppose que x est un nombre tel qu’en le multipliant par zéro
678 EQUATIONS.
le produit sera égal à zéro. Or, n’est-il pas évident qu’un nombre quelconque multiplié par zéro = 0, a; a donc une valeur quelconque, x est indéterminé, cl lorsqu’un problème conduira à une valeur de
x = jj on en conclura que tous les nombres quelconques résolvent
la question.
Toutefois avant d’affirmer qu’il en est ainsi, il faudra s’assurer que l’on n’est point arrivé à cette expression en rendant nul quelque
facteur commun aux deux termes de la fraction générale - , et il
faudra faire disparaître ce facteur commun avant de se prononcer sur la vraie valeur de x.
Si par exemple un problème conduisait à un résultat final
a » fc*
x — — — — , et qu’on voulût voir quelle valeur prendrait x si
dans une hypothèse particulière a devenait — b, on pourrait être
tenté de croire que x deviendrait alors r = - — - ou indé-
terminée ; mais ce serait à tort, car en faisant disparaître d’abord le facteur (a — b) commun au numérateur et au dénomipalaur, il
vient x — — = — — b' ■" ' ^ = a -j- b et Hiyjfdtbôsc
a — b rend x = 2 a et non x = - ou indéterminé. (Voyez i.ndé- TERMinATiox pour trouver dans tous les cas la vraie valeur des expressions qui, pour certaines hypothèses, deviennent
Remarquons encore ou que l 'on a mal raisonné ou que le problème proposé est absurbe lorsque l’équation finale à laquelle on parvient renferme quelque absurdité, comme par exemple lorsque l’on tombe sur une égalité entre deux quantités manifestement inégales 3 c=c, ou lorsqu’on trouve pour x des nombres fractionnaires ou négatifs dans un problème dont la solution ne peut admettre que des nombres entiers et positifs.
Elimination. Lorsqu’une question renferme autant de conditions distinctes qu’elle contient d’inconnues , chacune de ces conditions fournit une équation dans laquelle il arrive souvent que ces inconnues sont mêlées entro elles. Si elles ne sont qu’au premier degré , on les élimine successivement par l’un des procédés suivants :
1er cas de deux équations et deux inconnues x cl y. Prenez dans chaque équation la valeur d’une même inconnue, x par exemple, et comme si y et les autres quantités étaient connues, égalez les deux valeurs de x ainsi trouvées, vous n’aurez plus qu’une seule équation et une seule inconnue y -, résolvez cette dernière équation qui donnera
EQUATIONS. 673
la valeur de y ; substituez celte valeur de y dans l'une ou l’autre des deux équations que vous avez prises pour la première opération et vous aurez en la résolvant la valeur de y.
Exemplb. Un problème a conduit aux équations :
l'équation (a) donne x —
donc — ~ — i
— — : -, 1 équation (6) donne x = — — - , J 5
équation qui ne contient plus d’inconnue
que y; en la résolvant on trouve 6 y — 5 y = 130 — 120 ou y = 10; mettant cette valeur de y à la place de y dans l’équation (a) ou l’équation (4) par exemple, il vient 5 x + 30 = 65 ou x = 7.
Si les deux inconnues x et y n’entrent pas dans les deux équations, on évite une substitution; ainsi, soit :
5 ax — 3 4 ex -j- dy — e
le calcul eu devient plus simple. La première équation donne 3 6 , , e — rfy ,,.36 e — du
x = — , la seconde donne x — d ou — = ,
5 a 5ae— 3 6c e 5a c
et enfin y = .
* 5 ad
Autre méthode. On peut encore multiplier les deux membres de la première équation par le coefficient de x dans la seconde, puis les deux membres de la seconde par le coefficient de x dans la première. On prend ensuite la somme ou la différence des deux équations selon que les signes de x dans les deux équations sont dissemblables ou semblables ; c’est-à-dire qu’on s’arrange pour que les termes en x se détruisent; il ne reste plus alors qu’une équation en y. Le reste de l’opération se fait comme ci-dessus. Soit encore
2 x -|- y = 24 il vient 10 x 5 y = 120 5x-|-3y = 65 10a;-|-6y=i:130
employant la soustraction, puisque les signes de x sont semblables, il vient
10a:-j-6y — lOx — • 5 y — 130 — 120 ou réduisant y = 10 et la première équation donne ensuite
2 x -j- 1 0 = 24 d’où x = 7
67* EQUATIONS.
2e cas. Trois équations cl trois inconnues x, y, s. Résolvez chaque équation par rapport à la même inconnue, x par exemple, et comme si y et z et tout le reste était connu. Egalez l'une des trois valeurs trouvée pour x à l’une quelconque des deux autres; puis ces deux autres entre elles, ou l’une d’elles avec la première. Vous n’aurez plus que deux équations et deux inconnues, et vous tombez dans le cas précédent. Soit
lOx
L'équation (a) i
Jonne
ou eu conclut
160 + 9 y — IOJî
qui conduisent 5 leur tour à
ou en conclut enfin
d’on z = 10. Mettant celle valeur 1 0 à la place de * dans l’une des équations qui ne contiennent que y et z, on en tire t/=20 ; remontant à l’une des équations primitives et y substituant 20 pour y et 10 pour z on trouve x = 30.
Dernier cas. m équations et m inconnues. Le procédé est tout à fait analogue à celui exposé ci-dessus. 11 faut :
1» Résoudre chaque équation primitive par rapport à l’une des inconnues, ce qui donnera m valeurs équivalentes de cette inconnue;
.2° Egaler l’une de ces valeurs avec chacune des (m — 1) autres,
EQUATIONS. 675
ce qui réduira le nombre des équations cl celui des inconnues à
3° Traiter ces équations dérivées comme on a traité les équations primitives, ce qui réduira à (m — 3) le nombre des équations ou des inconnues, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on n’ait plus qu’une inconnue et une équation. On résoudra cette dernière qui fera connaître la dernière inconnue et toutes les autres s’en déduiront en remontant de proche en proche comme on l’a vu.
Autre méthode. Lorsqu'on a plus de trois équations, le procédé suivant dû à Bezout est quelquefois préférable. L’application que nous en allons faire l’éclaircira. Supposons pour plus de brièveté trois équations seulement :
3ar-|-5y-f7s = 179 8 x -j- 3 y — 2 2 = C4- 5 x — y + 3 2 == 75
multipliez deux d’entre elles par des lettres indéterminées m et n, la seconde et la troisième par exemple, ce qui n’altérera point l’égalité, faites ensuite la somme des trois équations, il vient :
soient x et y les inconnues que vous voulez faire disparaître, il est clair qu’elles deviendraient nulles si leurs coefficients étaient zéro. Or, il n’y a qu’à supposer qu’il en est ainsi, c’est-à-dire il n’y a qu’à donner à m et à n des valeurs telles que les coefficients de x et y deviennent zéro. Ces valeurs seront évidemment déterminées par les conditions
et l’équation primitive sc trouvera immédiatement réduite à
d’où l’on tire
z serait donc connu si l’on avait m et n, or on tire facilement des équations de condition :
d’où
et n
676 EQUATIONS.
z — 15. Substituant la valeur de cette inconnue dans deux des équations primitives, on déterminera x et y en employant une équation de moins. On aurait pu déterminer x ou y de la même manière que seulement metn auraient pris d’autres valeurs.
Problèmes indéterminés. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici supposait que l’on avait autant d’équations indépendantes qu’il y avait d’inconnues à déterminer; or il arrive quelquefois 1° que l’on a moins d’équations que d’inconnues; 2° que l’on a au contraire plus d’équations que d’inconnues.
1er cas. Moins d’équations que d'inconnues. Lorsqu’on tombe sur ce cas, il y a des inconnues dont on peut disposer arbitrairement; la question est dite indéterminée parce qu’elle admet un nombre indéfini de solutions; mais si, comme il arrive ordinairement, on se donne la condition que les nombres cherchés doivent être entiers et positifs, alors le nombre des solutions diminue notablement et quelquefois devient nul.
Si l’on demandait de trouver deux nombres dont la somme fût égale à 4, on aurait l’équation :
*-fy = 4 x=* ~y
Un pourrait disposer de y , et donnant à cette inconnue des valeurs positives croissantes depuis 0 jusqu’à i , on aurait une infinité de valeurs correspondantes pour x, même en laissant de côté les valeurs négatives.
Que si on ajoute que x et y seront des nombres entiers et positifs, la question n’admet plus qu’un nombre déterminé de solutions et l’on voit que faisant suecessi veinent
on a x = 4 3 2 t 0
valeurs qui satisfont toutes à x -j- y — i
Soit l’équation générale
ax -j- b y = c . . . (A)
dont on cherche les solutions en nombres entiers.
Cette solution ne sera possible en nombres entiers qu'aulant que a, b, c seront eux-mêmes entiers, et en outre a et b devront n’avoir aucun facteur commun a moins que ce facteur ne le soit aussi Je c.
Si l’un des coefficients a ou b était = 1 , a par exemple, on au rail immédiatement
x — c — by
et ne prenant pour y que des nombres entiers, on aurait toutes les solutions de la question.
EQUATIONS. 677
Mais si a est différent de l’unité, voici comment on gouvernera les calculs : ,
Supposons a < 4; divisez b par a vous aurez un quotient m et un reste r, de sorte qu’on peut poser b — ma -j- r; et l’équation (A) deviendrait a (x my) -J -ry = c. I
Faisant x -|- my = t, clic prendrait la forme ry + at = c . . . (A')
Si r était ~ 1 la question serait résolue, car on aurait les équations x = t — my y = c — at
qui donneraient des nombres entiers pour x et y en prenant de pareils nombres pour t.
Si r est > 1 , comme r est nécessairement < a , divisez a par r vous aurez un quotient m' et un reste r', de sorte qu’on peut poser a — m'r -f- r', et l’équation A' deviendrait r (y -f- m'i ) -f- r't — c. Faisant y -j- m'< — u elle prendrait la forme
r't -f- ru = c • • • (A,f)
et si r' était = 1 la question serait résolue, car on aurait : x — t — my y —u — m!t t = c — ru
qui donneraient des nombres entiers pour t, y et z en prenant de pareils nombres pour u.
Si r' est > 1 , comme r' est nécessairement < r, divisez r par r' vous aurez un quotient m" et un reste r" de sorte qu’on peut poser : r = mV -|- r"
et l’équation A1' deviendrait r' ( t -|- ro"u) -|- r" u — c.
Faisant t -j- m"u =t>, elle prendrait la forme
r"u -}- r'v = c . . . (A'") et si r" était = 1, la question serait résolue, car on aurait : x — t — my y = u — m't r = u — m"u u — c — r'v
qui donneraient des nombres entiers pour u, t, y, x en prenant de pareils nombres pour v.
Si r" était > 1 on diviserait r' par r", l’on aurait un quotient m"' et un reste r'" ou r' = m'" r" -}- r’". et l’équation A'" deviendrait r" (u -f- m’"v ) -(- r"'v = c.
Faisant u -j- m"'v = w, elle prendrait la forme r’"v -J -r"te = c . . . (A")
et si r'" était = 1, la question serait encore résolue par les cinq équations :
678 EQUATIONS.
x — t — m y; y = u — m'I; t — c — m"u; u = tc' — m"'v ; • v = c — r"tP
qni donneraient des nombres entiers pour v, u, t, y, x en prenant de pareils nombres pour u>.
En continuant ainsi, on tombera nécessairement sur une équation dans laquelle l’une des inconnues aura 1 pour coefficient, puisque les restes successifs r , r', r" qui deviennent coefficients s’obtiennent par l’opération qui sert à trouver le plus grand commun diviseur, et que a et b sont premiers entré eux. Arrivée à ce point la question est résolue ainsi qu’on l’a vu plus haut.
Exemple». On demande comment on pourra faire équilibre à un poids de 254 kilogrammes, en mettant dans l’autre bassin de la balance des poids de 1 1 et de 5 kilogrammes?
On a évidemment, x étant le nombre de poids de 5 kil. et y celui des poids de 1 1 :
d’où m = 2 r = 1 a = 5 ô = ll c = 254
x — t — my y — c — ai
deviennent x = il t — 508; y = 254 — 5t
xdevantétre positif, il fautqu'on ail 1 1 t>508ou (inégalités) /> 46. 1 t/devantétre positif, il faut qu’on ait 5/<254ou t<50.8
l est donc plus grand que 46.1 et plus petit que 50.8.
Faisant
ou a
de sorte que l’on a quatre manières de faire équilibre à 254, sans compter celles qu’on pourrait obtenir en admettant des nombres entiers et négatifs, c’est-à-dire en plaçant des poids de cinq et onze kilog. dans le même bassin que le poids de 254 kilog.
Alliages. Soient v, v1, v".... les valeurs respectives de l’unité de mesure de diflérentes substances
s, »"... les nombres d’unité de mesure de chaque substance qui entrent dans un mélange dont S exprime le nombre d’unités de mesure.
On demande la valeur V de l’unité de mesure du mélange S?
On a évidemment :
»v 4- *V -f s"vi' -f- . = SV
EQUATIONS. 67 u
, tv s'v1 s"v'' + ...
et le problème est tout à fait déterminé.
Si maintenant on demande
Quels nombres respectifs d’unités de mesure . . s, s', s". . .
ayant des valeurs respectives », »’, »". . .
il faut mélanger pour que l’unité de volume du mélange ait une valeur V? On a encore les équations ci-dessus; si l’on ne mélange que deux substances ces équations deviennent :
# —J— a' = S sv -|- s'v' — SV
d’où * = S — s' et s' = — . . . ( d 0
et le problème est encore déterminé; mais s'il y a trois substances il devient indéterminé, c’est-à-dire que l’on n’a plus pour déterminer s, s ’ et s" que les deux équations primitives (d). On en déduit :
Applications. On livre pour charbons de chêne à une forge un mélange qui ne pèse que 200k le mètre cube; on soupçonne qu’il y a été mêlé du charbon de pin. Le mètre cube de cette dernière espèce pèse 137k.5, et l’on sait que le charbon de chêne pèse 250k le mètre cube. On demande combien il entre de charbon de pin et combien de charbon de chêne dans ce mélange?
On a (d1) V = 200 v — 250
il vient, pour déterminer le charbon de pin :
et pour le chêne :
On a de l’or aux titres suivants : 0.933 = », 0.906 = »' et 0.892 = »"; combien faut-il prendre de grammes s, s', s" de chaque espèce pour composer un mélange de 1000 grammes = S au titre moyen de 0.900 =V?
Les équations (») deviennent :
680 EQUATIONS
ou multipliant tout par 1000
17 *' -j- 31 s" = 23000 remontant aux équations (A") on a
u = 3 te — 23000 < = 115000 — 14 w il faut que l'on ait :
s” — 1 7 te
te > te >
s' = 253000 — 31 te s = 1* te — 114000
ou 8117.6
ou 8142.8
ou 8161.2
La seconde condition comprend la première : te sera donc entre 8142.8 et 8161 .2 ; il peut donc avoir pour valeursou 8 1 43 , ou 81 * 1 , ou 81 45 ou 8161. Ce qui donne 19 solutions.
On a , par exemple :
Pour te = 8143
Ce tableau montre qu’il suffit de connaître les limites de te cl l’une des valeurs respectives de *, *" pour en déduire toutes les
autres par additions ou soustractions.
Ainsi pour te = 8145 on a *"= 465 *' = 505 * = 30
Il suffit d’ajouter 17 à *65, 14 à 30 et de retrancher 31 de 505 pour avoir les valeurs correspondantes à te = 8146.
Ou bien encore, suivant une marche inverse, on déduira des valeurs trouvées pour le cas de te = 8161 celles qui correspondent à te = 8160, en retranchant 17 et 1* qu’on avait ajoutés lout à l’heure et en ajoutant 31 qu’on avait retranché, ces nombres 17, 31
EQUATIONS. r,*t
et 14 sont les coefficients de w dans les valeurs générales de s", s', f, et l'on voit que la série des valeurs particulières de ces lettres forment nécessairement des progressions par différence. On démontre qu’il doit eu être toujours ainsi et que dans la progression relative à s' la différence est le coefficient de s" dans l’équation primitive, tandis que dans la progression relative à s" c’est le coefficient de *' dans la
même équation qui est la différence.
Exercices. Soit à résoudre ‘20 x — 31 y — 7 On trouvera y — 3 x — 5
le nombre des solutions est illimité.
(II) . 3 x — 5 y = 9
On trouve x = 8 y = 3
x — 8 — j— 5 y xx 3 — j— 3 le nombre des solutions est illimité.
3 x 2 y = 20 trois solutions.
donnent y = 7 4 1
donnent treize solutions.
On demande de disposer 20 chevaux dans 5 écuries de manière qu’il y en ait toujours un nombre impair dans chacune? s est le nombre des chevaux de la première écurie; l celui de la seconde ; x celui de la troisième ; y celui de la quatrième; x celui de la cinquième.
s et t étant impairs s -f- 1 sera pair, faisons s -f- t = p; de même x -j- y sera pair, faisons x -(- y — q.
p -f- ç sera donc pair. Ajoutant à —J— ç le nombres qui est impair on aurait p -j- q -j- z = nombre impair ; or 20 est pair. Il n’est donc pas possible de faire ce qu’on demande.
