ATTRACTION

demeurerait en équilibre quelque part qu’il fût placé dans cet espace.

L’attraction de celte même couche sur un point extérieur est la même que si la masse du corps attirant était réunie à son centre.

Si la couche sphérique se change en une sphère entièrement pleine, et qu’elle ail partout même densité, l’attraction qu’elle exercera sur un point intérieur sera proportionnelle à la distance de ce point au centre de la sphère.

Les mêmes théorèmes ont évidemment lieu, si Vattraction se changeait en répulsion j pourvu que cette dernière force variât comme la première, en raison inverse du carré des distances.

Un point matériel, situé à l’intérieur d’une couche cylindrique, homogène, infiniment mince, y demeurerait en équilibre, parce que toutes les attractions s’entre-détruisent.

Une couche homogène, comprise entre deux surfaces elliptiques semblables, ayant le même centre et leurs axes dans les mêmes directions, n’exerce aucune action attractive (ou répulsive) sur un point situé dans l’espace vide que termine la surface intérieure, en sorte que ce point matériel sera en équilibre quelque part qu'il soit placé dans cet espace.

L’attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable, telle qu’une haute montagne, fait dévier le fil à plomb de la direction verticale; mais ces déviations sont nécessairement très faibles, et le calcul montre qu'une sphère homogène d’environ 31 mètres de rayon, et d’une densité égale à la densité moyenne de la terre, ne produit qu’une déviation d’une seconde au plus dans la direction du fil à plomb; encore faut-il que cette sphère touche l’extrémité inférieure de ce fil, et que son centre soit situé dans le plan horizontal passant par celte extrémité.

Bouguer a trouvé 7" à 8" pour la déviation du fil à plomb, causée par l'attraction du Chimboraço; et Maskelyne, une déviation de 54" par l’effet de l’attraction des monts Shéhallicns en Ecosse.

AXES. Soit N (pl. XX, fig. 1) la résultante de toutes les forces actives qui agissent sur un système porté par un axe cylindrique C, de manière à le faire tourner. La direction NK de cette résultante ne saurait passer par le centre C de l’axe; car, si elle y passait, elle aurait pour effet de faire prendre à l’axe, dans scs supports, une position telle, qu’un rayon de celui-ci se confondrait avec la direction de cette résultante; et N étant alors détruite par la réaction du support au point de contact de l’extrémité du rayon avec lui, la rotation, contrairement à l’hypothèse, n’aurait pas lieu. On voit même facilement que la direction de N passera toujours, par rapport au centre, de ce côté de la circonférence, dont les points se rapprochent du point de contact K , et par conséquent a droite du

centre dans le cas de la figure 1 ; à gauche si la rotation a lieu en sens inverse, fig. 6.

* Quant à la position K que prendra l’axe dans ses supports, elle a été déterminée par M. Poncelet ainsi qu’il suit :

Soit /"le rapport du frottement à la pression pour l’axe et ses supports, <p l’angle de N avec la normale K.C. N cos. 9 est la pression normale en K, fS cos. <ç le frottement auquel elle donne lieu, N sin. <p sa composante tangcnlielle directement opposée au frottement; et évidemment l’axe s’arrêtera à ce point K du support pour lequel on aura

f N cos. «p = N sin. <p ou tang.<p=/'

9 est donc l’angle du frottement, et :

Quel que soit le nombre de forces actives agissant dans un même plan, qui fasse tourner un axe cylindrique dans son support, la direction de la réaction K N support fait un angle égal à Pangle du frottement f avec le rayon CE normal au point de contact K..

L’intensité du frottement f N cos.<p, à cause de tang. ç — f ci de

cos.= - - . =

V 1 tang. *

sera

f N cos. <p =

et r étant le rayon de l’axe, son moment, par rapport à C, sera

f Nr

Si l’axe C [fig . 1) était absolument fixe comme un essieu de voiture, et que le cercle SQ de rayon p tournât comme la roue, autour de lui, les mômes choses auraient lieu, mais ce serait le rayon p du vide qu’il faudrait introduire dans les formules.

M. Poncelet démontre (Cahiers de Metz), qu’on ne doit point en général donner, poursupports aux axes, des coussinets à œil prismama tique.

Pivot. (PI. XX, fig. 2, 3, 4, 5.) On nomme ainsi tout axe qui porte par son extrémité sur son support, au lieu d’y porter par sa circonférence convexe. NC (fig. 2) étant l’axe d’un tel pivot terminé parune base circulaire de rayon Co =C b = r quis’appuiesurlefond plan de l’encastrement fabd d’une crapaudine, contrôles bords du-

!|uel il est épaulé latéralement, soit R la résultante générale des cforts qui agissent sur cet axe. Décomposez celte résultanteRcn deux forces, l’une perpendiculaire à l’axe qui donnera lieu à un frottement

dont l’intensité et le moment se calculeront comme il a etc dit ci-dessus, l’autre N parallèle à l’axe, et qui est ici censée agir de N vers C ; M. Poncelet démontre qu’en supposant la pression N répartie uniformément sur la surface * (r2 — r13) de la crapaudinc, et faisant

n = la pression par mètre carre — ^r,^7iy

on a :

Frottement total de la couronne =f'S=fnv (r2 — r'3)

Moment de ce frottement = \ fn vÇr1 — r's)

Bras de levier moyen du frottement = -y- f

fe st le rapport du frottement à la pression pour les substances en contact et tt = 3.1415...

En substituant aux rayons extrêmes r r' de la couronne un rayon moyen r, = J (r-j-r’) et nommant! la demi- largeur de la couronne — i (r — r'), on trouve que Y effort total fïi du frottement peut être considéré comme appliqué en un point unique situé à une

distance du centre = r,

de sorte que pour une révolution complète 2 t, le travail T absorbé par le frottement est

T=2„r,Aj <+} (-£-)’] »

Si la base du pivot est un cercle entier (fig. 3) de rayon p, r' devient = 0 et ç = r, et l’effort total f N du frottement peut être considéré comme appliqué à une

distance du centre = * ç

Dcsorleque le travail résistant T, qui s’oppose à la rotation du pivot pour une révolution complète 2 tt est

T=i»efN

Dans tous les cas représentés par les fig. 3, 4 et 5 , cette dernière formule sera encore applicable en y désignant par p le plus grand rayon des surfaces de contact.

Epaulements. Ordinairement les arbres des roues sont beaucoup plus gros que leurs axes ou tourillons, il arrive alors que, quand ces arbres sont sollicités par des forces Q agissant dans le sens de leur axe, l’une des faces vient s’appuyer latéralement contre le sup-

port, il en résulte un frottement qui absorbera un travail T que l’on calculera encore par la formule

T=2’”-,'i‘+iHr)’ !q

I étant la demi-largeur de l’épaulement, r, son rayon moyen.

Je donne encore quelques théorèmes généraux sur les axes, en ren voyant pour les développements que j’omets, à l’ouvrage de M. Moseley (Mechanical principles of Engineering . London, 1843.)

Soient (fig. 6 et fig. 7, planche XX). .

P, P, deux elTorts constants (quant à leur intensité, leur direction et leur position relative) en étal (Î’équiubre dynamique autour d’un axe C, qui tourne uniformément connue le veut P, et agissant dans un môme plan.

i l’angle P, I P, formé au point I de rencontre de leurs directions, et que nous désignerons quelquefois part,,, cet angle étant toujours ouvert du côté des flèches des forces.

a, a, les perpendiculaires CA, CA, menées du centre C sur les directions respectives des forces P, P,

L = A, A, la droite qui joint les pieds de ces perpendiculaires, et pour laquelle on a dès lors la relation

L’ = a J -)- «J -f- 2 a, a, cos. », ,

N la résultante de P, et P,

x la perpendiculaire menée de C à la direction de Nj x = çsin.ip

p étant le rayon de l’axe

<p l’angle du frottement pour l’axe et son support, n> se prend positivement, si, comme on le suppose, le mouvement a lieu comme le veut P,, et négativement dans le cas contraire.

E, lies chemins quelconques décrits simultanément par les points

H, j d’application de P, et Pa dans leurs directions propres.

T, T, les travaux simultanés de P, et P,

S’en référant à ce qu’on a vu ci-dessus, établissant l’équation des moments pour les deux cas fig. 6 et 7, mettant dans cette équation au lieu de N, sa valeur en fonction de P, et P3, élevant au carré l’équation qui en résulte, transposant et divisant par P*, résolvant

cette équation du second degré par rapport à— S y introduisant pour a et Lies valeurs données ci-dessus, il vient

(a, a, -j- p’ cos. sin.* £) ± p sin. ® (L* — p% sin.* i sin.’ <p) „ , ,

— («’ — />» sin.’ ?) ' * ’ ^

j, la, \ (<i p* cos. i sin.’ ?)+p[L’ — p’sii).1 » sin. 1 ■{Jsiu.

1 la, 1 (a’ — f' siu.1 f)

équations fort compliquées et par conséquent inutiles à la pratique, si celle-ci ne permettait pas toujours d’y négliger les puissances supérieures de siu. <p cl de les ramener ainsi à

sin. v

T‘— j 1 + ^7^ sin- * } T*- • • (*’)

Ces équations montrent que le travail de P, sera un multiple d’autant plus petit de celui de P2 que L sera plus petit ; or L sera toujours plus petit dans le cas de la fig. 7 que dans le cas de la fig. 6, c’est-àdire plus petit lorsque P( et P2 agiront du même côté de l’axe que lorsqu’ils agiront de côtés différents; et L sera le plus petit possible lorsque, en outre, a, et a2 se trouveront sur la même droite, c’està-dire lorsque P, et P2 seront parallèles. Donc :

Lorsque deux forces P, P, appliquées d une machine qu'elles font tourner uniformément sur un axe cylindrique, sont en équilibre dynamique, et lorsque l'on peut négliger l’accroissement de frottement qui résulterait du poids de celte machine, le travail moteur est minimum, si les forces P, P2 agissent du mime côté de Taxe et si elles sont parallèles.

Pour tenir compte du poids de la machine, il suffit d’introduire dans le système une troisième force P3 verticale dans le plan de P, et P,, de la faire passer par le centre C de l’axe, ce qui suppose la machine symétrique par rapport à cet axe.

Nommant alors i,Q iu in les angles respectifs de P, P2, P, P3, P2 P3 dont l’ouverture est toujours tournée dans le sens des flèches, faisant de plus M=a, (a? cos. »13 -j- o, cos. »n) il vient :

+ [PJ La + P,’ «; + 2 P2 P, M]ï (c)

r. = T«+ [t:l’+2Tjp3e1m (-£■)+?: exF . .(d)

Lorsque toutefois le poidsP3dc la machine sera assez faillie par rapports la force résistante P2 pour que l’on puisse négliger les puissances

supérieures de ~ - les équations ci-dessus deviendront

p‘ = (tt) f 1 + sin- * ] Pi+^f p> sin- *■ • <0

T, = T3 [‘+^ 9in-?] + P3E, sin. <p . . . (<f)

Le second terme du deuxième membre de la formule (d) exprimant le travail absorbé par les frottements, on y substitue d’abord pour

L et M leurs valeurs, puisa la place de E, — - sa valeur Ej, il vient

U[ a~ [ T3 («î + 2 a, <h cos. i',j + a\ ) -f 2 T, P3 E3 a, (a3 cos. i, ,+

a, cos. «m)+p;e;o;

C’est cette valeur qui, rendue mimmom, donne à M. Moseley les tbéorémes suivants, qui me paraissent aussi importants que nouveaux.

Quel que soit le poids P3 <T une machine tournant uniformément sur un axe cylindrique en vertu des forces P, P, , agissant dans un même plan , et constantes d'ailleurs en intensités, directions et positions relatives, le travail moteur est minimum, 1° si la force mouvante P, est appliquée de ce côté de l'axe ou la résistance P2 est vaincue-, 2° si la direction de la force mouvante fait avec la verticale un angle i,3 déterminé par les relations suivantes :

*is — — ’o

tang.? =

P, sin. t',,

P, + P, cos. f3,

Tracé. (PlanckeW,fig. 8.)Lcs éléments P2 P3 E, a, o3 d’un projet ainsi que l’angle iv que fait la direction de la force résistante P2 avec la verticale, étant connus, il suffira pour tracer la direction la plus avantageuse de la force mouvante P, d’opérer comme suit : Par le centre C de l’axe, menez une parallèle Cp^ à la direction connue de P3, prolongez cette perpendiculaire de C vers q-, faites l’angle qCr=y, la tangente de cet angle est donnée ci-dessus. Par le pointC, menez une perpendiculaire indéfinie Cm à Cr, portez sur la direction de Cm de C vers m une longueur Cm égale à a, bras de levier de P,, par le point m tirez mP, parallèle à Cr ou perpendiculaire à Cm. C’est la direction cherchée.

Lorsque *23 = 0, on a tang. y = 0 et par conséquent »12 = tt Donc lorsque la force résistante travaille dans unedirection verticale .

il faut que la farce mouvante travaille dans cette même direction, et qu elles travaillent toutes deux d'un même côté de l’axe.

Lorsque ia —90°, tang. y devient -p5- donc

Lorsque la force résistante travaille horizontalement, la force mouvante doit travailler du même côté de l’axe, mais dans une direction inclinée à l' horizon, sous un angle dont la tangente s'obtient en divisant le poids de la machine par l'effort mouvant.

L’angle in élanl plus grand que 180° omr, et plus petit que ~ ■*, son cosinus est négatif et par suite cos. »l3 est lui-même négatif dans certains cas. La fonction (n), sous certaines conditions, admet donc un minimum non-seulement par rapport à l’inclinaison de la force mouvante, mais encore par rapport à la distance a, de sa direction au centre de l’ase. Dès lors si l’on connaît le chemin E, parcouru par le point d'application de P, et dans sa direction propre, pendant que le travail résistant T, s’accomplit, on peut substituer dans la fonction à la place du produit Ea a, sa valeur E, a2 ; égalant alors à zéro (voyez maximum) le coefficient différentiel de la fonction par rapport à on a, après réduction,

T; + gT,r, e, ços.f„+Pi e;

J TJ cos. i, j -f- T, P, E, cos. i5J

procédant de même en prenant E3 constant au lieu de E, et substituant dans la fonction au lieu de E, a, la valeur E, a, on obtient