BIEF. —BIELLE

cassées à la grosseur de O.Oi à 0.05, ce qui donnait un volume de deux de béton, dont le mètre cube pesait 2200 kil, et qui, au bout de trente six heures, était en état de résister à une mer assez forte.

BIEF ou BIEZ , toute retenue d’eau séparée par des barrages.

BIELLE , tige rigide dont la forme ordinaire est indiquée planches XVIII et XIX. C’est l’organe qu’on emploie le plus souvent pour transmettre le mouvement à distance; sa forme, sa situation relative, son obliquité par rapport aux pièces qu’elle conduit ou qui la conduisent, donnent lieu à des remarques intéressantes que nous avons cherché à résumer ici d’après M. le professeur Willis.

Rapport des vitesses. ( PI . XXII, fig. 1) soient AP, BQ deux bras qui se meuvent autour des centres respectifs A, B; PQ une bielle articulée aux extrémités P,Q de ces bras ; AR, BS les perpendiculaires à la direction de la bielle menées des centres respectifs A et B; Xp,Hq,pq les positions infiniment voisines que prennent AP, BQ, PQ par le mouvement du système. Par p et Q menez les perpendiculaires pm,Qn à la direction première de la bielle, les triangles Pp m APRsont rectangles, Ppest perpendiculaire à AP etPmà AR l’angle eD P du triangle infinitésimal est donc égal à l'angle en A de APR. Ces triangles sont donc semblables. On prouvera facilement la similitude des triangles qnQ et BSQ, et de ceux ART, BTS

P P : Pm :: PA : AR

qn : Qq BS : BQ

AT : BT :: AR : BS. . . (I)

Combinant ces rapports, on obtient finalement

Pp . Q?

AP ’ BQ

BT : AT. . . (2)

c'est à dire que les vitesses angulaires des bras AP BQ sont entre elles, à chaque instant, en raison réciproque des segmens de la ugxk ijes CKSTRts AB déterminés par la rencontre T de cette droite avec la direction PQ de la bielle.

Oa trouverait de même

Pp . Qj l

Ai* • BQ

:: BS : AR

C’est à dire que les vitesses angulaires des bras AP, BQ sont récipro quement comme les perpendiculaires abaissées des centres de mouvement A et B sur la direction de la bielle.

Prolongeant AP et BQ jusques à leur rencontre en K, abaissant RL perpendiculairement à la bielle PQ, on a

pm : Pm :: PL : KL qn : Qn '. RL : QL

cl comme à la limite on a qn— Pm puisque PQ — pq , il vient pm : Qn " PL : QL

ce qui montre que L, pied de la perpendiculaire, est l’intersection de deux positions de la bielle infiniment voisines.

Si les chemins parcourus par P et Q étaient dirigés suivant une droite ou une courbe autre qu’un cercle, on aurait à cause de

d’où

Vm — qn, Pp cos. pPm — Qq . cos. Q qn

P p eus. Qqn

Qp cos. p P ni

C’est à dire que les chemins élémentaires sont entre eux réciproquement comme les cosinus des angles de la bielle avec les directions respectives du mouvement.

Si le point d’intersection T (fig. t) de la bielle et de la ligne des centres était placé à une distance infinie, ce qui aurait lieu pour toutes les positions possibles du système ; si la bielle PQ était parallèle et égale à la ligne des centres AB, et si en outre les bras étaient égaux, les vitesses angulaires deviendraient elles-mêmes égales, et leur rapport serait dès lors constant. ( Planche XXII.)

Le mécanisme de la fig. 2 réalise ces conditions. D B sont les centres de mouvement, le bras Bd = le bras D/-; la bielle df= la ligne des centres BD, et si l'on fait tourner le bras Bd, BdfD formera toujours un parallélogramme, et par conséquent les distances angulaires à la ligne des centres seront toujours les mêmes pour Bd et I )f, et les vitesses angulaires de ces bras seront à chaque instant les mêmes.

Toutefois, pour une position quelconque Bdde l’un des bras Bd, il pourra y avoir deux positions possibles I )f et AD pour l’autre bras. Dans cette dernière situation, la bielle Ad coupe de nouveau la ligne des centres en un point C dont le lieu change à mesure que Bd s’avance et dès lors le rapport des vitesses angulaires de AD et Bd cesse d’être constant.

Le mécanisme de la fig. 2 offre donc deux combinaisons, l’une pour laquelle le rapport des vitesses angulaires est constant, parce que la bielle et la ligne des centres sont parallèles, l’autre pour laquelle il est variable parce que les projections de la bielle et de la ligne des centres se rencontrent.

Pour l’une comme pour l’autre de ces combinaisons, il arrivera que, lorsque par la rotation du point d, ce point passera par la

droite des centres soit en a soit en *, l’extrémité /‘de l’autre bras passera en même temps par la même droite, aux points p ou t. A l’époque de ces deux phases du mouvement, les deux positions possibles fd, Ad de la bielle coïncident, et, en parlant de chacune do ces phases, la bielle, abstraction faite de l’inertie et du poids des pièces, peut, en quelque sorte, choisir entre ces deux positions. Ainsi, par exemple, en partant de la position Baet Dp le pointu se mouvant vers d, le point p peut ou s’avancer vers f, cas pour lequel la bielle est parallèle à la ligne des centres, ou reculer vers A, cas pour lequel la bielle croisera la ligne des centres jusqu’à ce que le point d soit parvenu en *, et A en t. A cet instant, le cas d'instabilité se présentera de nouveau, sans toutefois qu’il puisse jamais avoir lieu pour une position quelconque de B d, prise entre les positions Ba Iis. Les deux phases d’instabilité, pour lesquelles les deux bras coïncident avec la ligne des centres, se nomment les points morts du système.

Lors donc qu’on emploiera ce mécanisme avec l’intention que le rapport des vïtessses soit constant, il faudra faire en sorte que, en passant aux points morts, la bielle conserve son parallélisme avec la ligne des centres.

Trois moyens se présentent pour atteindre ce but :

t° On peut introduire dans le système un troisième bras Ce, fig. 3, égal aux deux autres, dont l’axe sera en outre situé sur la ligne des centres, et dont l’extrémité c devra partager la bielle, dans le même rapport que l’axe C partage la ligne des centres. Le nouvel axe C peut, d’ailleurs, être placé entre les premiers A et B, ou en dehors de A et B, et sur le prolongement de cette droite. Il n'est même point indispensable que les axes des trois bras égaux se trouvent sur une même droite, et il suffit, quelle que soit la forme de la bielle, que les trois articulations abc forment un triangle égal à celui des trois axes, et semblablement placé;

2° Le second moven n’exige que deux axes, mais il y a deux systèmes de bras. La figure \ suffit pour en donner une idée. A a BA sont deux axes parallèles, portant à l’une de leurs extrémités deux bras égaux AP=r BQ, articulés avec la bielle PQ A B; les autres extrémités des axes portent un système semblable. Quant à l’angle compris entre les directions AP et ap, il peut être quelconque, mais il convient mieux de le faire = 90°, afin qu’un système de bras soit aussi éloigné que possible des points morts, lorsque l’autre système de bras passe lui-même par ces points. On voit, du reste, qu’il est indifférent de donner telle ou telle autre forme aux pièces de rotation A P ou ap, pourvu que l’on ne compte pour la longueur du bras que la distance du centre de l’axe à l’articulation, projetée sur le plan de rotation.

Cependant, si l’un ou l’autre axe, ou tous deux rencontraient le

plan dans lequel la bielle so meut, la rotation ne pourrait jamais être complète. Pour rendre possible celte rotation continue, il faut, ou bien que la pièce qui porte l’articulation soit fixée tout à l’extrémité de l’axe, comme fig. ou employer le système indiqué fig. 5, où l’on voit que les axes sont coudés, ce qui fait qu'ils accompagnent sans cesse la bielle dans son mouvement , et ce qui permet de donner à ces axes une longueur indéfinie.

3° Le troisième moyen qui se présente pour faire passer aux bielles la phase des points morts, est indiqué (fig. 6 , ). Ainsi que

le précédent, il consiste dans l’emploi de deux ou plusieurs bras et d’un nombre égal de bielles. Ici les axes An //Boni encore des directions parallèles, mais ils ne se font plus face. Un disque de forme convenable, comme C, O, est fixé à l’extrémité libre de chacun d’eux. Des chevilles sont implantées dans les laces de ces disques sur une môme circonférence qu’elles divisent en parties égales; enfin des bielles s’articulent aux chevilles. Les plans de rotation des disques laissent entre eux une distance suffisante pour que les bielles prennent une position un peu oblique qui leur permettent, sans se rencontrer, de passer par un même plan perpendiculaire aux plans de rotation. Le nombre des bielles est d’ailleurs indifférent, deux suffiraient.

Il semblerait que l’emploi des bielles ne permette do transmettre la vitesse dans un rapport constant entre deux axes que lorsque ces axes, à la fois, sont parallèles, se meuvent dans la môme direction et accomplissent leurs révolutions dans des temps égaux. Cependant, si l’amplitude des mouvements était très faible, la transmission de la vitesse pourrait encore se faire dans un rapport à très j>eu près constant, quelles que fussent les grandeurs de ce rapport, la position des axes et la direction de leurs mouvements.

Si ces axes sont parallèles, il suffira (fig. 7) do relier les bras AP BQ par une bielle PQ,*/ ‘"«e de telle sorte que l’intersection T de la bielle et de la ligne des centres coïncide avec le point d’intersection T de la perpendiculaire K T, menée du point K de rencontre des directions des bras à la bielle.

Dans celte situation, les bras tourneront dans des directions opposées ; si ces directions devaient être les mêmes, il faudrait que les centres de mouvements fussent placés l’un et l’autre d’un môme côté par rapport à la bielle. AI* Hq satisfont à celte condition par rapport à la bielle P q : K t est la perpendiculaire à la direction de la bielle; elle rencontre celte direction en un point t, qui est en même temps l’intersection des directions delà ligne des centres et delà bielle. Les vitesses angulaires des bras sont, ainsi qu’on l’a vu plus haut, réciproquement comme les segments AT BT pour le premier système et comme A» B/ pour le second.

Le mode de disposition le plus simple consiste à rendre la bielle

PD perpendiculaire aux deux bras dans leur position moyenne A P C D ; leurs vitesses angulaires sont réciproquement comme les longueurs de ces bras.

Si les axes A e B f ne sont point parallèles (fg. 8) , cherchez leur perpendiculaire commune ef, et menez eg parallèle à f B. Dans le

[dan A eg menez eh qui divise A e g en deux angles A eh heg tels que eurs sinus soient réciproquement comme les vitesses angulaires respectives des axes Ae B f. D’un point quelconque h, menez des perpendiculaires AA A g à Ae et e g ; prenez fü = eg, menez Bi égale et parallèle à gh, enfin joignez A et l. Cette droite parallèle à ef est perpendiculaire à la fois à A A et à B/.

Si A A et B f sont les bras d’un système et hl la bielle par laquelle ils se transmettent le mouvement, cette bielle étant perpendiculaire aux bras dans leur position médiane, et l’amplitude du mouvement étant supposée très laible, le rapport des vitesses angulaires des axes sera pour cette faible amplitude à peu près constant et égal au rapport inverse des longueurs des bras.

Si les axes devaient tourner dans une autre direction que celle indiquée dans la figure, l’un des bras devrait être placé du côté opposé de l’axe.

Dans un système semblable à celui indiqué par la figure 9, le rapport des vitesses angulaires des bras serait continuellement variable. AB C D sont deux axes dont les directions sont parallèles, mais qui ne se font point face. Ces axes portent des bras A P CQ à leurs extrémités, et ces bras sont reliés par une bielle courte PQqui s’articule aux flasques opposés des bras. Si AP et CQ sont l’un et l’autre plus grands que AC, plus courte distance des centres, la rotation pourra se transmettre d'une manière continue, et An Cm étant les perpendiculaires menées des centres de mouvement sur la bielle on aura

vil. angul. de A P Cm

vit. atigul. de C Q An

rapport variable.

Au reste, l'étude du rapport des vitesses angulaires de deux bras liés par une bielle articulée, est souvent facilitée par l’emploi du calcul.

Soit figure 10, planche XXII, A B les centres do rotation, AP BQ les bras, PQ la bielle, faisons

A P = R BQ = r A B = <f PQ — f BAP = 9 DBQ = tp

Menez Pp perpendiculaire et Qp parallèle à AB, on a

PQ - P<> + Up

ou /’ zsi ( K sin. B — r sin. if)1 -\-{d-\- r cos. tp — B cos. 9)1 Faisant pour abréger

R1 -f- r'1 -f- d2 — 2 Rd cos. 0 — l2 = m 2 R r sin. 9 = n

2r(d — R cos. 9) = p

D’où n sin. f — m — p cos. (p

il vient, en élevant au carré et arrangeant les termes

*in a = mn —P Vp* — m' + »*

équation dans laquelle mn et p sont des fonctions de 9 et qui montre que, à chaque valeur de 9 correspondent deux valeurs deep; ou, en d’autres termes, qu’à chaque position AP de l’un des bras, correspondent deux positions possibles de l’autre bras P Q. Ce qui paraîtra encore plus évident en décrivant du centre B et du rayon BQ le cercle Q^,et prenant Pjf=PQ qui déterminera une autre position B ? du bras BQ correspondante à la position AP de AP.

SiR=;reti = d, On retombe dans le système dclafig. 2,pl.XXlI et ces conditions étant introduites dans l’équation, elle devient

sin. <f —

11’ ± d* — R d (cos. 0 ± cos. 8) R' + d*— 2 Hd eus. 8

dont le second membre

sin. 9

= sin. 9 en prenant le signe supérieur et

R’ -f-d* — 2Ud cos. 8

sin. 9 en prenant le signe inférieur.

La première valeur répond au système pour lequel la bielle est parallèle à la ligne des centres, et la seconde au cas où elle croise celte ligne.

Si, d’un autre côté, on fait R=^ Ici r = d, on a

m = 2d’ — 2 Rd cos. 9— p

sin. <f —

mn ± mn n* -J- m*

2 ma

et sin. ® r ou sin. 9 = 0

Et, en effet, en réalisant ces conditions dans le système, Q coïncide

toujours avec A dans la seconde position B q, puisque A P = P Q et * queBQ==BA. Conséquemment A P accomplit sa révolution sans produire de changement dans la position angulaire de BQ qui coïncide avec A B dans toutes les positions de A P et dés lors sin. tp = o.

Quant à la première position, elle donne

R sin. 0 (d — R cos. 0)

Sm,?== R« + d« — l Rd cos. 0

Dans un système de ce genre, la rotation continue de l’un des bras AP peut communiquer au second bras, soit un mouvement circulaire continu, soit un mouvement alternatif. Ces mouvements dé~ pendent des proportions des quatre côtés de la figure.

Par exemple , si A P et B Q sont plus grands que A B , les bras tourneront tous deux comme dans le système de la figure 9 , mais si AP est plus petit que AB, la rotation de AP produira sur BQ un mouvement alternatif.

Pour queAP complète une révolution, il faut que l'on ait à la fois

AB-fBQ>PQ + AP et AB — BQ > P Q — AP

Car si AP avance vers A B, les deux pièces AP PQ doivent se placer en ligne droite au moment où Q atteint sa plus grande distance à A. Or, celte droite est impossible tant que l’on n’a point

AP 4- PQ< AB-fBQ

et, semblablement, lorsque AP a tourné de manière à amener Q à sa plus petite distance de A, les lignes AP PQ forment une droite passant par A, et celte droite n’est possible qu’autant que l’on a