PQ — AP<AB — BQ

Les positions qni correspondent à ces deux droites sont les point s morts; mais, en pratique, le pointQ, à mouvement alternatif, se meut le long d’une droite dirigée vers A, axe de la pièce tournante, ou bien il est suspendu à un bras B Q à angle droit avec celte ligncdans la position moyenne et aussi longtemps que le chemin de Q peut être considéré comme une droile.Ceci simplifie l’examen de ce genre de mouvement.

Ainsi, soit A ( fig . 11, pi. XXII), le centre de révolution de la pièce tournante (manivelle), P l’articulation du disque ou du bras fixé sur l’axe à laquelle s’attache la bielle PQ, dont l’autre extrémité est articulée au point Q, qui est maintenu lui-méme de manière à se mouvoir le long de Ad. Sur la direction Ad de la route du point Q, prenez md= ni) = PQ ,cl l’axe A, à chacune de ces révolu-

13V MIELLE.

tions, fera évidemment décrire au point Q une double oscillation de rien D cl de l)en d, et l’on aura aussi Dif = 2 AP. Menez P p perpendiculaire à AD, faites m AP = 0, AP = K, PQr=/, AQ=:i, le triangle A1*Q donne AQ = Qp ± Ap suivant que p tombe d'un côté ou de l’autre de A. l)’oû

« = y/ P — R* sin.1 1 6 ± Il cos. 0

on prend le signe -|- quand m AP est aigu, elle signe — quand cet angle est obtus; mn sont les points morts.

Presque toujours la longueur delà bielle est assez grande par rapport à A P pour qu’ou puisse négliger son inclinaison et supposer dés lors que pQ— I* Q, on a dans ce cas

s — l — R cos. 0

et si l’espace se mesure à partir de d dans une direction opposée s — d Q mp— Il sin. vers 9

En général on a

vitesse de P cos. AQP

vitesse de Q siu. APQ

et si la bielle est très longue

vitesse de P 1

vitesse de Q sin, 0

On peut rendre le rapport des vitesses angulaires sensiblement constant dans un système de deux bras et d’une bielle parla disposition indiquée fig. 12, pl. XXII.

Aest l’axe <runc|manivellc,àl’cxtrémiléde laquelle est articulée la bielle aC dont le point Cest maintenu sur la droite A b par desguides et surlaquelle il se meut alternativement de b enlletde 11 en b, comme dans le système précédent. En ce point G de la bielle, articulez une autre bielle G d, qui agit par sou extrémité d sur le bras d D tournant autour du centre Dd’uu mouvement alternatif, dont les points d’extrème amplitude sont r et q. Soit amené le système à une position quelconque, abaissez alors des centres de mouvement sur les bielles respectives les perpendiculaires Am Un et soient A, la vitesse angulaire de Aa, A3 celle de D d, V la vitesse absolue du point C, on aura sensiblement, d'après ce qu’on a vu plus haut,

A, . An» = V = A j . Un d’où — — rr—

BEILLE. 135

Si A a cl Dd atteignent tous deux, en même temps, des positions perpendiculaires à leur bielle, À m et I)n atteindront aussi en même temps leurs valeurs maximum, ils croîtront et décroîtront ensemble,

de telle sorte que le rapport • - sera peu près constant. Et si Aa

tourne d’un mouvement uniforme, D d se mouvra d’un mouvement alternatif dans chaque direction avec une vitesse beaucoup plus voisine de l’uniformité que celle du point C.

Si, par l’emploi de bielles, on voulait obtenir un mouvement dont la vitesse dût décroître rapidement, on pourrait recourir à un système analogue à celui de la figure 1, planche XX1I1.

A DB sont les centres de révolution respectifs des bras A a Dr/ et AB C. Ces bras sont liés par des bielles «A et Cd qui complètent la transmission du mouvement de A a à Dr/.

Soit l’amplitude du mouvement de An, limitée i l’arc de cercle a 1,2, 3, partagez l’arc en parties égales cl placez AA, qui est tangente au petit arc décrit par A, de telle sorte qu’elle coupe en deux parties égales l’angle 2 A 3, décrit par a en passant de 2 à 3. On sait que le mouvement du bras BA variera comme le sinus versé de la distance angulaire de Aa à A A, donc le mouvement que A reçoit pendant que a passe de 1 à 2 sera beaucoup plus grand que celui qu’il reçoit pendant le passage du même point de 2 à 3. Les positions correspondantes de a et A sont, du reste, marquées sur la figure. En pratique, le second mouvement est si faible quecelte combinaison peut être employée quand le bras BA doit rester en repos pendant la seconde partie 2 3 de la révolution de A a, aussi bien que lorsque le bras BA doit ralentir rapidement sa vitesse par suite du mouvement uniforme de A a. Cette combinaison a été d’abord employée parWatt pour ouvrir les soupapes de la machine à vapeur.

Si maintenant on dispose le bras D d par rapport à B C de telle sorte que la tangente à l’arc décrit par d coupe en parties égales le petit angle 2 B 3 décrit par C pendant son passage de la seconde position 2 A la troisième 3, le mouvement que Bd recevra de A a pendant cette seconde, période sera encore considérablement plus petit que le petit mouvement de B 6. C’est le mécanisme employé dans la harpe d 'Erard.

Il peut être utile de considérer l’effet produit sur un point donné d’une bielle par suite de petits mouvements auxquels seraient soumises ses deux extrémités.

Soit donc A BC une longue bielle (/fy. 2, p/. XXÏTI), B un de ses points, son point milieu par exemple, je suppose qu’un petit mouvement A a, perpendiculaire û sa longueur, soit communiqué à son extrémité A, l’autre extrémité C restant en repos, le point B décrira

sensiblement l’espace B»=:— . Si, au contraire, A restant en repos.

on eût imprimé à C un petit mouvement C c transversal à la barre,

Ce

le point B aurait décrit sensiblement le chemin Bm =— . Donc , si

les deux mouvements en question sont communiqués, soit simultanément, soit successivement aux deux extrémités , le centre B parcourra le petit chemin B 6 = , ou si ces deux mouvements

imprimés étaient de sens contraire, de manière à amener la barre dans la position a C, le centre de la barre décrirait le chemin

mn =

Il est clair qu'on suppose ici la barre assez longue

pour que C cAa BA puissent être considérées toutes trois comme perpendiculaires à la bielle. Donc, si Von communique deux mouvements virtuels, indépendants , aux extrémités d’une tige ou d’une bielle, son centre décrit la moitié de. leur somme ou de leur différence suivant que ces mouvements sont de même sens ou de sens contraire.

Si ce sont les points A et B auxquels on fait décrire de petits chemins, le point C décrit alors le chemin de A , mais en sens contraire et deux fois le chemin de B dans le même sens que ce dernier point.

Soit, enfin (flg. 3 pl. XXIII) une barre, dont le centre est en E, et aux deux extrémités de laquelle sont fixées des chevilles F et G, qui portent les centres autour desquels tournent deux autres barres AB CD. Si l’on imprime aux quatre points A BCD quatre mouvements indépendants les uns des autres, les mouvements de A et B se composeront en F comme il est dit ci-dessus; ceux de C et de I) se composeront de même sur G , et enfin ceux de F et de G se composeront de même en E.

Si les deux extrémités de la tige ou bielle étaient fixées à deux bras ou rayons, décrivant des arcs de cercle comme dans la figure 4 , planche XXIII, on retomberait sur le système employé dans la plupart des machines à vapeur, et machines à piston en général , piston dont ou cherche toujours à diriger la tige en ligne sensiblement droite, en eu fixant l’extrémité inèdiatcmcnt ou immédiatement à un point convenablement choisi de la barre ou tige a b.

A a BA sont les deux bras, ou rayons, qui tournent autour des centres fixés A et B. ab est la bielle articulée à leurs extrémités mobiles: la figure 4 indique diverses positions du systèmes, telles que 1 1 , 22, 33, 44, ab 66, 11, etc. Le point c, pris vers le centre de la tige, décrit la courbe en 8, m en, et, en déterminant convenablement la position du point c, le chemin qu’il décrit sur la courbe à longue inflexion se confond très sensiblement avec une droite. M. de Prony a donné l'équation complète de cette courbe, mais elle est beaucoup trop complexe pour être d'aucune utilité pratique, et il est bien plus

simple et suffisamment exact, au lieu d’en faire usage, de recourir aux approximations suivantes.

Soient A,C (fig . 5, pl. XXIII), les centres de rotation des bras ou rayons AB CD, BD la tige articulée à leurs extrémités; admettons d’abord que celte tige ou bielle soit perpendiculaire aux deux rayons dans la position médiane du système A B D C. Faisons mouvoir AB, jusqu’à la position À 6, Ce et 6 e seront les positions correspondantes de l’autre rayon et de la tige ou petite bielle. Menons 6 f parallèle à B D. Dans la première position la bielle BD est perpendiculaire aux rayons; dans la seconde, elle prend une position oblique 6c telle que son extrémité supérieure est jetée à gauche, et son extrémité inférieure est jetée à droite de la verticale B m d de quantités respectives 6c de qui ne sont autre chose que les sinus verse des arcs décrits par les rayons. Il y a donc quelque part sur la bielle un point M qui demeure sur la verticale B md -, or, le lieu de ce point se déterminera comme plus haut par la proportion

6M : Mc 6e : de

on a

faisant A B= R CD — r BD — l B A 6 = 0 DCc = <pet 6M = x

R sin. verse 0 rsin. ver. <?

R sin.*-|r sin.’ -2-

R’sin.1

L’angle BA6= 9 ne dépassant jamais 20° dans la pratique, l’inclinaison cbf de la tige est toujours assez petite, et B6 (=R9) à très peu près égal à Dc( = r cp). Comme ces angles sont petits, on peut poser sans erreur sensible

Rsin. ■£- = rsin. d’où

x r lr

l-x ~R el X~ R+7

soit R = 7 r = l l — 2 on a x = 0.727.

La déviation du point M, à partir de la ligne B D, peut s’évaluer facilement comme suit, et cette recherche est utile pour déterminer la plus grande valeur qu’il convienne d’attribuer à 0. Pour plus de simplicité, nous ferons R = r A B=C D, ainsi que cela a toujours lieu en pratique, et nous prendrons R pour unité. Faisons encore

BD = /, menons bf , r c parallèles à B I) et soit y l’inclinaison fbc de la bielle sur la verticale.

fbc étant un très petit angle, on a sensiblement

Y JL= gin- Ters- 0 + 9i0- à très peu près

or, mf = rc ou sin. Q-|- /cos. y = /-f" sin. f donc

lyt * 2

sin.<p=sin.B — Isin. vcrs.y=sin.O a=sin.9 — y(sin. vers. O)1

expression qui fera connaître la valeur de » correspondante à une valeur quelconque de 0

Lorsque les rayons se relèvent au-dessus de l’horizontale ( fig . 6), il vient

bm — mf =rc-f en ou sin. 0 -}- 1 = / cos. y -f- sin. <p d’où

sin. <p= sin. 6 -f- -j- (sin. vers!))1

Et si la bielle = la moitié de la longueur du rayon, on a pour les deux cas

sin. tp = sin. 9 ± * (sin. vers. Ô)2

Le signe supérieur correspondant au cas où les rayons sont audessus uc l’horizontale.

Quant à la déviation du centre M de la bielle à partir de la verticale, elle est

sin. vers. 0 sin. vers. ® cos. ® — cos. 8

L’on peut ainsi former le tableau suivant :

Valeurs de 8.

Ali- DESSCS DE L’HORIZONTALE.