I : t :: cos a : 1 : : 1 : sec a x = t sec a
Ainsi la tension ou l’effort tangentiel exercé sur un élément quelconque , est proportionnel à la sécante de l’inclinaison de cet élément sur l’horizon.
On déduit de ces deux formules un tracé très simple. Prolongez au-dessous du point le plus bas l’axe des x d’une quantité CO = /; du point O comme centre, et avec le rayon t décrivez un cercle; soit b un point quelconque de la chaînette, menez son ordonnée y = bd-, du point d où celle ordonnée rencontre l’axe des x, menez une tangente d N; 1° cette tangente sera parallèle h la tangente b h à la courbe qui serait menée par le point b; 2° sa lougucur sera celle * de l’arc de courbe Cé; 3° la tension t en b aura pour mesure la sécante O d.
Od=Oc-\-cd ou: = f-)-i.
CHAINETTE. 265
La seule inspection du triangle </NO fournit les relations
0<f = 0C-|-CD, ou t — t— J— x . (3).
Ôd=5N’+N2 ou xnrV7 f'+TT (4).
Ainsi (3), la tension px en un point quelconque b d’une chaînette, égale la tension pt au point le plus bas, plus le poids px d’une chainc dont la longueur serait l'abscisse x de ce point b. Celle tension (i) est la résultante de deux composantes, l’une est la tension horizontale au point le plus bas, cl l’autre verticale est le poids de la portion de chaîne s comprise entre le point le plus bas et celui que l’on considère.
Il en résulte que dans toute chainctlc suspendue à deux points fixes également ou inégalement élevés, ces points fixes sont soumis d’une part à des efforts horizontaux constants et égaux à la moindre tension de la chainc , de l’autre à des efforts verticaux qui tendent à presser ces points fixes sur leurs bases.
Le triangle d NO donne encore
(C</-j-C»)2= l’-J-s* oux=zVlr+? — t (5).
s = \/ x% -j- 2 tx. (6).
La tension au point le plus bas, augmente pour une même longueur de chaîne (7) lorsque la courbe prend une plus petite flèche, et si cette flèche x pouvait jamais être nulle, la tension serait infiniment grande; une chaîne tirée par ses extrémités ne peut donc jamais être rectiligne et horizontale.
Si l’on remarque, que la portion A.aC(fig. 1) étant en équilibre, on ne changerait rien à cet état en prenant le point a pour point fixe au lieu du point A, ce point fixe remplaçant alors la tension en a de la partie A «, on en conclura que, pour une même chaînette, la tension au point le plus bas demeure la même, quelque point qu’on prenne sur celte chaînette pour le point de suspension.
En combinant l’équation (I) dg — —dx avec l’équation (6) on obtient entre x et y l’équation différentielle.
dy —
tdx
2tJr -f- x’
dont ’lK TÉGttALE est
y — t log. hvp. '+*+ y^tx+..x.l =t log. hyp.
CHAINETTE.
ou, en mettant pour t sa râleur et divisant par s-j-x y =<log. = <X M l°g. tang. (45° -f- j a) .... (10)
La distance au sommet du centre de gravité de la courbe 2 s, est
De toutes les courbes de môme longueur fixées aux points A et B, la chaînette est celle qui a son centre de gravité le plus bas. Donc aussi, si l'on fait tourner une chaînette autour de l’axe AB, elle engendrera, par sa révolution, une surface plus grande que celle qui serait produite par toute autre courbe de môme longueur terminée aux mêmes points A et B.
Le ravon p de courbure de la chaînette est donné par
au sommet de la courbe, il devient p=l.
Résumant les équations ci-dessus pour la facilité des calculs numériques et y ajoutant celles qu’on peut en déduire, on voit que : Connaissant a et t, on obtient
s = t. tang. % x = l (sec. a — l) =
y = l SCC. a; I. sin. vers, a cos. a 9
y = i. M. log. tang. (45° ~K *); Connaissant a et t, on a
t = * cotang. a 7 = s cosec. a;
x — t coscc. a sin. vers, a; y = M s cotang. a log. tang. (45° -(- } a). Etant donnés a et y, on a
M log. tang. (Î5° -j- 1 s) ’
“ M co». a log. tang. (48" -f- J a)
CHAINETTE.
y t«ng. g
M log. tang. (45° -f- i a) y sin. vers, a
M cos. % log. tang. (45° -f- \ «)'
Enfin connaissant xet y, on a,
log. tang. (45° et) __ y sec. a sin. vers, a M x 9
sin. vers, a
x sin. a sin. vers, a
sec. a — 1
C<w particuliers. Lorsque a = 45°, on a
Si L = 2 D, on a
/■= 0.7966 D, et a =77» 3'.
Lorsque a = 56° 28', t : x : y et * sont entre eux respectivement :: 1 : 0.8t : 1.1995 : 1.5089 et t est alors minimum par rapport à y.
Lorsque t=f et qu’on fait t = /"= 1, on a,
Les tensions aux points de suspension sont chacune double de la tension au point le plus bas et a = 60°.
Si la tension au point le plus bas est égale au poids de la chaîne, et si l’on fait pt—p L = 1 , on a
la tension à chaque point de suspension
à très peu près :
I) = 8. 1 536 X f L = 8.47I9XA
268 CHAINETTE.
Enfin, si l’on fait plz=zi pL — 1 , la tension au point le plus bas élant alors le doub/c du poids de la cbainc, on a
la tension à chaque point d’atlache
= 1.03078XPC I)= 16.0816/' L= 16.2462/.
Au reste, la table suivante facilitera les calculs numériques de la chainelte; on y a représenté l'angle de suspension par À, cl la tension aux points de suspension par T ; Det/ctL ayant d’ailleurs les mêmes valeurs que ci-dessus; la tension rau point le plus bas est prise pour unité. Cette table est empruntée à Gregorv, ainsi que celle qui la suit.
CHAINETTE.
Lorsque la flèche f de la cliainelle csl petite par rapport à la longueur totale L de la courbe, on a, d'après M. Leslie,
efforts à la suspension A ou B
Les tensions au point de suspension et au point le plus bas sont sensiblement en raison inverse des flèches.
Deux chaînettes sont semblables, lorsque leurs points de suspension sont situés sur deux droites parallèles, et que leurs longueurs sont dans le rapport de ces droites. Les angles à la suspension sont les mêmes pour deux chaînettes semblables, ainsi que le rapport de x à y.
Les tensions aux points semblablement placés sur chacune d’elles sont entre elles dans le rapport des poids de ces chaînettes.
Lorsque deux chaînettes {fig . 3) ne sont pas semblables, on peut toujours retrancher de l’une d’el- , les AC B une portion aCA qui sera semblable à l’autre chaincllo A' C'B'.
Disposez les deux chaînettes sur un même axe DC', menez uno tangente T' S' à la suspension B' de A'C' B'. ParallèlementàT' S', menez une droite TS qui louche
270 CHAINETTE.
Pcutrc chaînette ÀCll ; l'horizontale bda retranchera de celle-ci une chaînette aCô semblable à A'C'B'.
Le tracé de la page 261 indique comment on mène une tangente par un point quelconque d’une chaînette.
Voûtes ejc chaînettb. — On a donné, avec avantage, à certaines voûtes la forme d’une chaînette renversée, et le dûme intermédiaire du Panthéon de Paris en oflre un exemple célèbre L’intrados et l’extrados de ces voûtes forment alors deux chaînettes semblables et équidistantes, cette équidistance étant mesurée sur le prolongement des rayons de courbure de chaque joint. L'emploi de la table suivante abrégera le tracé de ces sortes de voûtes.
Table servant au tracé des voûtes en chaînette, et qui donne l’arc s , * l’abscisse x, l'ordonnée y et la sounormale de la courbe , en prenant 1 = 25
Arc.
Abscisse.
Sounormale.
CHAINETTE.
Arc
Ordonnée
Abscisse.
Sounormalc. J
ri
Arc.
Ordonnée
Abscisse.
Sounormalc.
Usage de la table. — Supposons qu’il s’agisse de construire une voûte dont la demi-ouverture soit Y = 8 mètres, cl la hauteur X = 10 mètres, on cherchera dans la série des abscisses et des ordonnées de la table, celles \j et x qui sont dans le rapport ci-dessus; on trouvera que celles qui s’en rapprochent le plus correspondent à l’arc dont la longueur est 80, l’ordonnée de cet arc 16.99 et son abscisse 58.81 étant entre elles :: ou sensiblement ::
Cela posé, si l’on suppose que la demi-voûte est partagée en 80 parties égales, ou mieux en 79 parties plus la demi-clef, on aura les abscisses, les ordonnées et les sou normales correspondantes à chaque point de division, en multipliant les nombres correspondants de
la table par le rapport — = — — - =0.1702.
A l’aide de ces nouvelles valeurs, on construira une chaînette moyenne, qu'on recoupera par des droites passant par tous les points de division et par des points pris successivement sur l’axe des X à des distances respectives du sommet = abscisse -f- sounormale. Ces droites donneront la direction des joints des voussoirs. Prenant ensuite sur ces droites, tant en dehors qu’en dedans de la chaînette moyenne des distances égales à la demi-épaisseur des voussoirs, qu’on suppose ici assez faible, on obtiendra ainsi 80 points de la chaînette extrados, et 80 points de la chaînette intrados. On peut, au reste, se contenter de 10 ou 20 points. Par exemple, dans le second cas, on aurait à prendre les valeurs de la table de 4 en 4, et à les multiplier par le rapport 0.1702.
On trouverait 25 X 1702 = 4.255 pour la valeur de t, daus la chaînette qui nous a servi d’exemple. 4.255 p. serait donc la poussée horizontale de cette chaînette.
Quand le rapport de la demi ouverture à la hauteur ne se trouve pas exactement dans la table, on emploie les proportions. Si par exemple la demi-ouverture devait être égale à la hauteur, ce cas tomberait entre les valeurs 60 et 6 1 de l’arc, et l’on trouverait facilement qu’il correspond à la valeur 60.44, la hauteur et la demibase étant alors chacune = 40.40 en prenant 25 pour la poussée horizontale.
CHALEUR. ( Voyez Calorique.)
CHALEUR TERRESTRE. — Définitions. La température moyenne théorique est la somme des températures de chaque instant divisée par la somme des instants.
En pratique, on prend pour la température moyenne d'un jour la moyenne des températures maximum et minimum de la journée; pour la température moyenne d'un mois, la somme des températures moyennes de chaque jour divisée par le nombre de jours; enfin , pour la température moyenne de l'année, la somme des températures moyennes des douze mois divisée par douze.
Ôn a observé que, même pour des latitudes très différentes, la moyenne d’octobre était fort rapprochée de la moyenne de l’année.
La température moyenne d’un lieu est la moyenne de toutes les températures annuelles.
Couche invariable. L’observation semble avoir démontré que,
dans tous les lieux, il existe à une certaine profondeur un point dont la température reste constante avec les années, quelles que soient les variations qui se succèdent à la surface du sol.
La température du sol des caves de l’observatoire de Paris, située à 28 mètres au-dessous du pavé est déjà à très peu près constante. Sa moyenne égale aujourd’hui 11°. 834, toutefois elle a été du ior juillet 1817 au 16 juin 1820 de 11°. 730; du 1 juillet 1820 au 16 février 1826 de 1 1°.80 1 ; du 1er mai 1826 au 16 octobre 4828 de 1 1°.857 ; du 1er novembre 1828 au 18 janvier 1835 de 1 1°950. Ces quatre moyennes sont croissantes.
L’ensemble des points de température invariable, forme la couche invariable. La courbure de cette couche n’est point régulière.
Dans nos climats, la couche invariable se trouve située à une grande profondeur, tandis que, dans les régions équinoxiales, il suffit, d après M. Boussingauit, de descendre un thermomètre à la profondeur d’environ O™. 35 pour qu’il marque constamment le même degré à un ou deux dixièmes près, du moins dans les lieux abrités.
La température de la couche invariable s’écarte peu de la température moyenne annuelle.
Température de la couche superficielle. Jusqu’à 0m.05 de profondeur au-dessous de la couche superficielle, la température du sol est extrêmement différente de celle de l’air. Pendant le jour, la première surpasse considérablement la seconde, c’est le contraire pendant la nuit. Durant les chaleurs de l’été, dans nos climats, la température du sol s’élève souvent à 50® ; M. Pouillet l’a trouvée une fois de 65°, à Paris; pendant la nuit elle s’abaisse de 8 à 10" au-dessous de celle de l’air. M. Arago a trouvé au moisd’aoàt 1826, à Paris, 54® pour la température donnée par un thermomètre couché horizontalement et recouvert de 0"\00t de terre végétale, et 46° lorsqu’il a été recouvert de 0m.002 de sable de rivière.
La température s’élève lorsqu’on s’enfonce au-dessous de la surface du sol; elle s’abaisse ordinairement lorsqu’on s’élève sensiblement au-dessus de cette surface.
La loi de ce dernier décroissement est mal connue. On a trouvé que, un décroissement de 1® correspondait à une élévation de 120, 160 et quclqocfois 200 mètres. Toutefois, il arrive aussi que, suivant certaines circonstances mal étudiées jusqu’ici, les températures atmosphériques croissent avec la hauteur. Lorsque les hauteurs ne sont que de quelques mètres , la température croit ordinairement à mesure qu’on s’élève au-dessus du sol. Ainsi un thermomètre placé la nuit par un ciel serein sur l’herbe d’uo pré marque 6 à 8 degrés de moins que lorsqu’il est suspendu dans l’air. Placé à 2 mètres audessus du sol, il peut marquer 2 à 3 degrés de moins que suspendu à 1 5 ou 20 mètres dans Pair.
Trmp. moy. Btlrétnt»
annuelle. nbwrti*
