N — 1) (IV— R)' ' ", W

Cette formule donnera la distance focale, et le signe que prendra / indiquera dans quel sens il faut compter celte distance.

Introduisant f avec son signe dans

ÏÏ

on en déduira les rapports de distance et de direction de l’image et de l’objet.

10. Ces formules montrent immédiatement que pour des rayons incidents parallèles,

1” Les trois lentilles à bords tranchants (fig. 1, 2, 3) ont des distances focales négatives ; ces trois lentilles augmentent donc la convergence des rayons ; elles sont convergentes.

2° Les trois lentilles à bords épais (fig. 4, 5, 6) ont des distances focales positives, diminuent la convergence, sont divergentes.

L’effet général des lentilles est donc de dévier les rayons incidents parallèles du côté de leur plus grande épaisseur.

11. lentilles bi-convtxes. Si l’on fait l’application delà formule(A) aux lentilles bi-convcxcs, dont la distance focale (est toujours négative, on a ;

1012 LENTILLES. — LEPTYN1TE.

cl pour D = « ; on trouve

L'image est du côté opposé à l’objet daus les quatre premiers cas j mais, dans le cinquième, elle est virtuelle cl en avant du verre.

On voit encore que, en général, les effets produits par les lentilles bi-convcxcs sont les suivants :

La distance de l’objet étant comprise entre l’infini et une longueur égale à la distance focale, les rajons réfractés convergent en un point variable quant à la distance, mais toujours situé du côté opposé à l’objet.

La distance de l'objet étant égale à celle de la distance focale, les rayons réfractés sortent en arrière de la lentille, parallèlement à l’axe.

Enfin, la distance de l’objet étant moindre que la distance focale, les rajons sortent du côté de leur incidence en divergeant de ce côté.

12. Les figures 8, 9, 10, 11 suffisent pour montrer la route des rajons lumineux avant et après la réfraction dans quelques autres cas généraux.

En 8 et 9, la lentille est plan-convexe, les rajons parallèles venus du côté B se croisent en arrière au fojer F.

En 10 cl 11, la lentille est plan-concave. En 10, des rajons parallèles venus du côté a divergent en arrière de la lentille. Le prolongement des rajons divergents forme en F’ un fojer imaginaire ou virtuel. En 11, des rayons e e, rendus convergents par une lentille à bords tranchants qu'on suppose placés du côté L, perdent cette convergence et deviennent parallèles.

LEPTYNITE. Boche dans laquelle domine le fei.d spath à texture cristalline.

LESCOT (Pierre). Abbé de Clugnj cl architecte, né en 1510, mort en 1571. Il fut l'architecte île la cour intérieure du Louvre et il éleva avec Jean (îotijvn la fontaine du marché des Innocents.

LEVEES. Ouvrages généralement très-étendus en longueur et ayant pour but de contenir les eaux des rivières ou celles de la mer dans leur lit et de protéger ainsi contre les inondations les terres riveraines inferieures aux niveaux des crues. Telles sont les levée a

, loo

. — I rz: oo

LEVÉES. — LEVÉS. loi :*

de la rive droite de la Loire, entre Orléans et Angers. Ces ouvrages, suivant les matériaux que fournissent les localités, se construisent en terre, en sable, en pierres sèches, en fascinages. Les digues ou levées en terre reçoivent habituellement au sommet une épaisseur égale à la hauteur d’eau à soutenir lorsque celle-ci ne dépasse pas 3 mètres; au-dessus de ce terme, ou ajoute à la largeur au sommet 0n,.30 par métré de hauteur d'eau au-dessus de 3. Le talus intérieur est à terre coulante et celui du côté de l’eau reçoit trois de base au moins cl cinq au plus sur deux de hauteur. 11 est utile de pratiquer dans la levée une petite banquette vers le niveau habituel des eaux et de la planter de roseaux flexibles qui amortissent l'effet du batillage sur les terres. Les grandes plantations qu’on a faites sur le talus des digues ou levées n’ont pas toujours contribué à leur consolidation, et l’on a eu l’occasion d’observer que l’action du vent sur les arbres à hautes tiges disjoignait les terres en agissant sur la cime comme sur l’extrémité d’un levier. Les digues et levées doivent évidemment être fondées avec autant de soins au moins que toute autre construction (\oycz Fondations, p. 771), et lorsque leur talus est très-roide, on les revet avec avantage d’un peré.

L'expérience a encore enseigné qu’il faut, dans Jes pajs où l’on a construit des levées, faire la guerre la plus vive et la plus persistante à tous les animaux à terrier et surtout aux lapins, classe de mineurs d’une prodigieuse activité et en même temps d’une fécondité menaçante. En 1738, ces animaux s’étant énormément multipliés dans les dunes de Calais, des voies d’eau s’ouvrirent à travers leurs terriers, et, le 27 février, à la marée de midi, la mer envahit la plaine; la basse ville, le petit Courgaiu furent inondés et les eaux se répandirent jusque dans les marais de Coulognc ; il fallut aller prendre avec des chaloupes les habitants qui s’étaient réfugiés dans leurs greniers. L’inondation ne dura que trois heures, on ferma les brèches à mer basse, les lapins furent détruits, mais les terres inondées par la mer restèrent stériles pendant plusieurs années.

LEVÉS de terrains. 1. Nous limitons ce précis aux seules con • naissances nécessaires pour lever avec exactitude les plus grandes étendues de terrains sur lesquelles des ingénieurs civils ou militaires puissent avoir à opérer, laissant ainsi de côté toutes les théories ou formules de la haute géodésie, pour lesquelles nous renverrons en partie aux mots Coordonnées géographiques, p. 380, Angle horaire, p. 41, et autres, mais surtout à la Géodésie de Puissant et à celle de Franervur.

2. Plan d'un terrain. S’il était possible de suspendre un fil à plomb à chacun des points de la surface ondulée d’un terrain, puis de marquer sur un plan inférieur, tangent au prolongement du niveau des mers au-dessous du milieu du terrain, les pieds de eha-

1014 LEVÉS de terrains.

cune des verticales, ce plan langent serait le plan proprement dit du terrain supérieur , et cette expression s'applique encore à l’image réduite que l’on en trace sur le papier à l’échelle convenable.

3. Faire le leoé d’un pays, c’est donc chercher les éléments de la

projection horizontale des divers points A B CD E F de son rc-

liel (fig. 1 , planche LXXXIV).

4. Four les obtenir successivement , on ne s’attache d’abord qu'aux points les plus saillants. On les suppose liés entre eux, trois à trois, par des droites qui forment ainsi un réseau continu de triangles situés dans des plans ordinairement différents les uns des autres, réseau qui recouvre ainsi toute la contrée.

Cela fait, on mesure directement l’un des côtés À B de ce réseau ( fig . 1), puis les angles formés aux extrémités A, B, de celle hase avec tous les sommets B, E, F.... que l'on pourra apercevoir de ces extrémités. On mesure également toutes les inclinaisons des côtés sur l’horizon, tous les angles que ces côtés forment entre eux, deux à deux, dans l’espace. On réduit ces derniers angles à la valeur qu’ils auraient si leurs sommets et leurs côtés étaient projetés sur l'horizon; on réduit la hase A B à la longueur de sa projection sur le même plan ; on a alors les éléments nécessaires pour calculer de proche en proche tous les éléments de la projection du polyèdre A B E D....F.

Ainsi (accentuant toutes les lettres pour indiquer la projection horizontale des points respectifs qu'elles représentent), la connaissance de la longueur A'B1 et des angles B', A1, E', détermineront les autres éléments du triangle A'B'E', projection horizontale du triangle AB E, et B'E' en particulier. De cette longueur B'E' et des angles connus B', E', D', on conclura de la même manière B'D’ et D’E' ; la première permettra de calculer le triangle B'D’C'; la seconde, celui D'F'E', et ainsi de suite.

5. Pour vérifier l'exactitude de ces opérations, il sera souvent necessaire de mesurer directement une seconde base, BC par exemple, et de comparer sa longueur réduite B'C', qui devra être, ou rigoureusement ou très-à peu près égale à celle B'C' que l’on aura obtenue par le calcul du triangle B'Ü'C'.

6. L’opération totale que l’on aura ainsi achevée est la triangulation du terrain, et le résultat qu’on en a obtenu est le canevas du plan.

7. On conçoit facilement comment, en s’appuyaut sur les lignes de ce canevas, on parviendra à déterminer, par des opérations analogues, les projections a' e' /’ de points secondaires a e f ; — comment ensuite les lignes oV, E f', pourraient, à leur tour, fournir les positions de puiuls cucorc moins importauls, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ail sur le plan des triangles assez petits pour que

LEVÉS de terrains. 1015

l’on n’ait plus à faire dans leur intérieur que ce qu’on appelle un levé île détail.

8. Une seule triangulation suffira, le plus souvent, avant dépasser à ces derniers levés, et la méthode suivante pourra alors être employée pour déterminer la position des points principaux du détail de chaque triangle. Cette méthode pourrait mémo servir pour former un canevas si le terrain n’avait pas une grande étendue, ou si une très-grande exactitude n’était pas exigée.

9. De l’extrémité A d’un côté ou d’une hase AB (fig. 2, planche LXXXIV), on relèvera tous les angles compris entre son autre extrémité B et les points C, D, E, F, G.... ; on se transportera ensuite en B, et, de celle station, on relèvera les angles compris entre A et les mêmes points C, D, E, F, G. — En même temps que, de A et de B, on aura relevé les angles de direction, on aura pris les inclinaisons à l’horizon de tous les côtés AF, BF, AG, BG, AC, BC, etc. On aura ainsi une série de triangles tous appuyés sur la même hase, dans lesquels on connaîtra un côté et les deux angles adjacents, ce qui permettra de les calculer, de les construire, et, par conséquent, de placer sur le plan les projections des points CD EFG. La base AB devra d’abord être réduite à l’horizon, et les angles de direction y seront également réduits par le calcul, si I’instrumext qui les a fournis n’a pas, de lui-même, opéré ces réductions (Voyez p. 9G8 et 9G9).

10. Entrons maintenant dans le détail de chacune des opérations sommairement indiquées ci-dessus, après avoir pris une idée générale de la méthode.

11. La première opération d’un ingénieur chargé d’un levé de quelque étendue sera la reconnaissance générale des points saillants du terrain, dont il fera en même temps un croquis. Si ces points saillants sont en grand nombre, il choisira de préférence, pour en faire les sommets de scs triangles : 1" ceux qui formeront entre eux les plus grands triangles possibles; 2° ceux qui formeront les triangles qui se rapprocheront le plus de la forme équilatérale; 3° il rejettera prudemment ceux qui donneraient des triangles tels que de chacun des sommets on ne distinguerait pas nettement les deux autres et s’opposeraient ainsi à ce qu’il pût vérifier si la somme de leurs trois angles = 180° (Géométrie, B, 7). il fera placer des signaux à chacun des points qu'il" aura choisis, à moins qu’il ne s’y trouve déjà des signaux naturels, et il procédera à la

12. Mesure d’une base. Cette hase est nécessairement l’un des côtés des triangles de son canevas. Il la choisira sur le terrain le moins inégal, s’inquiétant peu qu’il soit horizontal ou non, pourvu que, dans ce dernier cas, sa pente soit sensiblement uniforme. Les grandes routes, les bords de la mer, ceux des rivières ou des cours

1016 LEVES de terrains.

d’eau, ceux des marais «firent le plus souvent des emplacements convenables. Il tracera, à l'aide de jalons, la direction de celte base qui devra toujours Cire la plus longue possible ; puis il la mesurera à la chaîne (p. 963), deux fois au moins, avec le plus grand soin et suivant sa pente. Il relèvera ensuite son inclinaison a à I horizon, et si L est la longueur trouvée, sa projection horizontale x sera :

XZZZ I, COS. tt.

Mais l’angle a étant ordinairement fort petit, il vaut mieux calculer x par Ta relation ( Géom M, 9; :

• x = L(t — 2 sin.5 | x)

Lorsque le pavs est excessivement accidenté et que le levé a peu d’étendue, on peut se permettre de mesurer les bases à la stadia (p. 96V).

13. La base mesurée, il procédera au relèvement des angles. Si I’instki .mknt qu’il emploie ne donne pas l’angle des plans verticaux passant par les deux signaux A, 15 et la station C (fig. 3, planche LXXXIV), il appliquera à cet angle ACD le calcul dit: Réduction des angles à T horizon; c’est-à-dire que de l’observation directe de l’angle DCA et des angles de hauteur BCE, ACF, il déduira l’angle réduit à l’horizon ECF, remarquant que le mol réduit n’implique pas ici une idée de diminution. Soient donc.

0= l’angle observé BC A dans le plan des signaux et de la station ; a, les angles de hauteur des signaux respectifs A, B, audessus de l’horizon ECF;

z, z' leurs distances zénithales respectives; ; = (90 — x) ; ~' = (90-W;

O' = l’angle réduit ECF qui est le même que celui O' du triangle sphérique A B O'.

On a ( Géom ., O, 20)

sin.^O'

1 / sin.

sin. 1-

sin. z sin. z

Application. Soit O =

a. = 1 2° 22' 30” d’où s = £=13“ 8' 2i" d’où z'= .

on a =:....

LEVÉS de terrains 1017

yt* + *'z'— 29- 50' 17"

log. sin. 29- 4' 23" 9.6865087

log. sin. 29“ 50' 17" 9.6908369

comp. log. sin. 77* 37' 30" 0.0102095

comp. log. sin. 76° 51' 36" 0.01 15225

dont la moitié = log. sin. |0'= 9.7025688

ce qui donne 30° 16' 32" pour la valeur de j (y

et enfin 60° 33' 4" pour l’angle réduit O'

Lorsque l’ingénieur opérera en pays de plaine, il pourra le plus souvent s’épargner le calcul ci-dessus, il n’en sera pas de même en pays de montagnes.

On remarque que lorsqu’on a sensiblement a=[3, d’où s = a', la formule se simplifie beaucoup, et devient

sio.i0'=^ = ^

sin. x cos. a

14. Les points qu’on a choisis comme signaux aux sommets des triangles sont souvent tels qu’on ne peut s’y placer commodément. Les tours, les clochers, la plupart embarrassés de charpentes, sont dans ce cas, soit parce que leur centre est occupé par une poutre verticale, par un poinçon, soit parce que leurs ouvertures ne sont pas disposées de manière à ce que, de leur centre, on puisse viser aux deux autres sommets du triangle. On se place alors en dehors du sommet mathématique, et les angles qu’on relève de cette fausse station doivent subir une correction qui les ramène à la valeur qu’ils auraient eue si on les avait observés du vrai sommet. C’est l’objet de la

lléduction au centre de la station ( fig . 4, planche LXXXIV). Soient C la station qu’aurait dû occuper l’observateur pour y relever l’angle BCA=C; C’ celle que les obstacles le forcèrent d’adopter, et d’où il relève l’angle BC' A = C'.

CC'=r les distances des deux stations.

ÿ=la distance de l’objet de gauche au sommet C.

</ = distance de l’objet de droite au même sommet.

y = l’angle au sommet C' entre l’objet de gauche cl le sommet vrai C.

C' 4- w = angle au sommet C' entre l’objet «le droite et le sommet vrai C.

R ce qu’il faut ajouter ou ôter h l’angle C' pour avoir C.

1018 LfcVÈS de terrain* .

On a (Giom. B 9 et N 1).

C= AIB — CBC' = G' -f CAC' — CBC'

sin. CA C’

r sin. (C' + y)

sin. CB C'

r sin. y

et les angles CAC' et CBC' étant toujours fort petits, on pourra prendre la valeur de leurs sinus pour celle de leurs arcs, ce qui donnera

r sin. (C' -j- y) r sin. y d 9

Mais les deux termes du second membre n’expriment que des longueurs d’arc pour lesquelles le rajon 1 est l’unité de mesure. On aura leurs graduations en secondes , en les divisant par la longueur de 1" qui se confond sensiblement (p. 856) avec celle de sin.t". Donc, on emploiera définitivement la formule de réduction :

C1 =: H secondes —

r sin. (C1 -f y) sin. t". d

r sin. y sin. V.g

Il faut faire attention aux signes. On voit que le premier terme deviendrait négatif, par exemple, si C'-j-y était > 180°, et le second deviendrait positif si y était lui-même > 180”. Il suffit de connaître d et g à Tj-4 près pour calculer R, cl l’on remarque que si les objets A et B sont des astres dont les distances puissent être considérées comme infinies, la correction R devient nulle, d et g s’obtiennent d’ailleurs approximativement en calculant d’abord le triangle comme si les observations avaient été faites du centre des stations.

Application. Soient r/= 45 10” y = 4 730m r = 3m.96 C' = 33° 58' 37". 43 y = 232“ 55' 0"

1er terme.

2' terme.

log. r

comp. log. sin. 1". . . .

log. sin.(C' -j- y) . . . .

log. sin. y 9.9018719

comp. log. 4510

comp. log. g 6.3251389

log. 1er terme

log. 2e terme 2 1391311

Ce terme étant négatif,

on a

Ce terme étant positif, on a

1*’ terme — 180".84 j ’ 2* terme ” -j- 137” .76

LEVÉS de terrains. 1019

d’où R" = — 180 '. 84 4- 1 37". 76 = — 43". 08

et C — C' = — 43". 08

C =C'— 43".08 = 33° 57’ 54". 35 Cet angle C devra être ensuite réduit à l’horizon, s’il y a lieu.

15. La longueur de ces calculs, les difficultés que l’on éprouve à mesurer r et y, l’obligation de calculer les distances d et g pour introduire leurs valeurs dans la formule engageront peut-être l’ingénieur à prendre pour régie générale d’employer des signaux mobiles, des perches bien droites , par exemple, et d’éviter de choisir pour sommets de ses triangles les flèches de clochers, les paratonnerres, les girouettes, lorsque, toutefois, l’on ne croira pas devoir employer la méthode d'intersection (9).

16. Calcul des triangles. Lorsque les trois angles de chaque triangle auront été réduits au centre de la station et à l’horizon, on en fera la somme S que l’on comparera à 180°; puis la valeur A, B, C de chaque angle sera corrigée du tiers de l’excès de leur somme sur deux angles droits, ce qui donnera les angles moyens A', B', C' correspondants. Ce sont ces derniers angles qui serviront au calcul des triangles, puis à leur construction sur le papier, cl c’est la base réduite (12) qui servira à calculer le premier triangle. On ne saurait mettre un ordre trop sévère dans la disposition des calculs et les données de la mise au net. On dispose ordinairement celles-ci dans les colonnes suivantes :