CÔTÉS

>les sigoaui.

observés.

corrigés.

opposés.

OBSERVATIONS

17. Rapporter sur le papier les triangles réduits, est maintenant une opération graphique qui n’exige plus que la solution du problème : construire des triangles dont on connaît les (rois côtés ( Gèom ., P, 24). Celte méthode s’emploie souvent; mais, comme la position de chaque point dépend ainsi de celles des deux points précédents, il en résulte qu’une erreur sur ces dernières cause ordinairement une nouvelle erreur, cl que, de triangles en triangles, ces erreurs ne s’accumulent que trop souvent et altèrent sensiblement la vraie position des derniers points. On évite cet inconvénient grave, très-grave surtout dans les plans de mines, en employant la méthode fondamentale de la géométrie des courbes (pag. 426), et qui consiste à fixer la position des points par les distances de cha-

LEVÉS de terrains.

cnn d’eux à deux droites perpendiculaires entre elles. Toutefois, il était naturel de choisir ici pour axes des coordonnées la méridienne du point principal du plan et la perpendiculaire à celte méridienne-, c’est ce qu’on fait ordinairement par la méthode ci-dessous indiquée.

1 8. Rapporter la position des points du canevas à une méridienne et à sa perpendiculaire (fig. 5, planche LXXXIV). Les directions de la méridienne NAM et de la perpendiculaire O AP au point principal A du levé étant déterminées, le côté AB est orienté, c’est-àdire que l’on connaît I’azimut M A B = a de ce côté. H ne s’agit plus que d’en déduire les coordonnées (A4, Ab'), (A c , Ac'). . . . (A fc , A le') (Ai, Ai') de tous les autres sommets. Pour y parvenir, on transportera successivement l’origine des coordonnées à tous les sommets des triangles, c’est-à-dire que l’on mènera par tous ces sommets des parallèles à la méridienne cl à sa perpendiculaire, et les côtés dos triangles, dont la longueur est connue d’ailleurs, deviendront les hypoihénuses de triangles rectangles dont on sait calculer les autres côtés ( ’Géom ., N. 2). Par exemple, on aura pour B les relations

A b — A B co», a A b’ — A B sin. a

Pour calculer les distances relatives au sommet C , on remarquera que l’angle BAC étant connu, on a CAM=« — BAC

et A c — A C cos. (a — BAC); A c' A C sin. (a — BAC);

retranchant CAM de CAE, on aura MAE, d’où A c = A E cos. MAE ; Ae' =: A E sin. M A E,

Pour le point I), on voit facilement que l’azimut D C M, = C A M + 18<r — DCA =*; on en conclut cd — C l) cos. a c' d' m C Dsin.a et dés lors pour les. ordonnées du point l)

A d — A c c d -, À d' — A c' -jr c' d’ et ainsi de suite.

il convient d’adopter ici une méthode analogue à celle de la géométrie des courbes et, par exemple, de faire toutes deux positives les ordonnés a: cl y des points situés dans la région sud-ouest MAO; l’on a alors, x étant la distance à la méridienne, et y celle

à sa perpendiculaire

Région sud-ouest MAO -f- x -f y

Région nord-ouest O AN -fa; — y

Région nord-est N A P — x — y

Région sud-est P AM — .i + y

• LEVÉS à la planchent. 1021

Parlant de cette convention, désignant par k un côté connu, par s son azimut ou l’angle d’inclinaison de sa direclion sur In direction parallèle à la méridienne, angle compté comme a en tournant du sud vers l’ouest depuis zéro jusqu’à 360°, on aura généralement

x = k sin. s ±: m ; y = kc,os.z±p

m cl p étant les ordonnées de l’extrémité de k. Donnant aux sinus et cosinus les signes qui leur conviennent, a: et y prendront d’ellesmémes les signes qui indiqueront à quelle région le sommet appartient. Ces calculs, fort simples, exigent cependant beaucoup d’ordre et d'attention.

19. Levis de détail. La triangulation faite ou rapportée sur le papier, on commence le levé des détails. Les moyens qu’on peut employer pour les obtenir varient avec la nature des instruments dont on dispose. Nous les classerons sous les titres, levés à la planchette (pag. 968), levés à la boussole (pag. 958), levés au pantomètre (pag. 967), ou à l’équerre (pag. 967 cl 976).

20. Levés à la planchette , généralités. La planchette (pag. 968) doit toujours être disposée horizontalement à chaque station; les angles qu’on y trace sont toujours ainsi réduits à l’horizon (13), aussi bien que les droites qui joignent entre eux les différents points du plan. Les distances mesurées directement devront être prises avec la chaîne (pag. 963) tendue horizontalement et jamais suivant la pente du terrain. On concevra au reste et l’on se rappellera plus facilement l’usage de la planchette, en remarquant que toutes les situations qu’elle prend aux stations successives sont parallèles entre elles, et que l’instrument est toujours placé dans le même sens relativement au terrain.

2 1 . Première méthode dite de cheminement (fig. 1 , planche LXXX V) Elle s’applique lorsque tous les points A, 11, C, I), E du terrain sont accessibles, lorsqu’on peut y placer la planchette, et lorsque aucun obstacle ne s’oppose à ce que l’on chaîne de l’un à l’autre.

Etablissez la planchette bien horizontalement au-dessus du point A du terrain, à l’aide d’un petit niveau à bulle d’air; — disposez-la de manière que sa surface puisse contenir tout le terrain A B (IDE F; — enfoncez perpendiculairement au plan de la tablette au point a du papier déterminé par la verticale en A au terrain, une line aiguille à laquelle vous aurez fait une forte (été avec de la cire à cacheter ; — appliquez contre cette aiguille le bord de l’alidade qui répond aux pinnulcs; — faites tourner l’alidade autour de l'aiguille» jusqu’à ce que vous aperceviez le pied du jalon ou du signal placé en 11; — tirez alors le long de l'alidade une droite indéfinie ,- — tracez de la môme manière une autre droite indéfinie suivant la direc-

1022 LEVÉS « la planchette.

lion AF, en visant au pied du jalon F ; — enlevez la planchette du

point A, et faites placer un jalon en ce point du terrain.

Transportez-vous au point B du terrain, et, pendant ce temps, faites chaîner la ligne AB du terrain, les deux chaincurs s'alignant réciproquement sur les jalons A et B. Enfin, sur les lignes indéfinies tirées de a, et à partir de ce point du papier, portez à l’échelle adoptée les longueurs a b , af de AB , AF.

Piquez une seconde aiguille au point b de la planchette; — établissez l’instrument au point B du terrain, de manière que b se trouve ou rigoureusement, ou sensiblement sur la verticale de B. Une petite erreur sur cette position (pag. 069) n’aurait d’influence que si l’on opérait à une très-grande échelle; en pareil cas, on ferait convenir ces deux points en employant un compas d épaisseur, dont les pointes pourraient atteindre le centre de la planchette. A l’une d’elles serait suspendu un fil à plomb, l’autre s’appliquerait sur le point b, puis l’on disposerait la planchette de manière que le fil à plomb passât par la verticale de B. Revenons à ce point.

Appliquez l’alidade contre les aiguilles b, a-, — faites tourner alors la planchette jusqu’à ce que, à travers les pinnules, vous aperceviez le pied du jalon A. Dans cette situation, b a du plan se trouvera dans la direction B À du terrain. Sans rien changer à la position de la planchette, enlevez l’aiguille a, faites mouvoir l’alidade autour de l’aiguille b, jusqu’à ce que, à travers les pinnules, vous aperceviez le pied du jalon G. Tirez alors le long de l’alidade une droite indéfinie dans celte direction b G; — faites chaîner BC; — portez sa longueur bc sur le plan, réduite à l’échelle adoptée, et piquez en c l’aiguille enlevée de a; — transportez la planchette sur G du terrain; — opérez en G absolument do mémo que vous avez opéré en B; — continuez ainsi de suite jusqu’à ce que vous ayez fermé le polygouc.

La méthode de cheminement s’applique avec avantage au levé des bois fourrés, des sentiers, des ruisseaux, des galeries de mine.

22. Vérifications. On peut remarquer que, dès que l’on est arrivé au point G, les points a b étant déjà fixés sur la planchette, il faut, si l’on a bien opéré que, lorsque cb est tracée, la direction C A de la diagonale du terrain coïncide avec ca du plan. S’il n’en est pas ainsi, on s'est év idem men fl rompe ou sur la mesure de AB, ou sur celle de BG, ou sur leurs réductions ab , bc, ou enfin sur l’angle ABG = abc. On fera des vérifications semblables à chaque station, et l’on voit, par exemple, que la planchette étant placée en D, et la droite de du plan étant (racée, les directions da, dé du plan doivent être les mêmes que celles DA, DR du terrain. S’il n’en est pas ainsi, des erreurs ont été commises, et on doit les corriger immédiatement.

23. Si l'on fait usage du déclinatoire (pag. 969), comme on a

LEVÉS à la planchette. 10-23

tracé sur la planchette la ligne nord-sud au point de départ A, on est dispensé de la station en B ; l’on se porte de A directement en O, tandis que l’on fait mesurer A B et BC. On oriente la planchette en C, à l’aide du déclinatoire; — puis a b étant porté sur la planchette à l’échelle convenue, on pique une aiguille en b, et faisant tourner l’alidade autour de ce point A jusqu’à ce que de la station C, on aperçoive le jalon B à travers les pinnules, on tirera une indéfinie b . . C, 6ur laquelle on portera de A en c la longueur réduite A c. Delà même station C , on tirera immédiatement une indéfinie cD vers D , puis laissant de côté la station D , on se portera immédiatement en E, tandis que l’on fera chaîner C D et DE ; on portera cd à l’échelle sur la direction cD, puis de la station E, visant à D à travers les pinnules de l’alidade appuyée contre l’aiguille d , on tirera l’indéfinie dE sur laquelle on portera la longueur de , puis du point e , on tirera l’indéfinie eF , et aiusi de suite.

L’emploi du déclinatoire réduit ainsi de près de moitié le nombre des stations, mais le vent qui empêche quelquefois l’aiguille de se fixer aisément, fait que, alors, il n’y a aucune économie de temps.

24. Méthode dite de recoupement. Elle permet de ne faire mesurer qu’une seule distance, et elle n’a d’application que lorsque tous les points sont accessibles.

Soit (fig. 2, planche I.XXXV) A B la hase que l’on a pu mesurer ; on tracera sur la planchette une droite ab, réduction de AB à l’échelle adoptée, et située convenablement. — On placera la planchette Un B, et l’on fera convenir le point A de la planchette avec B du terrain, et la direction Aa avec B A. — On tirera en visant de A au jalon G une droite indéfinie, dans la direction AC ; — on portera la planchette au point C du terrain, et on l’y disposera de manière que la dernière droite Ac convienne avec BC quant à la direction; — on piquera une aiguille au point a du pian; — on fera tourner l'alidade autour de cette aiguille jusqu'à ce que, de la station C, on aperçoive Je jalon A du terrain à travers les pinnules; — l’alidade restant dans cctto position, on tirera de a vers soi une droite indéfinie, qui recoupera nécessairement la direction Ac en un point qiïi sera c du plan.

La planchette restant dans celte position, on tirera de c vers le jalon D une indéfinie cD , et l’on se transportera en D; — on y disposera la planchette de manière que la direction do De convienne avec celle de DC. Plaçant encore l’alidado contre l’aiguille a du plan, on la fera tourner autour de cette aiguille, jusqu’à ce qu’on aperçoive par les pinnules le pied du jalon A du terrain. Tirant alors do a vers soi une indéfinie, elle recoupera la direction cD en un point qui sera nécessairement d du plan.

De ce point d du plan, on dirigera l’alidade vers le jalon R du

1024 LEVÉS à la planchette.

terrain, on tirera l'indéfinie </E; — on transportera la planchette au point E; — on fera convenir les directions Ed, ED, puis, sans changer la position de la planchette, on placera l’alidade contre l’aiguille a, on la fera tourner jusqu’à ce que l’on aperçoive à travers les pinnules le pied du jalon A; — enfin on tirera vers soi une indéfinie, qui recoupera celle dE en un point qui sera nécessairement e du plan; — et le polygone sera fermé.

25. Vérification. On se vérifie à chaque station, en se servant des points déjà déterminés, et l’on voit facilement, par exemple, que le point e déterminé sur le plan où l’on a déjà a,6,c,d, peut être donné à la fois en tirant des droites, soit suivant A a pour recouper dE, soit suivant Bè pour recouper la même indéfinie dE, soit encore suivant Ce.

26. Si Pon emploie le déclinatoire , la base AB étant représentée par ab à l’échelle sur la planchette orientée, on va s’orienter de nouveau en C, puis à l’aide de l'aiguille (en cuivre) piquée d’abord en a du plan, on fait tourner l’alidade jusqu’à ce qu’on aperçoive le jalon A du terrain, et l’on lire l’indéfinie AaC vers soi. Opérant de même, de la même station et par rapport à B du terrain, on a une autre indéfinie B b qui recoupe la direction AaC en un point qui est nécessairement c du plan. Avant de quitter la station C, on tire cD, puis on se porte en D du terrain, on s’y oriente, et les points A , B de la base et a, b du plan servent encore à déterminer d absolument comme on a obtenu c. . .et ainsi de suite, en remarquant que (B, C) (C, D) (b, c) (c, d) peuvent donner de même la position des points e. . . f du plan.

27. Méthode d'intersection. Elle s’emploie surtout lorsque la base A B seulement est accessible, et elle ne diffère point, quant au principe, de celle indiquée (9) et fig. 2, planche LXXXIV. Ainsi on dispose la planchette à l’une des extrémités A de la base AB; — on trace à l’échelle convenue celte même base ab sur le plan, puis après avoir disposé l’instrument de manière que a b soit exactement dans la direction AB, on pique l’aiguille en a et faisant tourner l’alidade autour de celle aiguille, on vise successivement à tous les points F, G, C, E, D du terrain, cl l’on lire sur la planchette des droites indéfinies dans leurs directions; — on transporte ensuite la planchette en B, on la dispose de manière que b étant dans In verticale de B, la base réduite ba soit dans la direction BA, puis visant de B en faisant tourner l’alidade autour de l’aiguille 6, on lire d’autres indéfinies vers les mêmes points du terrain que précédemment. Ces indéfinies recoupent les premières sur la planchette en des points/-, g, c, e , d qui sont les projections des points F,G,C,E,D du terrain.

La méthode d’intersection a l’avantage d’élre rapide et l’inconvé-

LEVÉS d la planchette. 102 »

nient de donner parfois des intersections trop aiguës ou trop obtuses ; eequi fait que l’on saisit mal le véritable lieu des points à marquer sur la planchette.

28. Vérification. La planchette étant à l’une des extrémités B c la base, et ba du plan convenant avec B A du terrain, on fera placer un jalon en un point quelconque V du terrain, et l’on tirera l’indéfinie b V. On transportera la planchette en V ; — on fera convenir l’indéfinie VA avec VB; — on piquera une aiguille à un point g , par exemple, du plan. Autour de celte aiguille g, on fera tourner l’alidade, et lorsqu’on apercevra par les pinnulcs le point G du terrain, on tirera l’indéfinie G g qui recoupera AV en un point qui sera v du plan. Tout restant dans cette situation, il faut, si l’on a bien opéré, que plaçant successivement l’alidade suivant vf, cc, va . . .du plan, on aperçoive à travers les pinnulcs les points F, C, A du terrain.

29. L'emploi du déclinatoire n’offrirait ici d’autre avantage que celui d’orienter la base par rapport au méridien magnétique. Toutefois la planchette orientée à l’aide du déclinatoire, permet de résoudre un problème très-usuel, savoir :

30. Déterminer sur la planchette la position d'un point intérieur O du polygone ABCD, trois points a. A, c ou deux points au moins a, b, étant déjà placés sur le plan et visibles du poiul O (fig. 3, planche LXXXV).

On orientera la planchette à la station O, puis faisant tourner l’alidade autour de l’aiguille a jusqu’à ce qu’on aperçoive A du terrain, on tirera une indéfinie dans la direction Aa; — on fera de même relativement à B et l’intersection sur la planchette des deux indéfinies A a , BA donnerait sur le plan la position o de O, mais il convient de vérifier celle position en opérant encore de même sur c et C ou tout autre troisième point.

31. Application de celte méthode (fig. 5, planche LXXXV). On voit immédiatement comment, à l’aide d'une hase AB convenablement située, on obtiendrait, en stationnant successivement en q,m,p. ... les positions de ces points sur la planchette, et par suite toutes les sinuosités d’un cours d’eau.

Les lignes am,ap. . . serviraient à leur tour de bases pour placer sur la planchette, à l’aide de la méthode d’intersection (27), des points tels que z situés sur l’autre rive, et l’on obtiendrait ainsi facilement la largeur du cours d’eau en différents points, ainsi que la figure des deux rives.

Il faut du reste éviter ici, comme à la méthode (27), les intersections trop aiguës ou trop obtuses.

32. On obtiendrait encore facilement les sinuosités des ruisseaux, des haies, etc., avec la planchette sans déclinatoire, en abaissant

1 02U LEVÉS d la planchette.

(fig. 5, planche LXXXV) des coudes ou dos points principaux x, y, z, u,t de petites perpendiculaires sur des droites, comme EC par exemple, déjà tracées sur le plan. On porte à l’échelle les distances de leurs pieds le long de ec , ainsi que leurs longueurs réduites, cl l’on trace ensuite facilement les courbes C uzyx. On dessine en même temps à vue le terrain compris dans les divers trapèzes E xy Y.

33. C’est en employant avec sagacité tantôt l’une tantôt l’autre des méthodes précédentes que l’on parvient à représenter sur la planchette le plan d'un terrain avec la projection de tous les détails. La planchette a le graud avantage de dispenser l’ingénieur de tout registre d'observations cl de tous croquis. Elle donne immédiatement une représentation suffisamment fidèle des petites étendues de terrain, mais les méthodes purement graphiques qui constituent son emploi ne sauraient indiquer que très-grossièrement la valeur des angles ou celle des lignes qui n’ont point été directement mesurées. Seule, elle ne peut rien apprendre d’ailleurs sur le relief du terrais, et ce relief est souvent d'une très-grande importance. J'ajouterai encore ici quelques observations sur l’emploi de la planchette à divers levés.

3i. Levés souterrains. On devra faire ici un emploi presque constant de la méthode de cheminement. Ce sont nécessairement des lampes qui servent de signaux et remplacent les jalons du terrain. On agira très-prudemment en s’abstenant de l’usage du déclinatoire.

35. Plans des villes. 11 est assez commode ici do commencer en plaçant la planchette au milieu de la place principale. On y trace de ce point, à l’échelle adoptée, des rayons vers des points situés un peu en deçà de l’origine de l’axe de chaque rue aboutissante. Si du milieu de cette place on aperçoit quelque monument remarquable à distance, un clocher par exemple, on y dirigera un rayon que l’on recoupera plus tard des autres stations d’où il serait encore visible. Puis on cheminera suivant l’axe des rues en ayant soin de diriger de la station d’entrée et de la station desorlicde chacune d’elles de petits rayons vers les angles des premières et des dernières maisons. — De chaque carrefour on dirigera également des rayons dans l’axe de toutes les rues aboutissantes, et d’autres petits rayons aux angles des premières maisons do chacune d’elles. En général, il faut diriger des rayons à tous les angles saillants et rentrants que l’on rencontre.

Lorsque les villes sont entourées d’un boulevard, on peut espérer plus d’exactitude en commençant le levé par le contour, parce que ces boulevards présentent des bases plus étendues, il convient alors de lever d’abord tout le contour eu dirigeant des rayons sur toutes les rues que l’on rencontre, cl que l’on reprend ensuite.

Comme l’on mesure ici toutes les longueurs, les moyens do vérification se présentent en foule.

LEVÉS à la boussole. 103?

36. Tracer à la planchette une route, en forêt. Ce problème suppose que l’on a sur la planchette le plan exact de la partie de forêt dans laquelle on doit opérer, ainsi que la direction de la percée à y faire.

On disposera la planchette à l’origine de la trouée en faisant rigoureusement convenir deux des plus grandes lignes de la planchette avec leurs correspondantes du terrain. On placera alors l’alidade avec soin sur l’axe de la route en projet marqué sur la planchette, et l’on fera ouvrir le bois dans celte direction que l’on marquera d’ailleurs par des piquets, à mesure que cela deviendra possible.

37. Usage de la planchette pour tracer un projet sur le terrain. On conçoit très facilement comment, en général, un projet étant tracé sur la planchette, on reporte sur le terrain toutes les lignes homologues, voici toutefois quelques prescriptions utiles :

Il faut d’abord disposer la planchette sur le terrain à un des points . principaux du plan, et faire convenir la plus grande ligne qui parte de ce point avec celle qui doit y correspondre sur le terrain. On détermine ensuite de cette première station, à l’aide de l’alidade, autant d'alignements sur le terrain qu’il y a de lignes droites qui peuvent y concourir. — On fait porter sur ces alignements autant de mètres et fractions de mètre que l’échelle ou les cotes en indiquent. On va ensuite établir la planchette à chacune des extrémités de ces premiers rayons, et après leur avoir donné une position parfaitement parallèle à celle qu’elle avait à la première station, on détermine de nouveaux alignements dont on limite la longueur, à celle indiquée sur le plan.

Il importe presque toujours ici que le point de la planchette se trouve rigoureusement dans la verticale de son homologue sur le terrain, on obtiendra cette coïncidence par les moyens indiqués,

Il convient enfin que les principales lignes du plan soient cotées d’avance sur la planchette ainsi que les diagonales du polygone du projet. On procède ordinairement des contours vers l’intérieur, mais il est quelquefois plus commode de tracer de grands axes.

38. J^eoès à la boussole ; généralités. L’angle formé par une direction quelconque avec celle de l’aiguille aimantée (pag. 958), se mesurera par la droite de l’observateur, et depuis zéro jusqu’à 360, en d’autres termes, il a pour mesure l’arc compris entre la droite du rayon visuel et la gauche de l’extrémité bleue de l’aiguille. Il faut ne lire ces angles sur le limbe que lorsque l’aiguille a cessé d’osciller, et, pour ne point commettre de trop grosses erreurs sur cette lecture, l’observateur doit la faire en se plaçant juste en face de l’extrémité de l’aiguille. — La boussole doit d’ailleurs être toujours disposée horizontalement.

1028 LEVÉS d la boussole.

Le vent, le fer, à la surface du sol, les oxides magnétiques, les courants électriques, les voies de roulage en fer dans les levés souterrains, sont des causes d’erreurs graves qui obligent dans maintes circonstances à s’abstenir de l’emploi de la boussole.

30. Première méthode , applicable aux levés des polygones dont tous les points sont accessibles, aux cours d’eau, aux sinuosités des chemins, aux contours des petites propriétés (fig. ire, planche LXXXVI).

Soit ABC DE le polygone. — Etablissez horizontalement la boussole au point A, et pendant que les chaineurs mesurent la distance entre le point A cl le jalon B, visez de A vers B ; tracez un arc sur le croquis, autour du point a depuis la droite de la direction A B jusqu’à la gauche de la petite flèche qui figure l’aiguille ; — inscrivez autour de cet arc la graduation observée de cet angle, et portez en même temps sur le croquis, le long de ab, la valeur en mètres et fractions du mètre de la distance A B mesurée horizontalement. Avant de quitter A, visez vers E, et prenez note de la valeur de l’angle n AE; — transportez la boussole en B, visez sur Cet faites pour B cl BC ce que vous avez fait pour A et AB ; — transportez

i’inslrumcnl en C et ainsi de suite jusqu’au dernier angle et

au dernier côté du polygone.

40. La vérification de la valeur des angles est fondée sur la propriété des polygones (Géom., C, 21). Pour evoir la valeur de l’angle intérieur B par exemple, on peut remarquer que les directions de l’aiguille étant sensiblement parallèles à toutes les positions du plan.

on a (Géom., A, 17) :

B = sBA-t-sBC = 360 — «AB -f CBn — 180°

On aurait de môme, en continuant à ne faire entrer dans les calculs des angles intérieurs que les valeurs des angles observés

C = nCD~-CBn + 180“= 53” {

D = nDE — «CD -4-180“=; 274” £

E=nEA — nDE -j- 180°= 28“ j

A = nAB — nEA — 180“=: 42° J

ainsi la somme des angles intérieurs est bien égale a 180 (5 — 2) ou 540“

On n’aura pas manqué de remarquer que, dans ces calculs, l’angle n A B est l’angle observé et = 325“ cl non pas l’angle aigu n AB de la figure ; il en est de même de tous les autres.

41. La vérification des côtés se fait en construisant le polygone à

LEVÉS à la boussole. 1029

l'échelle à l’aide du rapporteur ou de la table des sinus ( Gtom ., P, 9). Il n’y a point d’erreur, ou il y a des compensations d’erreur, si le polygone se ferme exactement, c’est-à-dire si le dernier côté E A passe par le point de départ A, et si tous les autres côtés ont d’ailleurs la longueur voulue par l’échelle. Cette construction du polygone s’opère facilement en tirant sur le papier un grand nombre de

Parallèles équidistantes ou non qui représentent les directions de aiguille aimantée. Elles servent à déterminer la position du rapporteur aux divers points du plan. L’emploi du papier quadrillé est encore plus commode, et le rapporteur entier est de beaucoup préférable ici à celui qui ne comprend qu’une demi-circonférence.

42. Observation. De même qu’avec la planchette orientée (23) on peut se dispenser de faire des stations à tous les sommets du polygone (fig. 1", planche LXXXVI) : on voit, par exemple que, partant du point A , on peut aller stationner directement en C, pourvu que, de ce point, on relève cette fois l’angle BCn; de même on pourra passer immédiatement deC en E, à la condition de relever en E l’angle DKn, et ainsi de suite. Il est clair, en effet, que de ces angles BCn, D En on conclura rouxCBn,EDn qu’on aurait observés en B , D. . . . car les équations du numéro précédent donnent :

CBn = n CD — C 4- 180° = BCn -j- 180°

EDn = nEA — E ■+■ 180° = DEn-t- 180°

ainsi, l’angle que l’on aurait observé en B n’est autre chose que BCn, plus une demi-circonférence, et relui qu’on aurait observé en D = DEn -+- demi-circonférence. En général, l’angle qu’on n’a pas observé est égal ici à celui que l’on a observé plus ou moins , une demi-circonférence; ce qui fait que, dans la construction delà figure, on prendra dans tous les cas sur le rapporteur pour former l’angle qu’on n’a point observé le numéro de la division diamétralement opposé à celui qui correspond à l’angle observé. En particulier, pour former l’angle nB C au point B , on prendra le numéro de la division diamétralement opposé à BCn. Cet angle BCn étant = 106° par exemple, «BC sera = 286°.

Cette observation conduit naturellement au problème suivant, qui donne le moyen de marquer sur un plan, levé en partie, plusieurs points de la crête des montagnes, la position des plateaux, la naissance et la fiu des pentes.

43. Problème. Deux points A. et h du terrain (fig. 2, planche LXXXVI) étant marqués sur le plan en a et b j et les directions de l’aiguille aimantée étant connues par rapport d AB, a b , placer sur la carte le point M.

De la station M du terrain on visera aux points A et B, et l'on-

1030 LEVÉS à la boussole.

inscrira les angles «MA, «MB. 11 n’y a pas d’aulres données à recueillir sur le terrain. En effet, l’on a

nA M == s A M 4- 180° = nM A -+- 180" nB M = n M B — 1 80°

d’ou l’on conclut que, pour placer m sur la carte, il suffirait à la rigueur de faire en a, toujours avec la gauche de la dircelion nord de l’aiguille un angle = » M A + 180°, puis un angle en B — n M B — 180° ; ce qui revient à placer le rapporteur successivement en a et b , puis à tirer des indéfinies par les divisions diamétralement opposées à celles qui correspondent à la valeur des angles respectifs observés de M sur A et B Les deux directions indéfinies se couperont en un poinlqui sera la position du point m du

Ïilan. Il convient de vérifier la position de m en la rapportant par e même procédé aux points BC. Il n’y a pas d’erreur si la droite tirée de c vient pa‘ser par le même point m du plan.

44. Seconde méthode ; problème généra! : lever à la boussole le polygone ABC l)E (lig. 3, planche LXXXVI) dont tous les sommets sont accessibles, en ne mesurant qu'une base A B.

Placez, la boussole à l’une des extrémités B de la base, visez sur l'autre extrémité A , puis de la même station B visez sur C; ce qui donnera ABn, CBn. AB est connu.

Transportez la boussole en C; de celte station, visez sur A et sur D; vous obtiendrez ainsi ACn et DCn.

Transportez la boussole en D; de ce point, visez encore sur A, puis sur E; ce qui fera connaître A Dr» , EDn;

Et ainsi de suite jusqu’en E où on relèvera AEn.

45. Pour construire la figure d l’aide de ces données , on pourrait employer les angles intérieurs de chaque triangle, en remarquant que tous ces angles intérieurs se déduisent de ceux qui ont été observés et que, après avoir construit le premier triangle ABC, dans lequel le côté AB est connu, AC devient une base sur laquelle on construit le second triangle ACD; et ainsi de suite. En nous bornant au premier triangle, par exemple, en désignant alors par A, B, C ses angles intérieurs, on voit facilement que :

A = ABn — ACn B = nBC — ABn C = ACn— nBC-f- 180°

mais il est beaucoup plus simple de procéder comme il suit :

Sur l’une des parallèles du papier quadrillé, en un point quelconque b , on tirera une indéfinie ba faisant avec bn, qui indique la direction de l’aiguille, un angle nba — l’angle observé nB A; puis, on portera à l’échelle , de b en a , la valeur de la base B A.

LEVÉS d la boussole. 1031

Du même point A, on tirera l’indcfinie bc faisant avec nb , à la gauche de l’aiguille, un angle nbc — l’angle observé nBC, et, pour donner à bc la longueur qu’il doit recevoir, on conduira du point a une indéfinie ac , faisant avec la gauche de na un angle nacz=z 180° -j- ACn; celte droite recoupera l’indéfinie bc au point convenable c , et complétera le triangle. Un remarque que l’angle nac correspondra sur le rapporteur à la division diamélraltmcnt opposée à celle qui donnerait ACn.

Du point c ainsi déterminé, on tirera une indéfinie suivant cd, faisant avec la direction en fie l’aiguille un angle ncd = nCD, puis, toujours du pointu, on tirera une autre indéfinie suivant ad, faisant avec la gauche de na un angle n AD =3 180°-j- ADn, ce qui déterminera le point d et complétera le triangle acd.

Enfin de d, on conduira dedans une direction de faisant avec nd un angle nD E, puis, du pointa, on tirera une autre indèGnic ae, faisant avec la gauche de na un angle nAE = AEn — 180°, ce qui achèvera le polygone.

On voit que, en général, il faut toujours construire au point a, avec la gauche de n a , un angle égal à zt 180°, augmentés de l’angle observé en C. D ou E entre la direction de l’aiguille et le point A ; ce qui revient à prendre dans tous les cas sur le rapporteur la division diamétralement opposécà la graduation de l’angle avec A observé au troisième sommet de chaque triangle.

Cette méthode devient plus exacte quand, au lieu de viser sur le seul point A, on vise eu outre sur B. . . . , mais alors le croquis doit être fait avec beaucoup de soin pour éviter la confusion.

46. Troisième méthode ; problème général : lever d la boussole le plan du polygone ABCDEF, dont la base AB est seule accessible ( fig . 4, planche LXXXVI).

Le principe de celle méthode est le même que celui indiqué §§ 9 et 27.

A l’extrémité de la base A, on relèvera tous les angles formés entre la gauche du nord de l’aiguille et la droite des rayons visuels AC, AD , AB, AF, AE.

On fera mesurer pendant cette opération la base AB.

On transportera la boussole à l’autre extrémité B de celte base, et l’on y relèvera tous les angles formés entre la gauche de l’aiguille et la droite des rayons visuels BC, BD, B A, BF, BE.

La construction de la figure sur le papier est trop simple pour que je m’y arrête, après ce qui a été dit.

47. Problème : à l'aide de la boussole, mener par un point B une parallèle à une ligne donnée AC sur le terrain (fig . 5, pl. LXXXVI).

A l'extrémité A de la ligne donnée A C , observez l’angle A ; transportez la boussole au point B, et faites placer des jalons dans la di-

1032 LEVÉS à l’équerre.

rection B* déterminée par la condition que l’angle en B = celui observé en A.

48. Levés au panlomèlre (pag. 967) ou d l’équerre (pag. 976). Le panlomèlre ou l’équerre doivent toujours être placés horizontalement. Leur emploi convient surtout aux pays de plaine.

49. Première méthode. Lever le plan du terrain À . C . F..B..M..Q qui est partout accessible, et dont tous les points sont visibles (fig. 6, planche LXXXIV).

Tracez sur le terrain le plus long alignement possible AB; ce sera la base ou la directrice du plan. Des sommets du périmètre C, D, G, L, M, conduisez sur celle base les perpendiculaires Ce, Dd, G g , L/ , Mm ; faites chaîner A c et cC, cq et qC, qn el nN. . . c’est-à-dire, tous les segments de la base, el toutes les perpendiculaires à cette base, dont vous inscrirez les valeurs sur un croquis ou brouillon. Ces données suffisent évidemment pour construire la figure sur le papier à l’aide de la règle et de l’équerre, et pour en évaluer la superficie (Géom., I, 6).

50. Pour trouver le pied des perpendiculaires, le pied f de f F, par exemple, on procède par tâtonnement. On place le pantomètre ou l’équerre en /'par exemple, el visant d’abord dans la direction f' A. ou /' B, on regarde ensuite par les fenêtres perpendiculaires à celte direction. Si l’on rencontre le pied du jalon F du terrain, /'est le pied de la perpendiculaire, mais il arrivera rarement qu’on rencontrera F du premier coup. Si ce jalon eslàgauche, on reculera le pied de l’instrument vers la gauche en f" par exemple ; — puis, visant de nouveau suivant/" A, on regardera encore par les fenêtres perpendiculaires à cette direction /"A, si l’on rencontre le jalon F. S’il est à droite, on prendra une position intermédiaire entre /' el /" et ainsi de suite jusqu’à ce que le fil vertical du plan perpendiculaire à la direction de la base coupe exactement en deux le pied du jalon F.

C’est là la méthode des arpenteurs ; elle n’est pas toujours, laut s’en faut, la plus commode, car elle exige quelquefois un grand nombre de mesures partielles, telles que qQ , cC , d D. . m M , prises tant à droite qu’à gauche de la base, et suppose d’ailleurs que les points QC D..M sont tous accessibles. — La méthode suivante est souvent bien préférable.