LIGNE DE RÉSISTANCE
sultantes successives par rapport à chaque joint ou lit correspondant (1, 2) (3, 4) (5, C) . . .(13,1 4) sont telles que chacune soit comprise en dedans du cône de résistance (page 378); en d’autres termes, le glissement sur un lit sera certain ou impossible, suivant que la direction de la résultante correspondante formera, à son point d’application, avec la normale au lit en ce point un angle plus grand ou plus petit que l’angle du frottement.
6. Les directions des résultantes consécutives au point de vue théorique ne sont donc pas moins importantes à considérer que la série de leurs points d’application. Or, imaginez ces directions prolongées jusqu’à ce qu’elles se coupent consécutivement deux à deux, il résultera de ces intersections successives une sorte de développée des directions A B C D E F G qui est précisément ce que M. Moseley appelle ligne de pression et que je proposerai d’appeler courbe des directions.
7. La ligne de pression ou la courbe des directions étant déterminable pour tous les cas de la pratique, par l’analyse ou la géométrie, peut être regardée comme connue; et dès lors, pour s’assurer que aucun glissement ne peut naître sur aucun lit, il suffira pour chaque lit (7, 8 par exemple) de mener une tangente d l) du point d’application d à la courbe des directions et de vérifier si cette tangente forme avec la normale au lit un angle plus petit que celui du frottement. S’il en est ainsi pour chacuu des lits, le glissement est impossible ; il est infaillible, au contraire, au lit même pour lequel l’angle en question serait plus grand que celui du frottement.
8. La condition générale de la stabilité d’une construction quelconque peut donc désormais se résumer ainsi :
1° La courbe des points d? application doit couper tous les joints à l’intérieur de la masse , sans en éviter aucun ;
2° Les tangentes menées des points d’application à la courbe des directions, doivent chacune former avec la normale au lit un angle plus petit que l’angle du frottement.
9. La considération des courbes qui viennent de nous occuper n’offre pas seulement l’avantage de fixer clairement et simplement les conditions de la stabilité d’une construction quelconque; elle éclaire en outre sur ce degré de stabilité en indiquant tous les points faibles qui sont évidemment les parties du périmètre dont la courbe des points d’application s’approchera h^plus, et les lits pour lesquels la tangente à la courbe des directions sera la plus 'uisine des limites du cône de résistance. Cette plus courte distance de la courbe des points d’application au périmètre du profil, prendra le nom de module de stabilité ; il est désigné par m dans toutes les applications que nous avons faites de celte ingénieuse et iropor-
lanfc théorie dont la priorité appartient sans contestation possible à M. Henry Moseley (*) (Voyez Murs, Revêtements, Poussée des terres , Voûtes).
LOGARITHMES. l.Napier, né en Ecosse en 1550, mort en (616, est l’inventeur dos logarithmes ces nombres artificiels, que l’on substitue aux nombres véritables, simplifient cl facilitent souvent les calculs à faire sur ceux-ci.
On peut concevoir une infinité de systèmes de logarithmes, mais deux surtout sont en usage, savoir : 1° Les logarithmes vulgaires, connus aussi sous le uom de logarithmes de Briggs, parce que ce savant en publia la première table (Londres, 1618); 2° Ceux dits napiêriens, hyperboliques ou naturels (année 1614).
2. Dans le système vulgaire (celui des tables de Collet, de Borda, de Lalande, de Plauzolles, etc.), le logarithme d’un nombre est ('exposant de la puissance à laquelle il faut élever dix pour obtenir ce nombre.
Dix est alors ce qu’on nomme la base des logarithmes vulgaires. Ainsi : le logarithme de 100 est 2, puisque l’on a 10! = 100
de même
log. de 1 = 0 à cause de
log. de 2 — 0.3013
j qG.8013
log. de 3 u= 0.4771212
j qO.477131?
i général, on a dans le système vulgaire
log. de y — x si
(*) C’esi à tort qu’un document officiel, le Rapport sur l’enseignement de l'École polytechnique, 1850, partage la priorité de celle théorie entre M. Henry Moseley et M. l’ingénieur des ponts et chaussées E. Mery. — l.e seul Mémoire de cet ingénieur qui ait pu fournir un prétexte à l’injuste association de noms que l’on remarque à la pag. 33! de ce document, n’a paru qu'eu 1810, dans les Annales des ponts et chaussées ; bien que signé à Dieppe, h la date du 27 février 1839, il est postérieur de six années au premier Mémoire de M. Moseley, qui date d’octobre 1833. — Il est encore postérieur au second Mémoire du même saTant sur le même sujet, qui date de mai 1837, Mémoires publiés l’un et l’autre dans les volumes 5 et 6 des Transactions philosophiques de Cambridge. — U est postérieur enfin à l’ouvrage élémentaire que M. 3Ioscley a public entre ces deux dates, sous le titre de Mechanics applied to the arts , et dans lequel il avait résumé son premier travail.
La question de priorité étaut formellement résolue par les dates qui précédent, je me hâte d’ajouter que la lecture du Mémoire de M. Méry prouverait, s'il en était besoin, qu'il n’a rien emprunté à sou devancier, et qu'il ne mérite, de la part des amis des sciences, que le reproche d’être arrivé six ans trop tard.
cl dans un système quelconque dont la base serait a au lieu de 10 !og. de y = x si a1 = y
8. En général, le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base du système pour reproduire ce nombre, et pourvu que ta base a ne soit pas un , il existe toujours un nombre x capable de satisfaire à l’équation fondamentale
quel que soit y.
4. L'emploi des logarithmes, quelle que soit leur base a , permet de ramener la multiplication à l’addition, la division à la soustraction, l’élévation aux puissances à une simple multiplication, Pexiraction des racines à la division. En effet
si a* = y , x est le logarithme de y , et si a1' = y' , x' est le logarithme de y' ; ces deux équations donnent, en les multipliant entre elles, a1 a1 = a,+1' = y y' et par conséquent x -f- x' — log. de y y'
quelle que soit la base a du système ; donc le logarithme (x -j- x') d’un produit y y' = la somme des logarithmes des facteurs. Donc aussi la multiplication se ramène à l’addition.
Exemple : Pour multiplier 48 par 166, j’ajoute les logarithmes vulgaires des deux facteurs ou 1.6812412 -f- 2.2201081 dont la somme = 3.90 1 3493 . C’est le logarithme du produit. On voit qu’il correspond dans les tables à 7968.000.
5. On n’indique dans les tables ordinaires que la partie fractionnaire des logarithmes, celle placée ici à la droite du point; la partie entière qu’on nomme la caractéristique a toujours autant d’unités qu’il y a de chiffres moins un dans la partie entière du nombre donné — réciproquement la caractéristique d’un logarithme donne étant augmentée de un, sera le nombre déchiffrés que devra avoir la partie entière du nombre auquel il correspond.
Ainsi 48 et 166 ont respectivement 1 et 2 pour leurs caractéristiques et la caractéristique 3 du logarithme de leur produit indique que ce produit doit avoir 3 -j- 1 chiffres avant le point.
Ceci est fondé sur ce que, dans le système des tables, tous les nombres compris entre 0 et 9 ou d’un chiffre ont 0 pour caractéristique, tous ceux compris entre 10 et 99 ou ceux de deux chiffres ont 1, tous ceux de trois chiffres ou compris entre 100 et 999 ont pour caractéristique 2, et ainsi de suite.
Réciproquement un logarithme dont la caractéristique est 5, cor-
rcspond nécessairement à un nombre qui a six chiffres à sa partie
entière, ou qui tombe entre 100000 et 999999.
6. Division par logarithmes. On tirerait par la division des équations fondamentales ( 4 ) la relation
— = a,-,' = — d’où log. de — = x — x'
donc le logarithme d’un quotient = le logarithme du dividende — le logarithme du diviseur.
De sorte que pour diviser 7336 par 56, il suffirait de retrancher
du log. de 7336 3.8654593
celui de 56 1.7481880
Le logarithme du quotient serait ainsi 2.1172713
Il correspond dans les tables au nombre 131
donc —131
7. Elévation aux puissances. De la relation a1 — y, on déduit (a')m = ym ou aun — ym d’où mx — log. de y™
Ainsi le logarithme de la m,emc puissance d’un nombre y =: in fois le logarithme x de ce nombre.
Pour élever 8 à la 4*"" puissance, il suffit donc de multiplier son logarithme 0.90309 par 4, ce qui donnera 3.61236 que l’on trouve dans les tables correspondre à 4096, quatrième puissance de 8. Si l’on eût demandé la 6 4*““ puissance de 2, on eût trouvé
log. 2st =64 log. 2 = 64 X 0.30103 = 19.26592 nombre qui correspond dans les tables ordinaires à 18 446 000 000 000 000 000
Eu faisant le calcul direct, on emploierait un temps considérable et l'on obtiendrait
