Deuxième méthode , dite des coordonnées (fig. 5, plan
che LXXXIV). On trace, à l’aide du panlomètrè, deux alignements perpendiculaires l’un à l’autre NAM , OA P, puis cheminant successivement sur ces deux directrices ou axes des coordonnées, on y fait mesurer les distances à l’intersection A des pieds k'e't'g'h'c’b'.... ket'gh... ch , des perpendiculaires K k’, Ee’, It'... Ce', B b'.... K A EeIt...CcB6 abaissées de chaque jalon K E l. . . CB du ter-
rain sur chacun des axes.
LEVÉS à Piquent. 1033
Il est évident que «es distances (K k,Kfc'), (II, I»').... déterminent la position de chaque point K, I. . . sur le plan, sans qu’il soit nécessaire de prendre aucune autre mesure en dehors des grands axes NAM, O AP.
Quant à la construction du plan sur le papier, elle s’opère trèsrapidement avec la règle et l’équerre comme la figure l’indique.
Ce procédé exige un peu de tact pour bien choisir les axes principaux et les diriger de manière qu on découvre facilement les objets qu’il s’agit d’y rattacher.
52. Emploi de l’équerre à réflexion. Un des inconvénients de l’équerre ordinaire et du pantomètre est d’obliger à des (étonnements pour trouver le point où la perpendiculaire abaissée de chaque signal vient couper les hases. — L’équerre à réflexion (pag. 976) remédie complètement à cet inconvénient, et rend ainsi fort expéditive la méthode précéJcntc qui convient particuliérement aiusi aux RECONNAISSANCES.
53. Le petit sextant de poche (pag. 975) remplacerait évidemment l’équerre à réflexion. Il suffirait pour obtenir les pieds des perpendiculaires de fixer l’alidade sur la division 90°, et d’employer alors le sextant comme l’équerre à miroir en cheminant le long des axes.
54. Problèmes divers. Quels que soient la méthode et l’instrument qu’on emploie, il arrive trop souvent que lu terrain est embarrassé d’obstacles qui gênent ou la vue ou le passage, et l’on ne peut alors obtenir directement toutes les données nécessaires pour calculer les triangles ; on a alors recours à des moyens indirects qui font l’objet des problèmes suivants :
55. Problème. Soient (fig. 6, plane he LXXXV ) D,C, B trois points en ligne droite, et M un quatrième point, d’où l’on a relevé les angles l) M G , CM B. On suppose connus DG et CB, et l’on demande de calculer les triangles DCM, CMB dans lesquels on no connaît dès lors que DC, G B et les angles qui sont opposés à ces côtés.
On imaginera une circonférence passant par les trois points DCM et une autre circonférence passant par les points CMB. On joindra leurs centres par une droite GO qui sera dès lors perpendiculaire à CM, et coupera celte, ligne en deux parties égales.
Si de G et de O on abaisse des perpendiculaires GII, 01 respectivement sur DC cl CB, puis, si des mêmes points on tire GD, GC, OC, O B, on aura DH = HC; Cl — IB; angles HGC = DMC; COI = CMB, et dès lors
rr — J!£ . or- C1
~ »i». DMC’ ^ «in. GMB
LEVÉS â iiquerre.
GCO = 180'— (GCH +OCI)
CGO -fCOG = 180° — GCO
La somme de ces angles el celle des côtés GC , OC qui leur sont opposés étant connues, on obtiendra leur différence ( Géom ., N. 1), ce qui donnera d’une part le plus grand angle CO G, de l'autre le . CGM
plus petit CG O = — g—.
Donc., on connaîtra dans le triangle CG M tout ce qu’il faut pour calculer CM, et ce côté une fois connu, on pourra calculer les triangles DMC, CMB dans lesquels on connaîtra deux côtés et un angle.
56. Autre problème ( fig . 7, planche LXXXV). On connaît les positions de B, E, D par les longueurs BE , BÜ et l’angle EBD, on demande de placer un troisième point intérieur C , d’où l’on a relevé les angles BCE, BCD opposés aux côtés connus.
Si une circonférence de centre K passait par les trois points B,C,E, et une autre de centre L passait par B, C, U, enfin si l’on avait en outre conduit des centres K, L les perpendiculaires RM P, LNQ, on aurait deux triangles isocèles BKE, BLD.
Daus le triangle rectangle KBM , on connaîtrait BM = \ BE , l’angle droit M . 1 angle B K M — 180° — BRB et BER — BCE, on aurait donc BR cl K B M.
Dans le triangle rectangle BLN, on connaîtrait l’angle droit N, l’angle BLN= 180° — BCÜelBN = ;BD, on en déduirait donc BL el LBN.
On a aussi
angle LBK = EBD -f RBM + LBN
et ces trois angles sont connus. Donc, dans le triangle L B R , on connaîtra les côtés BR, BL , et l’angle LBR qu’ils comprennent, on pourra donc calculer les angles BR L et B LR.
Alors on connaîtra dans le triangle isocèle BRC scs trois angles et deux côtés R B, RC, d’où l’on tirera BC.
Mais dans les triangles BCD,BCË on connaît maintenant un angle et deux côtés, on en déduirç donc CE et CD , cl môme ED, en remarquant que l’angle BRL = BEC.
On aurait pu calculer aussi BC et EC par le triangle BEC dans lequel on connaît deux angles et un côté, ce qui aurait déterminé doublement la position de C.
57. Enfin, s’il arrivait que dans un levé on eût à déterminer un triangle ABC (fig- 8, planche LXXXV), dont on ne pourrait mesurer directement qu’un angle B et un côté A B par exemple, cl cela par suite d’obstacles tels qu’un bois qui gène la vue, et d’un
LEVÉS de bâtiment*. 1033*
marais qui s’oppose au passage? voici comment on pourrait procéder.
Un mesurerait de G vers B la plus grande longueur possible CD ; on relèverait l’angle A D B— connaissant alors dans le triangle ADB, le côté AB et les angles D et B , on calculerait le côté DB qu’on ajouterait à C D , de sorte que l’on aurait G B , B A et l’angle B pour calculer le triangle ABC.
Si l’on ne pouvait mesurer dans la direction CB, on mesurerait dans une direction quelconque une droite CE — du point B, on relèverait les angles C B E, E B A ; puis, du point E , les angles A E B, A E C. Ces angles et le côté A B étant connus, on trouverait B E , qui conduirait à BC et, par suite, à AC.
On trouvera plusieurs autres problèmes usuels à l’article Reconnaissances INDUSTRIELLES.
58. Durée des travaux. On ne peut guère espérer passer plus de deux cents jours, année moyenne, sur le terrain en pays ordinaire. — Quant aux pays de hautes montagnes , ils ne sont praticables que pendant trois ou quatre mois de l’année, et plutôt vers l'automne que vers le printemps. Les levés dans ces pays sauvages exigent environ deux fois et demie plus de temps que les terrains ordinaires. La grandeur des échelles a d’ailleurs beaucoup d’influence sur la durée des levés. — On peut admettre qu’à l’échelle du dix millième un ingénieur parviendra à lever, dans une journée, savoir: en pays plat, découvert, à grandes cultures, habitations ramassées, 70 hectares ; — pays plat, boisé, habitations isolées, 55 hectares; — collines cultivées, peu boisées, habitations isolées, 50; — collines couvertes de bois et de haies, habitations isolées, 45 ; — montagnes du second ordre, avec habitations, peu boisées, 70 ; — hautes montagnes peu boisées, peu habitées, 130. A une échelle dix fois plus petite, soit le cent millième, on lèverait dans la journée une étendue des mômes terrains au moins dix fois plus graude. — Chaque jour employé à lever en terrain ordinaire exige ensuite un jour de travail au cabinet pour le dessin et les calculs. — Pour les levés en montagne, il faut deux jours de travail au cabinet pour un jour de travail sur le terrain. — Enfin on peut, en général, reconnaitre trois fois autant de terrain qu’on en pourrait lever dans le môme temps. (Voy. Reconnaissances et aussi Relief du terrain.)
59. Lf.vf.dk batiments. Le levé d’un bâti mon t(p/ancAcsLXXXVII et LXXXVIII) est une opération excessivement minutieuse, qui exige de grands soins, beaucoup de temps, beaucoup d’ordre et plus encore de patience. Voici sur ce sujet quelques conseils que j’emprunte, quant nu fond, à un excellent ouvrage, le Cours de construction (lithographié) de M. Ardant.
60. Reconnaissance. Avant toutes choses, l’ingénieur chargé du.
1036 LEVÉS de bâtiments.
levé d’un bâtiment devra en faire une reconnaissance générale et détaillée, afin de se former une idée claire de l’ensemble et des rapports des différentes parties entre elles. Lorsqu’il aura bien reconnu la situation du bâtiment et de ses abords, — son exposition, — sa forme extérieure, — les communications des divers étages, — la direction et la hauteur des murs de refends, — la direction des cheminées, — celle de tous les conduits et tuyaux de communication quelconques avec l’extérieur, lorsqu’il se sera assuré que les distributions des divers étages sont ou ne sont pas les mêmes, il procédera au
61. Croquis ou brouillon des plans, en commençant celui-ci par le rez dc-chausséc A ( planche LXXXVII), passant de là aux divers étages E, Ea. . . . E5 Ee, revenant à celui des caves F, et remontant de celui-ci au plan des greniers et faux greniers.
62. On est convenu de faire passer les sections horizontales qui coupent les divers étages, savoir :
Pour le rez-de-chaussée A et. les étages E, Ea. . . à 0m.10 audessus de la tablette des fenêtres;
Pour la cave à la naissance des voûtes ;
Pour le grenier à 0”.50 au-dessus de la sablière;
Pour le faux grenier (fij. 2, planche LXXXVII) h la surface de son plancher.
On projette sur ces plans en lignes pleines tous les ohjcts d'un même étage situés au-dessous du plan sécant, et en lignes ponctuées ceux qui sont au-dessus de lui; enfin, on couvre de hachures parallèles ou d’une teinte particulière les parties pleines qui se trouvent coupées par ce plan.
63. On laisse d’abord de côté, dans le levé de ces divers plans, tout ce qui est détail, et l’on y revient plus tard à l’aide de plans spéciaux, si cela est nécessaire. Cependant il faut marquer exactement sur le plan général le contour et la situation relative des ohjcts qu’on n’y projette pas, et par exemple dans un levé d’usine, il est nécessaire d’indiquer la place, soit de la machine à vapeur, soit des petites forges, soit des grands outils ou appareils, tels que les grues et les cubil lois dans les fonderies, les machines à percer, les tours, les alésoirs dans les ateliers de construction, etc., etc., en ayant soin d’écrire leurs noms dans le polygone que la projection de leur contour forme sur le plan de l’étage.
En général , il convient de projeter et de coter en même temps ; l’emploi du papier quadrillé est donc ici d’une grande assistance, puisqu’il conduit naturellement à faire sur le brouillon des figures qui s’accordent sensiblement avec les cotes, et par suite avec les objets eux-mêmes dont on saisit bien mieux les rapports.
Q\. Les instruments qu’on emploie sont : le fil à plomb pour pro-
LEVÉS de bâtiments. 1037
jeter les points inaccessibles ; le niveau du maçon ponr sc diriger bien horizontalement dans les mesures a prendre; le double décimètre pour prendre les petites cotes ; le mètre, le double mètre, et même le décamètre pour les autres.
65. Mesurage. En général, on ne doit dédoirc par le calcul, ou par des constructions, aucunes dimensions de celles que l’on a directement déterminées. — Toutes les longueurs doivent être mesurées avec le plus grand soin, et immédiatement portées sur le croquis. On commence par l’intérieur et l’on termine par le dehors; enfin on ne passe d’un étage à un autre que lorsque l’on a complètement terminé le premier, et d fortiori d une division d’un mémo étage à la suivante, qu’après avoir épuisé toute la série de mesures horizontales à y prendre. Bien plus, comme il faut sc réserver des moyens de vérification, on ne sc contente pas des mesures de détail de chacune des divisions; on ne prend même ces mesures de détail que lorsque l'on a déjà l'ensemble. C’est ainsi que dans chaque compartiment, chambre, atelier d’un même étage, lesquels ont presque sans exception des formes polygonales, on mesure d’abord, s’il est possible, toutes les diagonales, puis tous les côtés du périmètre. On reprend ensuite le détail de chacun de ces côtés, mesurant et cotant successivement la largeur des portes, de leurs espacements, celle des fenêtres, des trumeaux, l’épaisseur des murs par les ouvertures qui y sont pratiquées, les poutres, les solives des planchers, etc., etc. Un fait la somme des mesures partielles de chaque côté du polygone ; on la compare à la longueur totale, et s’il y a une différence, on recommence le mesurage jusqu’à ce que le tout soit égal à la somme des parties. — Il n’est pas toujours possible, dans les usines, de mesurer les diagonales, parce que le milieu des ateliers E, est embarrasse de machines; pour avoir les angles, on forme alors dans chaque encoignure de l’atelier un triangle bien horizontal, dont deux côtés s’appuient sur les murs adjacents, et l’on mesure exactement les trois côtés de ce triangle qui devra être le plus grand possible et se rapprocher de la forme isocèle.
Lorsqu’on aura ainsi obtenu les cotes horizontales à tous les étages; lorsque l’on connaîtra toutes les dimensions horizontales des murs de chacun d’eux, des piliers, des supports, des marches, des limons d’escalier, les emplacements des diverses machines, on passera, comme nous l’avons dit au
66. Plan des caves F. Toute la difficulté consiste ici à bien lier ce plan à celui du rez-de-chaussée ; ce qui se fait à l’aide de repères pris par les ouvertures des soupiraux ou par les escaliers. Si l’on n’apporlail pas un (rès-grand soin à celle opération, on courrait le risque de troubler la véritable relation de superposition
1038 LEVÉS de bâtiments.
enlrc les divisions des caves el celles des étages supérieurs. Du reste, on projette sur ce plan les soupiraux en pointillé s’ils sont audessus de la naissance des voûtes, et l’on y projette aussi par rabattement la courbe génératrice des berceaux.
67. Plan des greniers. Le plan des caves achevé, on passe à celui des greniers. 11 résulte de la convention faite sur la position du plan sécant, qu’on aura d’abord à représenter la partie du toit qui recouvre la corniche du bâtiment, puis l’intersection du lattis, des coyaux, chevrons. On représentera {fig. 3) en traits ponctués les grosses pièces de charpente. Comme une grande partie des pièces se présentent obliquement au plan de projection, on peut tracer avec de la craie leurs intersections avec ce plan; on projette cellesci sur le plancher à l’aide du fil à plomb, et on lève les figures qui résultent de ccs projections. Lorsqu’on a ainsi obtenu toutes les dimensions horizontales, on commence le levé des
68. Elévations (jig. 2, planche LXXXVIII), qu’on fait généralement avant celui des coupes, parce que les plans et les élévations réunies {fig. 2 el 3) fournissent ordinairement la plus grande partie des cotes nécessaires pour la construction des coupes.
Les plans sur lesquels on projette les élévations sont pris parallèlement aux faces des bâtiments, et assez éloignés pour ne'couper aucune de leurs parties saillantes. Si deux faces sont obliques l’une à l’autre, l’une d’elles fournit une projection oblique. On n’inscrit sur celle dernière que les cotes verticales et l’on conclut des dessins des plans les dimensions horizontales.
Pour faire le croquis des élévations, on reprend sur les plans horizontaux toutes les cotes qu’ils peuvent fournir, et l’on n’a guère à relever que des cotes verticales. — On représente sur les élévations (fig. 2, planche LXXXVIII) tous les détails d’architecture et de décoration ; mais on n’y figure point les ardoises ni les tuiles, la teinte qu’on donne à la toiture sur la mise au net suffisant pour indiquer le mode de couverture. La hauteur des combles se prend d’ailleurs par le dedans du bâtiment, et si quelques obstacles s’y opposent, on détermine cette hauteur par la géométrie.
69. Coupes (fig. i, planche LXXXVIII). Les coupes sont des sections par des plaus verticaux. On fait autant de coupes, soit dans un sens, soit dans le sens perpendiculaire, qu’on le juge nécessaire pour faire bien connaître le bâtiment. On projette sur ces coupes tous les objets situés entre le plan sécant et le mur le plus voisin au delà du plan, par rapport au spectateur; mais on n'y projette pas les objets situés en deçà de ce plan. On procède d’ailleurs dans le mêmmordre que pour les plans horizontaux, savoir: rezde-chaussée A, étages E, caves F, greniers.
Le meilleur moyen qu’on puisse employer pour obtenir une
LEVÉS de machines. 1039
coupe esl de tracer à la craie, sur les planchers, l’interscctiou du plan sécant, dont on choisit d’ailleurs la position avec intelligence. Celle interseclion étant tracée sur le plancher du rez-de-chaussée, par exemple, on trouve facilement, avec des fils à plomb, sa trace sur le plancher des étages, caves, etc., etc.
70. Le fruit des murs se mesure également avec le fil à plomb qu’on suspend à l’extrémité du mèlrc, celui-ci étant d’ailleurs dirigé bien perpendiculairement à la face.
71. Pour avoir l'épaisseur des planchers, on prend la hauteur exacte entre l’appui d’une croisée et le plafond, puis la hauteur do l’appui de la croisée supérieure au-dessus de son plancher. On en fait la somme S; on mesure ensuite, par le dehors, la distance des deux appuis, on en retranche S, et l’on a évidemment l’épaisseur cherchée.
II existe, du reste, une foule de moyens pour obtenir les cotes difficiles, que des ingénieurs sauront toujours créer au besoin, cl dont l'énumération serait déplacée dans un livre qui n’est guèro destiné qu’à eux seuls.
Toutes les cotes horizontales étant données par les plans, et les cotes verticales par les élévations et les coupes, on peut commencer
la
72. Mise au net, sur laquelle il n’y a d’autre avis à donner quo celui d’y disposer les étages dans leur ordre de superposition, les caves occupant dès lors le bas de la feuille et les greniers le haut; remarquant, cependant, que lorsque divers étages E2 E, ne diffèrent l’un de l’autre que dans quelques-unes de leurs parties, ce qui est le cas pour beaucoup d’usines, on s’arrange ( fig. 1 , planche LXXXVII) pour ne figurer que ces parties sur la mise au net. Enfin l’on donne quelques teintes (Yoy. dessin).
Si l’on croyait utile d’entrer dans des détails sur les assemblages des charpentes (fig. 3), sur les planchers (Jig. 2). sur l’appareillage, on le ferait à i'aido de levés et de plans spéciaux qui rentrent dans les levés de machines et appareils, qui vont encore nous arrêter un instant (*).
73. Le levé des machines et des appareils ne se fait pas autrement que le levé des bâtiments. C’est toujours par des croquis ou brouillons qu’on procède, croquis faits à main levée, et qui dès lors représentent tant bien que mal le plan, les coupes et l’élévation do l’objet à représenter, et sur lesquels on inscrit, à mesure qu’on les relève, les cotes qui permettront de faire ensuite la mise au net, c'est-à-dire le dessin à l’échelle.
(*) Observons ici que la charpente {fig. 3) et le grenier {fig. 2)- n'appartiennent pa* an bâtiment de la fig. lr".
1040 LEVÉS de machinée.
De môme que pour les bâtiment, on laisse d'abord de côté les petits détails auxquels on consacre plus tard des levés et des dessins spéciaux, dont l’échelle est ordinairement plus grande quo celle de l’ensemble. Cne sorte de reconnaissance générale doit encore précéder ici le levé qui exige, avant tout, que l’on comprenne clairement l’enchaînement des diverses pièces, leurs fonctions, leur jeu particulier, celui de la machine entière, en un mot le secret de sa vie.
74. Les instruments qu’on emploie sont aussi les mômes à peu près que pour les levés de bâtiments. Ce sont des fils à plomb, de longues règles de bois bien droites et non flexibles, le niveau du maçon et des mesures métriques de diverses grandeurs, auxquelles il convient d’ajouter un compas d’épaisseur et une sauterelle.
75. Il convient encore ici. pour ôlrc à peu près certain do ne rien omettre, de ne prendre d’abord que les mesures horizontales, de ne passer aux mesures verticales qu’après awiir épuisé les premières, et de suivre enfin, pour les croquis, le mémo ordre que pour les levés de bâtiments, savoir : 1° le plan, 2° l'élévation, 3° les coupes. Celle manière de procéder est d’autant plus naturelle ici que les coupes exigeront souvent le démontage de la machine ou de quelques-unes de ses parties. — Les croquis se font d’ailleurs au crayon , mais il importe de les passer à l’encre avant la mise au net, si l’on tient à les conserver, ce qui est une bonne et utile précaution.
76. Lorsque la machine lever ( planche XVI) se prêtera par sa forme à l’emploi de la perspective isométrique, on se trouvera bien d’employer ce mode de projection, que je me félicilo d’avoir le premier importé d’Angleterre cl qui, en abrégeant le travail, rendra souvent avec plus de clarté l’ensemble de la machine ou de l’appareil. On n’a pas besoin de s’astreindre ici plus rigoureusement que dans les croquis ordinaires aux lois de ce mode de représentation; la seule attention à avoir est de disposer les cotes en les couchant le long des seules lignes isométriques , ou le long de parallèles à ces lignes, ainsi qu’on le voit dans le croquis isométrique d’une roue de grosse forge catalane ( planche XVI). Quant à la mise au net de la machine, voyez Dessin (pag. 515J.
77. Levé des mines. Il n’est aucune espèce de levé où l’exactitude ait plus d’importance; aucune qui présente plus de difficultés, qui exige de l’ingénieur plus de temps, plus de soins, et qui lui impose plus de gène, plus de malaise, et parfois de souffrances. Cependant, si l’on s’était donné pour conditions de choisir dans le vaste arsenal de la science les instruments cl les méthodes les moins propres aux levés souterrains, d’employer ces instruments do manière à augmenter encore les effets de leurs imperfections originelles, de marcher lentement et toujours dans le vague, de ne recueillir enfio pour prix de longs et pénibles travaux qne l’incertitude et le doute sur la
LEVÉS de mi'nu. lOil
position d’un point ou sur une direction quelconque, on n’aurait rien trouvé de mieux que les instruments et les méthodes encore aujourd’hui en usage, savoir : la boussole suspendue pour obtenir les directions, le demi-cercle suspendu pour les pentes, et la boussole enchâssée pour rapporter sur le papier et accroître sur le plan les erreursdu levé. Il uc restait plus, pour augmenter la confusion, qu’à orienter la carte générale de la mine par rapport à ce plan borairement, quotidiennement et annuellement mobile pour chaque localité qu’on appelle le méridien magnétique, et l’on n’y manque jamais !
78. Je n’ai rien à dire ici de pareils instruments ni de telles méthodes , si ce n’est qu’ils doivent être absolument proscrits , et que les trop nombreux plans qu’ils ont fournis ne peuvent être considérés que comme des plans de reconnaissance bons à diriger les pas de l'ingénieur dans le dédale des puits et des galeries, mais ne méritant aucune foi en tant qu’il les prendrait pour guides dans scs travaux d’exploitation proprement dits.
79. Les levés souterrains, sauf les modifications qu’apportent l’obscurité, la sinuosité, le défaut de hauteur ou de largeur des galeries et l’eau qui descend de leur ciel, peuvent et doivent être tous exécutés par les méthodes rigoureuses et les instruments précis que l’on emploie au jour pour obtenir les plans et les reliefs les plu* exacts (*). Ainsi, les positions des points principaux et les directions capitales de chaque étage de la mine devront être rigoureusement déterminées par,leurs ordonnées, par rapport à trois plans rectangulaires fixes: l’un horirontal, les deux autres verticaux, so coupant tous trois en un point convenablement choisi. Malgré les recommandations contraires, il n’est nullement nécessaire, et il est souvent fort incommode que l'un de ces plans verticaux soit le méridien vrai du lieu, mais il est indispensable que ce plan que l’on peut prendre parallèle à la direction générale de la couche ait son azimut , par rapport au méridien vrai, parfaitement déterminé. Cette première opération exigera le tracé exact d’une héridiensb à la superficie ; à l’intérieur, des levés tout à fait analogues à ceux qui nous ont occupé (1); des ixivellemenis,' enfin le rapport sur le papier et à la plus grande échelle possible du résultat des données fournies par les opérations précédentes et par le calcul.
80. Quant aux signaux à l’intérieur, je ne conçois jusqu’ici rien
(*) Comment, dans un ouvrage spécial sur l’exploitation des mines, rédigé par un homme de talent, rencontre-t-on des assertions pareilles à celle-ci?
« Pour orienter d’une manière certaine des travaux qui ne communiquent « au jour que par des galeries sinueuses ou par des poils, il faut absolument • «voir recours à la bomiolê. »
1043 LEVÉS d • minet.
«le plus commode que des sures (p. 961), ne différant des mires ordinaires que en ce qu’elles sont plus courtes et que, à la place du vouant, elles portent une lanterne à réflecteur, glissant comme lui le long de la tige, éclairée d'ailleurs par une forte bougie poussée elle-même par un ressort à boudin, appareil dont les lanternes des voilures bourgeoises donneront, au reste, une très-juste idée. Ces mires ii voyant lumineux et mobile, ne sont pas seulement trèspropres à servir de signaux pour obtenir les directions, elles donnent en outre du même coup et de la même station les cotes de niveau. Il
suffit pour cela d’employer concurremment avec deux de ces mires
un niveau à bulle d’air et à lunette (p.96i), portant un limbe horizontal divise, muni de son vernier et éclairé lui-même par un petit réflecteur projetant sa lumière sur le limbe. Avec ces conditions on obtient, comme au jour, cl 5 la fois, les angles de direction à une minute prés, réduits à l’horizon, et les cotes de niveau fort exactement.
81. Les mineurs verront que j’exclus ainsi les angles de pente que donne, à l’aide d'un second limbe, le théodolite souterrain du savant M. Combes (*); c’est que, en effet, ces inclinaisons ne sont qu’un des cléments à l’aide desquels on calcule (**) des cotes de niveau que l’on obtient ici directement cl plus exactement. — C’est que les mires dispensent entièrement de prendre note des pentes M et D montantes et descendantes. — C’est qu’elles dispensent surtout de l’emploi des trois pieds exactement pareils qu’exige l’usage du théodolite souterrain et qui sont, dans toute mine, un attirail fort embarrassant.
82. Les points principaux cl les directions capitales de la mine ainsi fixés, on pourra les relier par des levés de détails à l’aide des mêmes instruments, ou de tous autres que ces levés comportent, la boussole exceptée. Je me suis assez étendu sur les levés d’ensemble et de détail faits au jour pour n’avoir plus h montrer comment les mêmes méthodes peuvent maintenant recevoir ici leur application. On trouvera, au reste, aux mots Nivellement et Relief du terrain, le complément que ces méthodes pourraient exiger.
fruité rie l'exploitation des minet, parM. Ch. Combes, t. III, p. /I9.
PM De plus c’est à lorl que l’on recommande ici l’emploi des logarithmes mi aloncc au’ lieu d’abréger les calculs de ce genre, l.a projccliou d’une „ne celle d’une force dans la mécanique, s’oblicnt bien plus rapidement et h ’ , ...nthKluni nnîtn limu» nar rnainus naturel de
qui
ligne. CCMC U line iniiai; UÜII5 |« ** ,T , * * . .
toujours assez exactement en mullinlant celle ligne par le ciisimis naturel de son inclinaison avec trois, quatre décimales au plus. Mais le sentiment des besoins de la pratique qui, depuis un demi-siccle, manque a notre enseignement manque aussi dans nos livres, et l’on en a vu disparaître les tables des iicnes naturelles qu’il m’a fallu aller rechercher dans des publications antérieures à la Révolution française, pour pouvoir les reproduire pag. 892.
LEVIERS (planche LXXXIX). 1. Dans la pratique, le levier est, un outil consistant en une barre rigide portant, par un de scs points, sur un appui fixe à l’aide duquel les manœuvres parviennent à déplacer de très-grands fardeaux do quantités très-petites par leurs seuls efforts musculaires ou par leur poids.
La théorie, de son côté, a distingué les leviers en trois genres, savoir : t'r genre, ceux P, A, Q, dans lesquels l’appui fixe A est placé entre la puissance motrice P et la résistance h vaincre Q; 2e genre, P, Q, A, dans lesquels la résistance Q agit entre la puissance cl l’appui; 3' genre enfin, ou Q, P, A, dans lesquels la puissance agit entre la résistance cl l’appui. — La balance est donc un levier du premier genre; la rame et la brouette peuvent être considérées comme des leviers du second genre; la pédale du remouleur, celle du pianiste sont des leviers du troisième genre. Au reste, les conditions d’équilibre de cet organe sont , pour tous les genres et toutes les formes, comprises dans les lois suivantes :
2. Conditions d’équilibre. Pour l’équilibre du levier, droit ou angulaire, autour de son appui, quel que soit le nombre des forces qui lui sont appliquées, et abstraction faite d’abord de son poids propre, il est nécessaire, et il suffit : 1° que toutes ces forces agissent dans un plan perpendiculaire à l’aréte d’appui; 2“ que leurs moments par rapport à celte arête (pag. 702) forment une somme égale à zéro, en comptant comme positifs les moments qui tendraient à faire tourner le levier dans un sens, et comme négatifs ceux qui tendraient à le faire tourner en sens contraire.
La pression sur l’arête d’appui est exactement celle qui aurait lieu si toutes les forces actives du système étaient transportées sur cette arête parallèlement à elles-mêmes, sans changer ni de grandeur ni de sens.
Donc, jl est encore nécessaire pour assurer la fixité de tout le système que la direction de celle résultante N de toutes les forces transportées forme, avec la normale à la surface sur laquelle repose l’arête d’appui, un angle plus petit que l’angle du frottement de cette surface et de celle arête.
Lorsqu’il importe de tenir compte du poids propre du levier dans les problèmes d’équilibre statique, on introduit ce poids et son momeut dans les équations, en le considérant comme une force verticale appliquée au centre de gravité du levier.
3. Pour le cas de deux forces P, Q, tendant à faire tourner un levier en sens contraire autour de l’arête d’appui , p q étant les perpendiculaires respectives menées de celle arête aux directions des forces, la condition d’équilibre, abstraction faite du poids du levier, serait donc
Pp = Qç
et l’un aurait pour la charge N sur l'appui
N = V 1*« -j- QJ + 2 1*Q co.«.»
* étant l’angle compris entre les directions des deux forces P, Q.
4. Si la direction de celle résultante N était telle qu’elle formât avec la normale, à la surface d'appui, un angle 0 plus grand que l’angle tp du frottement entre celle surface et l’aréte, la condition de l’égalitc des moments assurerait bien encore l'équilibre entre les forces P, Q autour de celte arête, mais le système entier du levier serait entraîné sur le plan d'appui par une force
F = N (sin. h — lang. «p cos. 0)
à moins qu’un obstacle capable d'une résistance ( — F) ne s'opposât directement à ce mouvement d’ensemble.
5. L’équation d’équilibre statique Vp = Qq aurait encore lieu, abstraction faite de la masse du levier, si celui-ci, au lieu d'élrc en repos, tournait autour de son arête d’appui supposée fixe, dx étant alors l’arc inliniment petit, décrit du rayon 1 dans l’instant dt autour de cette arête, on aurait, en multipliant les deux membres de l’équation ci-dessus par dx
Vpdx — Q qd x
Or pdx, qdx sont évidemment les chemins élémentaires que les
Ïioints d’application des forces PQ décrivent respectivement dans es directions propres de ces forces; donc, dans le levier comme dans toutes les autres machines inventées ou même imaginables, le travail de la résistance n’est égal au travail de la puissance qu’à la condition de faire abstraction des frottements cl des autres résistances passives.
6. Le frottement de l’arête vive d’un levier sur la surface d’appui est toujours négligeable; mais il n’en serait pas de même si le levier tournait autour d'un axe cy lindrique ou tourillon. Ce cas assez compliqué, où l’axe de rotation ne se confond plus avec l’arêle d’appui, ayant été longuement développé pag. 99 de l’article Axes, je n’y reviendrai pas ici.
7. Deux leviers; balance de Roberval. On attribue à Robert a! (1670) l’invention d’un système de leviers, de forme variable, ayant deux appuis fixes et présentant par cela même un cas particulier d’équilibre que l’on appelait autrefois paradoxal (fig. i ,planckeLXWl\) .
Ce système se réduit en principe à deux leviers A B , ab, égaux , parallèles, pouvant tourner librement autour de leurs milieux C , c situés sur une même verticale, et reliés entre eux par deux tiges BA À« égales cl par conséquent parallèles, articulées avec les deux leviers en A, B, a, b. Ces deux tiges portent deux autres tiges ou barres de suspension EM, R'M1 invariablement encastrées en
leurs milieux K, R' et sur lesquelles on attache deux poids égaux
La singularité apparente de la machine consiste en ce que, dans toutes les positions du parallélogramme articulé A Bai, ces poids égaux se font toujours équilibre, quelque inégales que puissent être les distances KM, K'M' de leurs points d'application respectifs aux encastrements K, K'.
8. La théorie des couples ou le mode de raisonnement du § 58 do l’article? Equilibre, (pag. 706), explique très-simplement cet effet. Appliquez en K deux forces opposées, chacune égale à P, et qui se faisant ainsi équilibre ne changeront rien à l’étal de la machine. Vous aurez ainsi une force verticale P, qui tendra à faire descendre B6 , plus un moment ou couple = P X RM qui tendra à faire tourner cette tige. Tournez le couple dans son plan jusqu’à ce que son bras coïncide avec mn plus courte distance des leviers AB, ai dans la position qu’ils occupent. Changez ce dernier couple en un couple
py j(M
équivalent P' X m n = P X RM d’où P' =■ — . Opérez
d’une manière analogue pour la force Q, ce qui donnera une force verticale Q appliquée en K' cl un couple Q' X mn = Q X M'Kr agissant en sens contraire du précédent. Ces deux couples tireront le point fixe C dans le sens cl la direction C B avec uu effort
p, q, PXKM-QXM'K' mn
et le point fixe c avec un effort égal parallèle, mais dirigé en sens contraire, de sorte que, au fond, tout le système se résume, savoir : 1° en un couple P X RM. — Q X K'M' appliqué à la droite Ce qui joint les points fixes et tend ainsi à renverser toute la machine vers le côté droit; 2* en deux forces verticales égales P = Q qui, agissant sur des bras de levier égaux, se font naturellement équilibre, et pressent sur les appuis fixes Ce avec un effort (P-}- Q) = leur somme.
9. On remarque que t’équilibre aurait encore lieu quand bien même les points d’encastrement K, K’ seraient placés en des points quelconques de A a et de B b, et enfin que, quelque mouvement qu’on imprime au parallélogramme articulé, le travail de P est non-seulement égal mais identique à celui de Q, les efforts et les chemins parcourus étant respectivement les mêmes de part et d’autre.
10. Celte remarque a échappé à l’auteur d’un projet de mouvement perpétuel déposé au Conservatoire des arts et métiers, et dont la figure 3, planche LXXXIX indique le faux principe. Une chaîne sans fin passant sur deux poulies mobiles autour de leurs axes fixes-
porte de petites masses que la rotation éloigne de la chaine, lorsqu’elles passent à droite et rapproche de cette chaine, lorsqu’elles montent à gauche. Les moments de droite par rapport à la chaine étant plus grands que les moments de gauche, de mémo que dans les balances des figures 1 et 2 , l’auteur a espéré obtenir ainsi un mouvement de rotation perpétuelle. — Cette rotation n’ayant pas eu lieu, il a sagement et naïvement pris le parti de fixer à la poulie supérieure une manivelle qu’on tourne à la main.
11. On voit (fig. 2, planche LXXXIX) une autre application, utile cette fois, du système de leviers de Robcrval. C’est une balance à suspension inférieure aux plateaux, d’un emploi assez répandu parmi les petits débitants. Ces plateaux toujours horizontaux , restent en équilibre lorsqu’ils sont chargés de poids égaux P== Q , à quelque distance des tiges verticales de support A a B6 que soient placés ces poids égaux.
12. Théorie des quatre leviers (fig. 4, planche LXXXIX). Je ne crois pas pouvoir me dispenser de résumer ici celle théorie qui a longtemps servi cl sert peut-être encore de base dans les questions de stabilité des voûtes, bien que je n’en aie fait aucun usage dans ce livre.
Des expériences faites avec beaucoup do soin par M. Boistard(*) et dont on a (ire des conclusions peut-être trop absolues, semblent avoir montré :
1° Que la rupture des voûtes en berceau se fait toujours par des mouvements de rotation autour des arêtes b, d, a , d',b' des parties rompues cl jamais par un glissement sur les joints;
2" Que, dans un étal infiniment voisin de Icquilibrc, la voûte ne se rompt en général qu’en cinq points, savoir ; à la clef, en deux points intermédiaires entre la clef et les naissances, aux deux joints des naissances s'il n’y a pasde pieds-droits, ou aux bases de ces piedsdroits s’ils existent ;
3° Si l’clforl de la partie supérieure l’emporte sur celui des parties inferieures, le joint de la clef et les joints des naissances s’ouvrent à l’intrados, tandis que les joints intermédiaires s’ouvrent à l’extrados, et la partie supérieure descend; c’est le cas représenté dans la figure. Lorsqu’au contraire les parties inférieures l’emportent sur la partie supérieure , l’ouverture des joints se fait, pour tous, en sens contraire, et la partio supérieure se soulève.
13. On a été ainsi conduit à considérer les quatre parties dans lesquelles la voûte se rompt dans les deux cas, comme quatre leviers articulés bouta bout bd, da , ad' , d' b' chargés chacun du poids de la partie de voûte qui lui correspond; ces poids agissant aux
(*) 2* cahier des Mémoires extraits de la bibliothèque des Pontsel Chaussées.
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points O, I, O’, I', où les leviers sont coupés par les verticales ^P, GQ qui tombent des centres de gravité g G des voussoirs. Les points b b' sont d'ailleurs supposés fiscs.
Q, P étant les poids respectifs des voussoirs inférieur et supérieur, <p, <f', x, x', y, y' les quantités que la figure indique suffisamment, on obtiendra comme suit les relations qui doivent exister entre les forces du système pour qu’il reste en équilibre.
14. Considérons d’abord isolément le levier b d; la charge Q qu’il supporte peut être décomposée en deux autres charges verticales, savoir :
charge en b — Q -, charge en d =z Q
la charge P en I du levier da donnerait de même
O P (iC — — o)
charge cd a — P charge en d = — -
le point a supporte d’ailleurs une autro charge verticale — - de la
part du levier ad', de sorte que l’on a
ÎP«
charge verticale totale en a =
décomposant celle charge verticale suivant les directions ad, ad! , elle donnera des composantes égales, soit l’une suivant ad
P <f> 1/ ir * — (— y* x y
Cette dernière peut être ceusée appliquée en d, où elle donnerait :
Pç
1° Une composante verticale — qui lire le point d suivant dT;
Po
2' Une composante horizontale — qui pousse le point d suivant dV j
Ce point d se trouve ainsi sollicité par trois forces verticales
qui tendent à le faire tourner en dedans, et par la force horizon-
taie — qui tend à le renverser en dehors. y
Le moment des premières est
celai de la force horizontale est
donc, le point b étant supposé ments soient égaux ou
fixe, l’équilibre exige que ces mo-
Désignant par a et j3 les angles d’inclinaison db C, adl au-dessus de l’horizontale des leviers inférieurs et supérieurs, l’équation cidessus prendrait la ferme
tang. « (Qsp' -j- Pa') x
lang. p P ÿ a:'
15. Si les leviers de section uniforme avaient chacun leur centre de gravité situé au milieu de leur longueur, il viendrait
tang.p ~ ’ P
de sorte que, si les quatre leviers étaient en tout égaux, on aurait simplement pour la condition de l’équilibre
tang. a = 3 lang . [i
Ainsi les points bb' étant fixes, le système des leviers égaux serait en équilibre , si la tangente de l’angle a était égale à trois fois la tangente de l’angle {3.
16. Le tracé suivant satisfait à cette condition. Soient (fig . 5) B B' les points fixes et A le sommet, points dont la position est donnée. Faites passer une circonférence par ces trois points. Elevez sur le milieu de la corde la perpendiculaire HA; — par E, milieu de 1IB , élevez la perpendiculaire EF ; — lirez BF ; ■ — portez de A vers G une corde AG = BF qui coupera la première en G. — B C , C A sont les leviers cherchés, situés dans la position demandée, car B'F étant parallèle à AG', on a
FE = BE tang.FBE = B'E tang. FB' E et
lang. F B F, B' E 3
tang. F B'E ÏÏ1T ï
Je crois que les charpentiers emploient un tracé de mansarde à peu près semblable.
LIBAGE. — LIGNES. ,0l9
LIRAGE. Pierre noyée dans l’épaisseur d’un mur. et nui n étant pas visible, n’a pas besoin de parement. On appelle surtout hbages les gros moellons qu’on emploie aux fondations.
LIGNE de partage des eaux. C’est la crête mémo des bxssixselle est a,nsi nommée parce que les eaux qui tombent ou jaillissent
nos s ? 'frC V 5iviSCnt C‘ r0Ulcnl Sur les Pcn,es dcs bassins opposes. Il est facile de tracer sur une carte, du moins par approxi-
maUon les l.gnes de partage ou les crêtes des bassins; il suffit pour cela de faire passer le crayon entre toutes les sources ou naissances des cours d eaux naturels, sans les couper jamais.
de P'f 9rande pente. La ligne de plus grande pente est celle dont un élément quelconque a une pente plus forte que l’élément correspondant de toute autre ligne qui aurait un point commun avec le premier élément. Lorsqu’un plan est incliné à l’horizon, les lignes de plus grande pente sont des droites perpendiculaires à toutes les horizontales menées dans ce plan ' *
J* de P'u? f andc PCIîte n'est point, en général, la trajectoire d un point matériel qui serait mu sur une surface courb0J par la seule action de la pesanteur. Un tel point ne s’y trouverait nu’-rn
" d"“- 4 mt,ins * iras» a
LIGNE DE RÉSISTANCE ; LIGNES DE PRESSION ; 1 Expressions par lesquelles M. il. Moseley a désigné deux lignes im-
|Pr?w.n? T !f s^ult’ considération desquelles il a fondé une théorie très generale de la stabilité des constructions, que nous avons ré
ductiou O enl,Ùre, Cl d0Dt lG préSen‘ ar‘icle une simPlc 'nlr°-
2 Une construction quelle qu’en soit la nature : mur, voûte revêtement etc., dont les matériaux sont d’abord supposés capab| ? r? réS'S Cl[ Par.tout à l’écrasement, conservera évidemment^ !w é/o°U-S lcS cha,rgos habituelles auxquelles elle est soumise savoir . t si aucune de ses parties ne peut glisser sur aucun de ses
d}LTS°rllc ” ”UCU"C dC “ par'iC5 DC f'ul '»"™“ aaiour
Lors donc que l’application des forces agissant sur la construction, lorsque la forme de celle-ci aura été réglée de telle cortc nue ce glissement et cette rotation auront été à la fois rendus partout impossibles, la construction sera stable. partout
3. Ligne de résistance. Soit (fig. G, planche LXXX1X) M NL K une construction quelconque ou plutôt un amas de pierres empi-
j 05o LIGNE DE RÉSISTANCE
lécs et sans ciment, de formes et dimensions quelconques, et soumises d'ailleurs à des efforts dirigés comme on voudra, pourvu qu ils soient connus tant en direction qu’on intensité. Concevons celte masse coupée par un plan quelconque (1, 2) et déterminons la résultante a A de tous les efforts qui agissent sur la partie M N i 2. Ou celte résultante a A coupera le joint (1,2) en dedans de a construction, en « par exemple; ou, au contraire, elle en coupera c prolongement en dehors de scs limites, soit en a , soit en a Dans le premier cas, la masse M N 1 2 n’éprouvera évidemment aucune rotation Dans le second cas, elle tournera infailliblement autour de l’arétc 2 ou autour de l’arétc 1 , suivant que le prolongement du joint (1,2) sera coupé par la résultante en a' vers 1 intrados, ou en a" vers l’extrados, quelle que soit d’ailleurs la direction de celle-ci.
Cela posé, transportons le plan sécant, jusqu’à ce qu’il coïncide avec le joint suivant (3, 4). Cherchons la résultante de a A et de toutes les autres forces qui agissent sur la masse (t, 2. 3, 4). boit j B la direction de cette seconde résultante et b le point ou elle coupe le joint (3, 4) ou son prolongement extérieur. De même que ci-dessus la masse supérieure M N 3 4 tournera s. le point d intersection h de b B, coupe le prolongement du joint (3, 4) en dehors delà construction; au contraire, elle ne tournera pas si, comme dans la figure, l’intersection b a lieu en dedans.
Continuant ainsi à transporter le plan sécant de joint en joint;— Combinant la dernière résultante obtenue ( f F, je suppose) avec celle de toutes les autres forces qui agissent sur la masse immédiatement inférieure (11, 12, 13, 14), on obtiendra toute la sene des intersections a, b, c, d, e, f, g, h des résultantes successives avec les joints correspondants. C’est précisément celte sene de points a, b, c d c f q,h que M. Moseley appelle ligne de résistance, et que je proposerai d’appeler ligne ou courbe des points d'application.
4 Celte ligne ainsi définie et que le calcul permet d’ailleurs de déterminer complètement, on voit clairement que :
La stabilité d’une construction quelconque est assurée , quant à la rotation, lorsque la courbe des points d'application coupe tous les joints en dedans de la masse , sans en éviter aucun.
Au contraire, la construction serait infailliblement renversée, si la courbe des points d’application sortait du massif, — et c renversement aurait lieu par rotation sur 1 arête du joint dont le prolongement extérieur serait coupé par cette ccJtrbe.
5 Ligne de pression. Mais il ne suffit pas pour la stabilité que la courbe des points d’application coupe intérieurement tous les joints de la construction , il faut en outre que aucune partie do la masse ne puisse glisser. Or, il est évident que cette deuxième condition sera satisfaite si les directions a A, b B, c C ... g G des ré-
