LOIS des mouvements

L’ascension ne s’opère pas d’un mouvement uniforme , — car les différences (on, — on,), (on3 — enj , (on, — on,) , (on5 — on,) île deux ordonnées successives 1,0,, t2e2, t3?3> f4c4, fses sonl inégales ;

Ce mouvement d'ascension est retard t! , car les différences cidessus vont toujours en diminuant pour des durées égales;

Le mouvement de descente, au contraire, est accéléré, car les espaces n5n s,n5n7, n, o verticalement parcourus par le style pendant les durées égales f5f8 = tst1 = t,tt — J seconde augmentent de plus en plus.

Les vitesses diminuent donc sans cesse pendant la montée, elles augmentent pendant la descente.

3. Veut-on la valeur absolue de la vitesse à on instant quelconque, après ot, par exemple? Le style étant alors nécessairement en e, , menez par ce point une tangente indéfinie à la courbe, et une parallèle c,a à l’axe des temps; portez sur cette parallèle une longueur e,a égale à celle ot2 qui représente une seconde; par le point a, élevez une perpendiculaire limitée par la tangente e, g, , celle perpendiculaire as, est la vitesse v, du style, lorsqu’il est parvenu en e, , car on a évidemment (pag. 777)

de, \ dt \ \z,a \ 1 seconde ( * v, 1* ou e,

On obtiendrait par la même méthode la vitesse en tout autre point, et l’on remarque que cette vitesse serait nulle aux points où, comme e5, la tangente deviendrait parallèle à l’axe des temps; elle serait excessivement grande, au contraire, si la tangente à la courbe s’approchait de la perpendiculaire à ce même axe.

Nous voyons encore que le mouvement de la pièce est non-seulement alternatif, mais qu’il est de plus intermittent , — car le style se maintient à la fin de chaque période sur l’axe des temps pendant une durée t,o ou fsT égale une demi-seconde environ.

L’axe des temps présente, il est vrai, dans ces parties, un feston qui prouve que le style ne s’est pas rigoureusement maintenu sur cet axe pendant 1’inlcrmillcncc. Mais ce feston est lui-même l’indice certain d’une vibration , très-probablement due à un choc éprouvé par la pièce à la tin de chaque course. On distingue même vers l’origine de la courbe un tremblottemenl analogue qui indiquerait un nouveau choc au départ. Bien plus, si l’axe des temps était assez allongé, c’est-à-dire si le mouvemont du carton qui porte la courbe avait été assez rapide, ces dentelures seraient tellement distinctes qu’il deviendrait facile de compter le nombre des vibrations, de mesurer même l’amplitude des plus apparentes, et d’obtenir ainsi sur les circonstances les plus délicates du mouvement des notions

LOIS des mouvements.

claires, certaines, visibles, que le calcul seul laisserait à peine soupçonner.

Veut-on enfin la vitesse vs due au choc final? On mènera, comme ci-dessus, une tangente à la courbe en r8 ; puis on prendra sur l’axe des temps la longueur f, f6 correspondante à une seconde, la perpendiculaire le?8 sera fa valeur de ty

i. Mais on peut au reste obtenir la loi des vitesses de la pièce à chaque instant : après avoir déterminé comme on vient de le faire la vitesse en un certain nombre de points o eleieseteie6e1ta, on portera ( fig . 2) toutes ces vitesses comme ordonnées sur l’axe des temps pris pour axe des abscisses, et faisant passer par les extrémités (le ces ordonnées une courbe v0 vs vs , cette courbe sera l’expression, la représentation de la loi qui lie aux temps écoulés, non plus les espaces parcourus, mais les vitesses acquises à la fin de chacun d’eux, courbe dont la discussion fournirait encore de nou vclles lumières sur le mouvement de la pièce AU.

5. El d’abord, si les espaces parcourus entre deux époques quelconques, t2t3 par exemple, ne nous avaient pas été directement donnés par (i3c3 — t7e, j) fig. 1, nous pourrions les déduire indirectement de la courbe des vitesses, fig. 2. Remarquons en effet que, dans un mouvement quelconque (pag. 786) l’élément do chemin parcouru de est le rectangle de l’élément du temps dt par la vitesse t> du mobile pendant cet instant; doue aussi la somme des éléments

de chemin ou le chemin total e est la somme J' des rectangles

j de — e — J vdl

va-

riables vdt

d e = » dt ;

Pour trouver cette somme, imaginons par chacun des éléments égaux dt de la ligne t3 ts une ordonnée, elle sera la vitesse v corres pondante à cet élément; le produit de cille ordonnée par dt sera le rectangle élémentaire vdt-, et chacun des points de t2t3 donnant un rectangle analogue, la somme de tous ces rectangles ou

J vdt couvrira le trapèze mixliligne f2/3e3 t>2, dont faire exprimera dès lors le chemin parcouru par la tige entre les époques et f3, à la condition de prendre ici pour unité de chemin parcouru le produit des lignes qui, dans la figure, représentent l’une, la seconde, l’autre le mitre. C’est en ce sens seulement qu’il peut être permis de dire que l’aire comprise entre la courbe des vitesses l’axe des temps et deux ordonnées quelconques exprime le chemin parcouru par le mobile entre les époques indiquées par les pieds de ces ordonnées. 11 est évident d’ailleurs qu’on ne doit calculer ainsi les chemins

1004 LOIS des mouvements.

parcourus qu’autanl que l’on n’aurait pas la courbe (fig. 1) qui lie les temps aux espaces, puisqu’elle donne directement ces espaces.

6. Mais la courbe des vitesses (fig. 2) a, sur la première, cet avantage qu’elle peut servir à déterminer à chaque instant les accélérations ^ (pag. 780), on le rapport ~ F des forces F qui agissent

dans la direction de la pièce, à la masse — de cette pièce; de sorte

que, si le poids P de AB était connu, l’eiïort moteur variable F pourrait être évalué pour chaque instant du mouvement par la construction suivante :

Supposons qu’il s’agisse d’évaluer cet effort F„ ou l’accélération <p6, lorsqu’après le temps ot6 la pièce possède la vitesse t's. Par le point e6, menez une tangente v6z à la courbe, puis une parallèle à l’axe des temps; prenez sur celte parallèle une longueur v^a égale à celle qui représente une seconde. Para, élevez une perpendiculaire az limitée à la tangente v6z , vous aurez

a z — ; t* ; ‘ dvs ; dt ;

<lv, F,

On pourrait obtenir de même les efforts F0, F,, F2, F, . . . . correspondants aux durées écoulées o, ott , ot2, ot3 ou aux chemins parcourus o, on, , n(n4, n2n}, et prenant la série de ces espaces pour abscisses et les efforts correspondants pour ordonnées, on formerait une troisième courbe, dont la quadrature entre deuxordon-

nées quelconques, ferait connaître le travail J Fdc développé sur

la pièce AB entre deux instants quelconques; maison conçoit que, de traces en tracés, les résultats deviendraient d'autant plus incertains qu’on s’éloignerait plus des données primitives. Il convient donc de revenir à la méthode expérimentale, et de lui demander directement la courbe ou la loi du travail. Voici le priucipe des ingénieux appareils qui la fournissent, principe suggéré par M. Poncelet , et dont M. Morin a tiré la série des dynanomèlres qui, par ses soins, enrichissent chaque année le domaine de l'art d’une foule de données aussi pratiquement exactes qu elles sont précieuses.

7. Soient ( fig . 3, planche XC) ab, cd deux lames d’acier en tout égales, réunies par deux autres pièces ac,bd avec lesquelles elles sont articulées à leurs extrémités a, b, c, d. Imaginez que, par un moyen quelconque, on ail attaché à la lame cd un crayon o et un crayon semblable ti la lame ab , crayons dont les deux pointes seraient Irôs-rapprochécs et placées toutes deux sur une même

LOIS de» mouvement». 1065

droite parallèle aux laines. Ces deux crayons traceraient évidemment une seule et même droite E o sur un papier MN qui passerait au-dessous d’eux de o vers E parallèlement à la direction des lames.

Supposons maintenant que l’anneau R étant attaché à un point fixe , on exerce sur l’anneau F à l’aide de poids exacts des efforts successivement égaux ii I, 2, 3, 4. . . . k kilog. Les lames, en fléchissant (fig. 4), écarteront les crayons de quantités successives /j ft f3 . . . / qui croîtront en général un peu plus rapidement que ces poids. Cependant, si les dimensions des lames ont été réglées de telle sorte que les efforts auxquels elles doivent être soumises ne leur donnent point de trop grandes flèches de courbure, on pourra, sans erreur importante , regarder connue constant le rapport moyen

~ — tn des écartements aux poids qui les ont produits, et admettre

dès lors que, à un écartement quelconque f des pinceaux oj correspond un effort de mk kilog. Il convient, au reste, de déterminer directement le rapport m , tant avant qu’après chacune des expériences auxquelles l’instrument servira, et de lui attribuer la valeur moyenne.

Admettons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse (fig. 4) d’obtenir la courbe ou la loi du travail développé par des chevaux qui traînent une voiture. On peut concevoir tel mécanisme convenable, qui mettant en rapport avec le moyeu de la roue, une bande de papier continue MN, fasse parcourir à celle-ci des espaces etei*3e* proportionnels aux chemins décrits par un point de la circonférence du moyeu, et proportionnels dès lors aux arcs développés par la roue, c’est-à-dire aux véritables espaces parcourus par le véhicule. Mais, sous les efforts des chevaox tirant sur F et des résistances de la voiture et du sol réagissant dans le sens R, les crayons s’écarteront de nouveau ; l’un o, resté fixe, tracera la droite oE, ou l’axe des chemins, tandis que l’autre/', s’écartant d’autant plus que le tirage est plus grand, laissera sur la bande de papier un feston dont les ordonnées e,F(, e2F,, e3F, . . . mesureront les efforts des chevaux en chacun des points de la route ; de sorte que, leur travail entre deux points quelconques e, e4 sera dans un rapport constant et connu avec l’aire comprise entre les ordonnées correspondantes à ces points, la ligne o E des abscisses et le feston FjFjFj F4 delà courbe du travail. On obtiendra donc facilement ce travail total T pour un chemin E d’une longueur cl d’une nature déterminées, un kilomètre pavé ou empierré, par exemple; et réciproquement, en divisant le travail total T par l’espace parcouru E, T

on aurait - = F pour l’effort moyen constant que des chevaux de- E

vraient exercer pour traîner un véhicule d’une espèce donnée (sus-

1066 LOIS dm mouvements.

pendu ou non suspendu) sur uo chemin d’une certaine nature (pave ou empierré) à une vitesse déterminée (le pas, le trot ou le galop).

8. On emploie souvent encore l’appareil à plateau tournant {fig. b), soit pour obtenir les efforts à chaque instant, soit pour avoir la loi qui lie les espaces aux temps. Supposons ce dernier cas, et pour plus de clarté, appliquons l’appareil à la recherche du mouve meut de la pièce AB qui nous a déjà occupés. S1 est le crayon qui y est fixé, P est un plateau tournant autour d’un axe fixe A devant co crayon, et en contact avec lui. I.e mouvement du plateau est uniforme, c’est-à-dire, qu’un point quelconque de sa circonférence décrit des arcs égaux ot,, t, r2, /2/s . . . dans des temps égaux. Nous admettrons qu’il fait un tour entier en neuf secondes. En supposant que son diamètre n’ait que 1 mètre, sa circonférence aurait 3141 millimètres, un point de cette circonférence parcourrait donc 349 millimètres par seconde. Or, comme un millimètre est une division très-visible, le plateau tournant permettrait d'évaluer très-

facilement ici les durées écoulées à — de seconde près. Quant aux

chemins, en voit qu’à l’origine du mouvement, lorsqu’ils sont nuis, le style trace le cercle intérieur S0 S, S2 . . . et le tracerait sans cesse, s’il restait immobile, en vertu du mouvement même du plateau. Mais la pièce A B, en se mouvant, éloigne le style de la circonférence, et celui-ci parvient en 1 sur le rayon t, lorsqu’il s’est élevé verticalement de S,t après le temps ot, = i seconde. Après o/,= 1 seconde, il s’est élevé verticalement de S22, et occupe sur le prolongement du rayon /2 le point 2 ; une seconde de plus, il est en 4 sur le prolongement du rayon f4; enfin en 5, après o/5 = 2 secondes *, il a achevé sa course ascendante, et touche la circonférence intérieure ; il revient alorsen 6, puis en 7, et arrive en 8 à la Gn de sa course descendante. De /„ en o, il y a intermittence, le style reste sur le cercle qu’il traçait étant au repos, on ne distingue que la trépidation; enfin, il repart de S#, coupe le rayon T,, puis les prolongements des rayonsT2, T3, T4, . . . et arrive enfin en T„ après avoir décrit une courbe semblable à la première, et dans le môme temps. La rotation du plateau s’accomplissant ici dans une durée qui comprend exactement celle de deux courses totales du style, il n’y a point de recroisements, et ce style repasse perpétuellement par les mêmes points du plateau, traçant toujours les deux mômes courbes par les mêmes points, si son mouvement reste toujours le même.

9. L'appareil à plateau tournant a, sur ceux que nous avons esquissés plus haut, l'avantage d’indiquer les durées écoulées avec une précision extrême, ce qui permet de l’employer à mesurer les plus grandes vitesses. La Ggure 7 indique la forme générale que Grobert, modifiant heureusement l'idée première de Matltï,

LOIS de* mouvements .

avait proposé de lui donner pour le faire servir à la mesure de la vitesse initiale des projectiles.

AB est un axe fixe sur lequel sont montés deux plateaux or, O T égaux et parallèles tournant avec l’axe d’un mouvement uniforme, à l’aide d’un mécanisme convenable. On tire perpendiculairement au plateau to, et vers sa circonférence; la balle, au sortir de l’arme, le perce en un point quelconque a, traverse la distance d des plateaux, et perce le second plateau T O en un point b, dont la distance angulaire au point a, fait évidemment connaître la durée du trajet. Supposons, par exemple, 1 mètre de rayon à chacun des plateaux

ou une circonférence de 6283 millimètres, une seconde pour la durée de quatre tours complets et 2m à la distance d. Admettons enfin, que les plans passant par l’axe et les rayons ca,C6 d’entrée et de sortie de la balle soient inclinés l’un à l’autre d'une quantité qui, mesurée sur la circonférence, s’est trouvée égale à 131 milli mètres. Chaque millimètre de la circonférence correspondant à une

durée égale à - — - ou -J — de seconde, la durée totale t du 6 *X62tî3 25132

trajet entre les deux plateaux a été-;: — de seconde, et la vitesses

pouvant être supposée ici sensiblement constante, on aurait pour la

vitesse initiale v ==. - ■=.— = 383™ environ.

10. Concevez maintenant que l’axe des plateaux est vertical, que ces plateaux sont enveloppés par une surface cylindrique, cl que, pendant la rotation uniforme de cette surface, un corps armé d’un pinceau en contact avec elle, tombe en y laissant sa trace, et vous aurez une idée de l’ingénieux appareil à l’aide duquel M. A. Morin, dans scs leçons du Conservatoire, démontre, ou plutôt montre toutes les circonstances du mouvement des corps libres à chacun des instants de leur chute.

11. Tels sont à peu prés les principes des appareils et des méthodes pratiques si généralement employés aujourd’hui pour découvrir la loi réelle des mouvements les plus variés; mais on conçoit que réciproquement les éléments d’un mouvement étant connus , ils puissent être à leur tour exprimés par une courbe ; de là une sorte de géométrie mécanique qui éclaire l’élude des mouvements un peu compliqués d’une lumière que l’emploi exclusif de l’analyse ne comporterait pas.

12. On pourra s’exercer utilement à ce genre de considérations en traçant les courbes qui expriment les lois de mouvements mathématiquement définis, en construisant, par exemple, les formules de l’article Forces. Ainsi, prenant des longueurs convenues pour représenter les temps écoulés t et les espaces parcourus e, on trou-

LOIS des mouvements .

vera facilement que : le mouvement étant supposé uniforme, la

courbe devient une droite — dont l’inclinaison relative — = — sur

t dt

l’axe des temps est la vitesse v du point mobile ; — que la traduction géométrique de la formule e=x { g t1 (page 783), qui exprime un mouvement uniformément varie , serait une parabole ayaut son axe principal parallèle à celui des espaces, etc. Prenant ensuite les vitesses du mouvement pour ordonnées , on retrouvera une ligne droite pour la courbe d’un mouvement uniformément accéléré, —

droite dont l’inclinaison relative — sur l’axe des temps sera l’ac-

célération constante <p du point mobile. — L'espace e parcouru en vertu de ce mouvement, à une époque quelconque i, depuis l’origine o du temps, serait l’aire \ v t du triangle formé par la droite, l’abscisse du temps t, et la vitesse acquise v à la fin de ce temps. — Enfin, si le mouvement était uniforme, la courbe deviendrait encore une droite, mais celte droite serait parallèle à l'axe des temps et placée à une distance de cet axe égale à la vitesse constante u du mouvement du mobile. L’espace parcouru x pendant une durée de temps quelconque t serait le rectangle u t de ce temps t et de la vitesse constante u (page 777).

13. Je ne développerai pas plus longuement ces considérations très-simples, et les terminerai en résolvant par ces méthodes graphiques le problème d’algèbre très-élémentaire de la page 670 : trouver tous les instants où les deux aiguilles d’une montre sont en coïncidence.

Portons sur un axe des temps oT {fig. 6, pl. XC) douze divisions égales (0, 1 ) (1, 2) (2, 3).... (1 1, 12) pour représenter les douze heures égales du cadran, et comme les distances de l’aiguille des heures à 0 heure ont ici la même mesure que les heures écoulées , les ordonnées qui représentent ces espaces seront, entre 0 heure et 6 heures, égales à leurs abscisses et la courbe du mouvement de l’aiguille des heures sera une droite o H ioclinéc sur l'axe des temps

d’une quantité qui donne pour sa vitesse v = - =z 1 division par

heure ou -pj du cadran. A partir de 6 heures, les ordonnées ou les distances à 12 heures décroissent avec le temps écoulé, parce que ces distances sont comptées en sens inverse des premières, dans le demi-cadran qui s’étend de 6 heures vers 12 heures. La courbe H, 12 est donc symétrique à la courbe o H, et son inclinaison est seulement inverse de la première.

Quant à l'aiguille des minutes, puisque dans une demi-heure elle parcourt le même chemin que l’autre aiguille en 6 heures, et, uniformément comme elle, à l’abscisse ou au temps ~ correspond une ordonnée ou espace parcouru (m, j) = (H 6); cl comme après

LOIS des mouvements. 106!»

s être éloignée du point de départ o pendant une demi-heure, elle y revient en sens inverse, uniformément et dans le même temps, la courbe de son mouvement entre 0 heure et t heure sera évidemment un feston formé par deux droites inclinées en sens inverse, om, m 1. Mais ce mouvement étant identiquement le même entre 1 heure et 2 heures, entre 2 heures et 3 heures, etc., la courbe du mouvement de l’aiguille des minutes entre 0 et 12 heures, se composera évidemment de 12 festons en tout égaux, comme le montre la ligure.

Il est évident maintenant que les coïncidences ne peuvent avoir lieu que lorsque les distances à O heure, croissant ou décroissant dans le même sens, sont rigoureusement égales. Elles n’ont donc lieu qu’aux points des deux courbes pour lesquels les ordonnées en croissant ou décroissant ensemble deviennent égales, c’est-à-dire à leurs douze points d’intersection o c c c... 12. Menant ces ordonnées, on lira sur l’axe des temps les heures des coïncidences qu’on sait être exactement

0h; th5”^; 2h 10™ ; Sh16®£ 1 0h 54«" ; 12h

c’est-à-dire que, à partir de 0 heure, il s’écoule entre une coïncidence et la suivante JJ d’heure, — que, abstraction faite des coïncidences O et 12 heures, il n’y en a que dix, aucune coïncidence ne pouvant avoir lieu entre la première oi entre la dernière heure, comme le montre d’ailleurs la figure.

Mais que peuventsignifier les douze intersections «sa s... desdeux courbes? Elles signifientque lesconstructions graphiques, aussi bien qnel’analyse, complètent, redressent et résol vent lesquestionsqui peuvent avoir plusieurs solutions. Elles indiquent notamment que, autour de chacune des heures marquées sur le cadran, il y a deux positions des aiguilles pour lesquelles leurs distancesàoheuresontégales,i’uneoù ces distances égales étant de même sens, il y a coïncidence, l’autre oii ces distances égales étant de sens différents , les aiguilles sont symétriquement placées par rapport à 12 heures, il y a symétrie. Ainsi, il y a symétrie à 0h55n' £ ou, comme on dit vulgairement, à une heure moins quatre minutes il y a encore symétrie à tü50m J-J, et ainsi de suite, jusqu'à ltll*,u l’intervalle d’une symétrie k la suivante, étant constant et = 55œ La figure indique encore que, entre 5" J et 6h J, deux symétries se succèdent sans laisser place entre elles à aucune coïncidence c, ce sont exactement celles de 6" ± 27ui Enfin, sans calcul aucun, on voit que, entre 0b et 5h J environ, la durée, qui sépare une symétrie de la coïncidence suivante, va sans cesse en augmentant ; — que, à partir de la symétrie qui s’interpose à 6h27m cette durée diminue brusquement pour reprendre ensuite sa marche croissante, etc., etc. En un mot, la seule inspection du tracé projette sur toutes les phases de la question une clarté que

1070 LONGITUDES. — LOXODUOMIQUE — LUMIÈRE.

l'équation 12x=c±:xdcla page 670, n’y porlerail pas immédiatement, mais dont elle précisera à son tour les détails avec une rigueur qu’un tracé ne saurait atteindre.

LONGITUDES (Voyez Astronomie, pag. 72 et Coordonnées géographiques, pag. 385).

LOUCIIET. C’est peu exiger d’un ouvrier que de fixer à quinze mètres cubes le déblai qui doit représenter le travail de sa journée, dans une terre qui peut se fouiller immédiatement au louchet ou à la pelle, sans exiger l’emploi de la pioche.

LOXODUOMIQUE. Courbe que tracerait sur le sphéroïde terrestre un vaisseau qui suivrait constamment un même air de vent intermediaire aux quatre cardinaux. Cette courbe est à double courbure, de forme spirale; elle coupe successivement les méridiens sous un même angle, et fait dés lors un nombre infini de révolutions autour des pôles en s'approchant continuellement de ces points, sans pouvoir jamais les atteindre. En effet, si elle les atteignait, elle couperait tous les méridiens à la fois sous un même angle, ce qui est absurde.

LUMIÈRE. 1. Fluide impondérè dont les molécules jaillissent dans toutes les directions de chacun des points des corps dits lumineux. L’observation montre que, dans le vide ou dans un milieu physiquement et chimiquement homogène, la lumière se meut rigoureusement en ligne droite, de telle sorte que l'attraction terrestre ne parait exercer sur elle aucune action sensible. Au contraire, dans les milieux hétérogènes qu’elle traverse obliquement, la lumière se meut suivant une ligne courbe, de sorte que. vu» à travers l’atmosphère dont les couches sont nécessairement de densités inégales, les corps nous apparaissent en des points qu’ils n’occupent pas réellement.

2. L’intensité de la lumière projetée sur une surface par un point lumineux, décroît dans un milieu homogène comme le carré de sa distance à la surface augmente, et le décroissement absolu parait considérable, même dans les milieux les plus transparents.

Dans l’air, par exemple, la lumière perd environ un tiers de son intensité en parcourant une longueur horizontale de 1 500 mètres.

Un morceau de verre à glace de 0".08 d’épaisseur affaiblit d’environ moitié la lumière qui le traverse normalement.

Uerscbcll a toutefois trouvé, en opérant sur une lame de verre ordinaire à faces parallèles, parfaitement polie et d’une épaisseur à peu près égale à celle des oculaires à fort grossissement, que de cent mille rayons qui tombent perpendiculairement sur un pareil verre, il n’en absorbe que 5200 et en laisse passer 9t800.

Trois mètres d’eau de mer en absorberaient environ les deux cinquièmes.

Un feu üc un mèlre do largeur, vu la nuit, d'une distance de douze lieues, n’apparait que comme une étoile tertiaire.

Cependant, suivant M. de Zach , 200 grammes de poudre brûlés en plein air donnent une lumière qui, durant le jour, peut être aperçus de plus de 7 lieues, et, durant la nuit, de 40 à 50 lieues do distance, bien que l’observation se fasse hors de toute portée des instruments d’optique, et qu’il y ait même quelque montagne interposée.

3. La vitesse de la lumière dans l’espace est d’environ 308 millions de mètres ou 77000 lieues par seconde; elle emploie 8“ 13* à parvenir du soleil à la terre, et plus de quatre heures pour venir d 'Uranus. Un boulet de canon qui conserverait sa vitesse initiale, ferait moins de chemin en un an que la lumière en une seconde. On admet que la vitesse de la lumière est uniforme.

4. Réflexion de la lumière. Lorsqu’un rayon lumineux I O (fig. 6, planche LXXXVI) rencontre une surface polie M, il s’y réfléchit de telle sorte que le plan de réflexion coïncide avec le plan d’incidence, et que l’angle d'incidence est égal à l’angle de réflexion. Ces angles sont ceux que forment le rayon incident IO, cl le rayon réfléchi OO' avec la normale à la surface M au point OTl’incidence.

Ce principe explique comment les miroirs plans M, M' doivent nous faire voir les images des objets dont ils peuvent recevoir les rayons lumineux, et comment ces images sont symétriques de ces objets par rapport au plan du miroir.

L’image symétrique d’un corps par rapport à un plan est celle qu’on obtiendrait en abaissant de tous les points du corps des perpendiculaires à ce plan — perpendiculaires qu’on prolongerait au delà du plan, chacune d’une quantité égale à elle- même. L’cnsetnble des extrémités de ces lignes formerait l’image symétrique. Des caractères d’imprimerie, qu’on présenterait devant une glace, ne pourraient donc Être lus que de la droite vers la gauche,

5. La théorie des instruments d réflexion (pag. 973) repose toute entière sur l’égalité des angles d’incidence et de réflexion ; on déduit facilement de ce seul principe le théorème suivant, qui leur est immédiatement applicable :

Lorsqu’un rayon lumineux 10 (fig. 6, planche LXXXVI) tombe sur un miroir plan M , s'y réfléchit, puis rencontre un deuxième miroir plan M' sur lequel il se réfléchit de nouveau , l’angle y, formé par la direction du rayon incident et par celle du dernier rayon réfléchi est double de l’angle x des miroirs.

On a, en effet, pour l’angle extérieur a au triangle 00' A ( Gèom B. 9)

LLM1EUE.

cl dans cc môme triangle

A — {— c — a — {— jr = f 80° = c-)-ïiA-f-2.r mais dans le triangle OO'L

c -j— 2 b —j— y 1 80° donc y — ‘2z

Et quand les miroirs M et M' sont parallèles, le premier rayon incident et le dernier rayon réfléchi sont aussi parallèles.

On démontrerait de mémo que s’il y avait quatre réflexions entre deux miroirs faisant un angle x, l’angle formé par le premier rayon incident cl le dernier rayon réfléchi serait = 4 x ; — que pour six réflexions, il serait =6 x , — pour huit réflexions, 8 x , et ainsi de suite.

On démontrerait encore que, si un miroir plan tourne sur un axe, le mouvement angulaire de l’image est double de celui du miroir.

6. La réflexion tur les surfaces courbes s’opère en un point quelconque, comme elle aurait lieu sur le plan tangent à la surface courbe en ce point.

Donc un point lumineux placé au centre d’une sphère intérieurement polie, enverrait à tous les points de celte surface des rayons lumineux qui reviendraient au centre après la réflexion.

Placé au foyer d’un ellipsoïde, les rayons émanés de ce poiut lumineux se croiseraient tous à l’autre foyer, reviendraient au premier après une seconde réflexion, et ainsi de suite.

Un paraholoïde qui recevrait des rayons parallèles à son axe, les réfléchirait à son foyer ; et réciproquement il les réfléchirait parallèlement à son axe, s’ils émanaient de son foyer.

Pour les calottes sphériques, concaves ou convexes, l’arc générateur de la surface ne dépassant pas 20 à 30 degrés au plus, on aurait : R étant le rayon de courbure du miroir,

D la distance d’un point lumineux au miroir, distance comptée sur la normale menée du point lumineux au miroir, i distance du foyer ou de l’image au miroir après la réflexion, comptée sur la normale

Les signes supérieurs s’appliquant aux miroirs concaves, et les signes inférieurs aux miroirs convexes.

Lorsque i devient négatif, on a ce qu’on appelle un foyer virtuel, c’est-à-dire un point où les rayons réfléchis se rencontreraient s’ils étaient prolongés en arrière du miroir; les miroirs convexes ne donnent que des foyers virtuels.

7. La réflexion de la lumière u’est jamais complète et, en dépit de l’opinion de lluygens, les miroirs métalliques les mieux polis en absorbent toujours une partie.

D’aprcs Bouguer sur 1000 rayons tombant sur l’eau sous un angle avec la surface de j degrc, 721 seulement sont réfléchis; — il n’y en a plus que 211 sous un angle de 15°, — 65 pour 30», — 18 sous un angle de 60° à 90°.

Sur 1000 rayons qui tombent sur la première surface d’une lame do verre à glace, 543 sont réfléchis sous l’angle de 5° avec la surface, — 300 pour 15*, — 112 pour 30°, — 25 pour des angles de 60° à 90°.

Le marbre noir poli, sur 1000 rayons incidents, en réfléchit 600 sous l’angle de 3* 15', — 156 sous 15°, — 51 sous 30°, — 23 sous des angles de 60° à 90°.

Le mercure et les miroirs métalliques présenteraient, toujours d’après Bouguer, un décroissement moins rapide, et, sur 1000 rayons incidents, plus de 700 seraient réfléchis sous un angle très-petit avec la surface, et environ 600 ou plus de la moitié, lorsque cet angle est voisin de 90° , et je trouve dans les expériences do W. Ilerschell la confirmation de ce résultat.

D’après Ilerschell, si £00,000 rayons tombent à peu prés perpendiculairement sur un miroir plan, parfaitement poli, et de l’espèce d’alliage qu’il employait dans ses télescopes, il s’eû réfléchira 67300.

Enfin, Fresnela trouvé que la quantité de lumière réfléchie par les corps diaphanes sous l’angle de 70° à 90°, est — de la lumière incidente.

8. Réfraction de la lumière (fig. 7, planche LXXXVI). Un rayon lumineux IM qui passe obliquement d’un milieu XNY dans un autre XN' Y se dévie de sa route primitive ou se réfracte, l’uu de ces milieux fût-il le vide.

Un milieu est différent d’un autre milieu par cela seul que leurs densités sont différentes.

IM N angle d'incidence est celui a que fait le rayon incident IM avec la normale MN au plan de séparation des deux milieux.

BMN' = er: angle de réfraction est celui que forme le rayon réfracté MR avec le prolongement MN' de la normale MN.

Lorsqu’il n’y a qu’une simple réfraction (elle est double pour certaines substances), l°lc plan de réfraction coïncide avec le plan d’incidence, il est normal à la surface de séparation des milieux; 2° le quotient que l’on obtient en divisant le sinus IO do l’angle d’incidence par le sinus RO' de l’angle de réfraction est une quantité sensiblement constante pour deux mômes milieux quelle que soit l’obliquité de l'incidence. N étant ce quotient constant relatif à deux mêmes milieux, quotient que l’on appelle leur indice de réfraction , on a donc :

c’est la loi de Snelltut attribuée à tort h Descartes, qui l’a seulement confirmée.

Dans le passage de l’air à l’eau, on a, à très-peu près, N= -

ou 4 sin.e = 3 sin. a.

Si le rayon lumineux partait de R , MR serait alors le rayon incident, MI le rayon rélracté et ■l°- e- — — — indice de réfraction

inverse, ou de l’eau à l’air, aurait naturellement pour valeur la frac-

‘,on4 = N-

Sin. a ne pouvant jamais être plus grand que 1, il en résulte que, pour le cas de l’eau et de l’air, sin.e ne peut pas devenir plus

grand que - ou 0.75000, et ce sinus étant celui de *8° 36', cette

valeur est V angle limite pour ces fluides. Ainsi ceux des rayons émanés d’uo corps lumineux qui, pour sortir de l’eau, se présenteront à la surface de séparation XY, sous un angle plus grand que l 'angle limite 48° 36’ n’en sortiront pas et rentreront dans le liquide : réciproquement, quelque petit que soit l’angle formé avec la surface liquide par les rayons émanés d'un point lumineux placé dans l’air, ces rayons n’éclaireront pas directement l’angle liquide complémentaire de l’angle limite.

9. Je choisis daDS la longue série des Indices de réfraction déterminés par les physiciens, ceux d’entre eux qui intéressent la pratique des ingénieurs, l.a plupart de ces résultats sont dus à M. Brcwster.

Indices de réfraction par rapport au vide.