Equation générale d’une machine en mouvement

Soit Tm= le travail moteur moyen livré à une machine quelconque pondant un temps connu t , ou le produit Ee de l’effort moteur moyen E par le chemin e décrit pendant la durée t, dans la

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direction propre de cet effort, par son point d’application sur la machine.

Ce produit Tm=E« est nécessairement égal à la somme Je tous les travaux résistants, savoir:

T0= Oî — travail dépensé sur l’opérateur ou l’ontil pendant la durée!; ce travail étant pris comme ci dessus, c’est-à-dire égal au produit de l’effort moyen Q de l’outil par le chemin q que son point d’application a parcouru, pendant le même temps t , dans la direction de cet effort.

Tr=Hr= travail moyen pris comme ci dessus et absorbé par toutes les résistances II étrangères à l’effet utile que l’on cherche «à produire. C’est en bloc la somme des travaux absorbés par les frottements, parla résistance des milieux, parles chocs, les vibrations, les ébranlements du sol, par la flexion, l’extension, la compression inutiles des organes de la machine, travaux que nous ne savons pas évaluer tous exactement.

4. Travail des pièces à mouvement alternatif. Mais la composition de la machine peut être telle que certaines pièces de son mécanisme s’élèvent ou s’abaissent pendant la période l et absorbent dès lors un certain travail pour leur élévation, ou au contraire viennent en aide au travail moteur par leur descente. P étant le poids total do ces pièces à mouvement alternatif, h la hauteur verticale absolue comptée de bas en haut dont leur centre de gravité commun s’est élevé, et le la hauteur absolue comptée de haut en bas dont ce centre s’est abaissé pendant la période considérée, la somme des travaux montant et descendant, c'est-à-dire contraire et favorable au travail moteur sera évidemment — P (A — A).

5. Travail de l’inertie. Enfin, pendant cette même durée t, le travail moteur cl la somme des travaux résistants peuvent avoir varié en sens inverse l’un de l’autre, en oscillant entre les limites de leurs

valeurs moyennes T,„ , T„, Tr. Suivant que le travail moteur a été momentanément plus grand ou plus petit que le travail des résistances, la vitesse des pièces mobiles de la machine a nécessairement augmenté ou diminué. Celte variation n’a pu avoir lieu sans avoir mis en jeu leurs forces d’inertie (page 785), et dés lors sans qu’un travail ou contraire ou favorable au travail moteur ait été développé, soit donc m la masse ou p le poids de l’une quelconque des particules mobiles

de la machine dont la vitesse u a pu varier : -- — sera la forcis

g dt

qu’elle aura opposée à la variation du de sa vitesse pendant l’élément du temps dt; si dx est le chemin élémentaire qu’elle a parcouru pendant cet élément du temps dans la direction de la force ,

dudx

— mudu sera le travail élémentaire dépensé pendant dt par

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son inertie ou contre elle. Si nous appelons e0 la valeur delà vitesse, dont elle était animée au commencement de la période t et v celle de la vitesse qu’elle possède à la fin de celte période

j mu du

P Vu*

sera le travail dû ii l’inertie de m — - pendant la durée /. Prenant le

signe S pour indiquer la somme de tous les produits semblables qui entrent daos le système mobile,

y P V1 v P Vo1

exprimera, en général, le travail de l’inertie de la machine, pendant la période t et ce travail sera évidemment positif ou négatif suivant que la vitesse v0 au commencement de la période sera plus petite ou plus grande que la vitesse Gnale v.

6 . Travail de l’ inertie des pièces de rotation. Dans le cas très-général où les pièces mobiles tourneraient autour d’axes fixes, on aurait n = w'p et t’„ — to0 p

en prenant o> et o>0 pour les vitesses angulaires finale et initiale du système tournant et p pour la distance de la particule quelconque m h son axe de rotation ; le terme général ci-dessus deviendrait alors

Co’)

c’est évidemment sous cette dernière forme, que le travail de l’inertie des pièces de rotation devra figurer dans l’équation ci-dessous, qui donne enfin le compte général de l’emploi du travail moteur moyen Tm pendant la période t :

Tm = T„ + Tr + P (h - k) + S V- y - tV)

Ee = Q? + Hr + P(A-/0 + S^-I’^

7. C’est la relation connue sous le nom d’équation des forces vives et qui a été donnée par M. Poncelet , il y a bien vingt-cinq ans. Nous allons, à l’exemple de notre illustre maître, étudier successivement l'influence de ses différents termes, en faisant tous nos efforts pour ne pas rester trop au-dessous du beau modèle de discussion, que l’on devra consulter d’ailleurs et qui forme la première section de ses célèbres cahiers de Metz.

MACHINES en général.