MO“OR

FxMi = FxOKX^ = F/do

C’est ce produit F f do l’intensité de la force F par la perpendiculaire f menée du point fixe O à sa direction que l’on appelle proprement le moment de la force F pris par rapport q au point O. Et l’on voit que celle

quantité, indépendante du chemin décrit par le point d’application, est une sorte de mesure de l’énergie avec laquelle la force F tend à faire tourner la barre O M autour du point O.

2. On aurait encore obtenu l’expression du travail élémentaire de rotation de la force F eu projetant celte force suivant M P, sur la direction réelle du chemin décrit par le point d’application M. Ainsi P étant la projection de F, le travail de rotation pourrait être exprimé par

P X Ma = PxMOx~=Pr.<iu

et les triangles rectangles M P F, M O R étant semblables, on a facilement

MF MO F r

Ml> — ÔK P — J

ou moment F f= moment P r.

On peut donc, en général, appeler moment d’une force F par rapport à un point O soit le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction propre, soit le produit du rayon de l’arc que le point d’application tend à décrire par la projection P de la force F sur la tangente à cet arc.

3. On appelle aussi moment d’une force R par rapport d une droite ou à un axe A B le produit R p de celte force R par la per-

pendiculaircp = M C menée de la direction de la force à Taxe fixe; toutefois il faut bien remarquer que le véritable moment de rotation de la force R , celui qui mesure l’énergie avec laquelle elle tend à faire tourner le corps Q autour de son axe n’est pas Rp.il est P p ; — de sorte que, en général, le moment de rotation d’une force R relativement à un axe est le moment P p de sa projection P sur un plan P MC perpendiculaire à cet axe, moment pris par rapport au centre de rotation C de ce plan. Quant au travail élémentaire de rotation, il est tout aussi évidemment P pdi>>

(et non R pdoi), c’est-à-dire égal au chemin élémentaire effectivement décrit par le point d'application multiplié par la projection P de la force R sur la direction MP de ce chemin.

4. On appelle encore moment d’une force par rapport à un plan le produit de celte force et de sa distance à ce plan. Mais il faut bien remarquer que, eu général, les moments de celte espèce n’ont rien de commun, comme dit Poisson, avec les moments par rapport à un point. Ceux-ci dépendent de la direction de la force et sont indépendants de son point d’application, tandis que les moments par rapport à un plan dépendent au contraire de la position du point d'application de la force, et sont indépendants de la direction de celle-ci ; en sorte que P étant, par exemple, l’intensité d'une force appliquée en un point dont les coordonnées sont x, y, z, les produits P z, Py, P#, sont respectivement appelés le moment de la force par rapport au plan des# y, à celui des x z, et enfin à celui des y z. On ne fait guère usage de ces moments que dans le cas des forces parallèles.

5. Enfin, les anciens géomètres ont encore appelé moment d'une force un produit analogue à ce que nous nommons aujourd’hui le travail élémentaire de celle force, son travail virtuel ou initial. Lorsque, dans le cours de cet Aide-mémoire , j’ai employé le mot moment dans ce dernier sens, j’ai conservé, afin d’éviter toute équivoque, la désinence latine qu’il avait autrefois, et j’ai ainsi appelé mamentum d’une force sa tendance au travail ou son impelus, comme le nommaient les anciens.

6. S’il faut ajouter foi aux savantes et consciencieuses recherches historiques de Lagrange ,1a notion des moments derotation qui semble aujourd’hui dériver tout naturellement de la théorie du levier, ne se serait cependant introduite que bien des siècles après celle-ci dans la science mécanique; et A' Archimède j qui vivait 250 avant J. -C., et qu’il considèrq comme l’auteur de la théorie du levier, il faudrait redescendre la série des âges jusques au Mecanicorum liber

de Guido Ubaldi (1 577), pour en voir poindre le premier aperçu.

-Du principe du levier droit et horizontal donné par Archimède, il semble que l’on se serait d’abord élevé jusqu’à la théorie du levier coude ou angulaire, et ce ne serait guère que vers l’année 1687 que Varignon, liant le principe du levier à celui do la composition des forces, serait parvenu enfin au principe des moments, par le théorème qui porte encore son nom (Voy. la Mécanique de Varignon, publiée en 1725, après sa mort). J’ai pensé que l’on suivrait avec quelque intérêt les traces de celte génération des notions fondamentales de la mécanique, et j’ai essayé de les indiquer rapidement ici.

7. Voici d’abord la simple et ingénieuse démonstration du principe du levier droit, donnée par Archimède, que je retrouve dans un intéressant mémoire de Fourier. Soit une ligne droite chargée en chacune de scs parties égales de poids égaux et en équilibre autour d’un point fixe placé au milieu M.

Si, à partir de l’une

des extrémités, A par * 2 a- >

exemple, on prend sur A I J B

la longueur entière 2 a

du levier, une longueur 2 1, on pourra, sans rompre l’équilibre, réunir au milieu de 2/ les poids distribués sur cette longueur et opérer de même sur la ligne restante 2 a — 2 /. Mais alors les bras de levier des charges seront (a — I) et 1, tandis que les poids réunis en leurs points d’ application seront proportionnels à l et à (a — l), c’est-à-dire en raison inverse de leurs bras de levier.

8. On voit que Archimède considérait, soit comme un axiome, soit comme un fait d’expérience, l’équilibre de deux poids égaux, agissant sur un levier droit horizontal, à distances égales de l'appui, vérité qui pourra sembler évidente si l’on remarque que tout étant égal de part et d’autre de ce point, il n’y a pas de raison pour que l’un des poids l’emporte sur l’autre. Cependant, Lagrange nous apprend que cet axiome, qui est le principe de la balance, fut contesté et que Huyghens crut devoir essayer de compléter la démonstration d’Archimède dans un petit écrit imprimé, en 1693, sons le titre de Demonstratio œquilibrii bilancis. Stevin, dans sa Statique, et ( ralliée , dans ses Dialogues, avaient eux-mêmes tenté de donner plus de rigueur encore à la démonstration d' Archimède, et celle que proposa Galilée, dans son second Dialogue sur la Résistance des solides et que je ne crois pas utile de reproduire ici mérite cependant d’être remarquée en ce que la condition de l’égalité entre dans les moments des poids par rapport à l'appui, pour obtenir l’équilibre, y est peutêtre encore plus nettement indiquée.

9. On chercha aussi à prouver l’évidence du principe, qui veut que, dans le levier horizontal en équilibre, la charge sur l’appui

soit égale à la somme des poids (*) ; ce fut encore Huyghens qui y pourvut à peu près comme suit :

Imaginez trois droites formant un triangle quel' conque chargé de deux poids égaux aux extrémitésCB C de sa base et d’un poids double de P chacun d’eux à son sommet A. Ce triangle sera en équilibre sur la droite EF qui passe par les milieux de ses deux célés, car chacun d’eux AB, AC peut être considéré comme un levier chargé de P = P à ses extrémités, et qui a son point d'appui à distances égales de chacun d’eux. Mais on peut encore considérer l’équilibre en regardant la base BC du triangle comme un levier dont les extrémités B, C sont chargées de deux poids égaux, et en imaginant un levier DA qui joigne le sommet A du triangle au milieu Dde sa base, dont une des extrémités A soit chargée du poids 2P, et dont l’autre D serve de point d'appui au levier BC. il est évident que ce dernier levier BC sera en équilibre sur le levier DA qui le soutient en son milieu D, et que celui-ci sera en équilibre sur l’axe EF. Or cet axe passant par le milieu O de DA, ce levier DA devra être chargé également à ses deux bouts. Donc la charge en D = la charge en A = 2 P — la somme des poids en B et C. Ce qui complète la démonstration d’Archimède, et place le principe du levier droit à l’abri de toute contestation.

10. Quant au levier coudé qui conduit plus directement à la notion des moments, voici comment on a pu raisonner, en partant du principe du levier droit :

On regardera d’abord comme évident, avec Lagrange, qu’un levier angulaire B A B' à bras égaux, mobile autour du sommet A de l’angle est tenu en équilibre par deux forces égales (-{- P) ( — P) appliquées perpendiculairement aux extrémités de ses bras et tendant à le faire tourner en sens contraire.

Cela posé, faites passer par le sommet A d’un levier coudé quelconque BAC un levier droit B' AC' ayant des bras AB' = p AC ' = ? respectivement égaux aux bras A B, A C du levier angulaire, appliquez aux extrémités B' C'du levier droit des forces perpendiculaires ( — P) et ( — Q) respectivement égales aux forces P et Q appliquées en B et C sur le levier coudé, et considérez

(*) Et non à la somme des moments des poids comme le soutenait, en 1836, railleur de la Découverte de la cause physique des mouvements célestes.

d'abord l’ensemble des quatre bras comme un système unique se confondant avec le plan do la figure et traversé par l’axe A. Supposez maintenant qu’il y ait équilibre sur B L le levier droit, la condition de i cet équilibre sera exprimée par l’égalité ± l^=:± Q q.

Or, indépendamment de celte condition, il y aura toujours équilibre séparément sur les leviers angulaires à bras égaux (-)-QA — Q) lJA — P). Donc, la condition de l’équilibre sur le levier droit, entraîne la condition de l’équilibre dans le levier angulaire B'AC aussi bien que dans le levier angulaire C'AB, en retournant le sens des forces ( — P) ( — Q); car les bras AB, AB' d’une part, AC, AC' de l’autre avec les forces qui les sollicitent, peuvent alors être respectivement substitués l’un à l’autre ; donc, la condition de l’équilibre du levier coudé BAC est celle du levier droit ayant mêmes bras, ou V p = Q q.

11. Corollaires. Mais une force peut être censée appliquée à tel point que l’on veut de sa direction. Donc deux forces PQ appliquées à des points quelconques d’un plan retenu par un axe fixe A et dirigées comme on voudra dons ce plan sont en équilibre lorsqu’elles sont en raison inverse des perpendiculaires p , q, abaissées de ce point sur leurs directions : car on peut regarder ces perpendiculaires comme formant un levier angulaire dont le point d’appui est lo point fixe A. Tel est le germe du principe de l’égalité des moments entrevu par Guido Ubaldi. Un grand siècle plus tard, Varignon complétait la doctrine des moments par le théorème suivant.

12. Le théorème de Varignon peut être énoncé ainsi : Si d'un point quelconque O (figure suivante) pris dans le plan d'un parallélogramme MEjFF,, on mine des perpendiculaires f, f, f2 à sa diagonale et aux deux côtés qui la comprennent, le produit F f de la diagonale par sa perpendiculaire est égal à la somme des produits de chacun des côtés par la perpendiculaire qui lui est menée, pourvu que le point O ne soit compris ni dans l'angle formé par les côtés, ni dans son opposé au sommet. Si le point O, au contraire, est situé (figure suivante) dans l'angle des côtés qui comprennent la diagonale ou dans son opposé au sommet, ce sera la différence des produits de chaque perpendiculaire par le côté sur lequel elle tombe qui sera égale au produit de la diagonale par sa perpendiculaire : beau théorème de géométrie que l’on peut traduire immédiatement dans le langage de la mécanique par l'énoncé suivant :

13. Le moment Vf de la résultante F de deux forces F, F, pris par rapport à un point fixe O quelconque de leur plan , est égal à la

somme ou à la différence clés moments VJ, , F 2/i2 des composantes, selon que celles-ci tendent à faire tourner dans un même sens ou dans des sens opposés autour du point fixe O.

Celle proposition el scs conséquences s’appliquent non-seulement aux forces, mais encore aux vitesses et aux accélérations dont un point materiel peut être animé dans un plan.

On la démontre par diverses méthodes, mais il suffit ici pour s’assurer qu’elle a lieu de reprendre la figure 1" de cet article, d’y décomposer la rcsultanteM F suivant deux composantes de directions quelconques MF, , M F2 — de projeter ces composantes sur la direction réelle MP du chemin décrit par le point d’application M — et de remarquer qucFjn^Pp, j étant nécessairement égal à /

M p2 puisque les triangles j FF,n,F2Mp2 sont égaux, on a :

M P = M p, — M Pj ou •’ =P, — Pi et Pr = p,r — p2r

en appelant P , p, , p2 les projections des forces F, F, F2 sur la direction du chemin décrit.

Or, de même que l’on a prouvé que F /= P r on prouverait que Ptr= ^Jt ct Ptr = F2/2 , donc

Vf=VJl-V,fi

le dernier moment prenant le signe — puisqu’il tend à faire tourner le système en sens contraire de F, /j.

14. Si le point O était situé sur la direction de la résultante F', celte puissance et son moment disparaissant de l’équation ci-dessus, on retomberait sur le principe du levier droit ou angulaire

dont O serait l’appui ct l’action de la résultante serait détruite par ce point fixe.

15. Donc, réciproquement, si le moment de la force qui tend à faire tourner autour du point O moins le moment de celle qui tend d faire tourner en sens contraire autour du mime point est zéro, il faut en conclure que la résultante passe par le point O.

1160 MOMENT. — MOMENT D1NERTIE.

16. Ces théorèmes s’étendent facilement à un nombre quelconque de forces situées dans un même plan , et le moment de leur résultante sera toujours égal à la somme algébrique des moments de leurs composantes par rapport au même point /Lee O.

17. Multipliant enfin chacun des moments qui entrent dans les relations ci-dessus par le déplacement angulaire infiniment petit du> d’un point situe à un mètre de distance du centre ou de l'axe des moments, les produits ainsi obtenus seront les travaux de rotation élémentaires de chacune des forces correspondantes, et l’on arrive ainsi à ce théorème général :

Le travail de rotation élémentaire , résultant des forces appliquées à un système invariable mobile autour d’un axe fixe, est égal au produit du déplacement angulaire infiniment petit et commun dio de ce système par la somme algébrique des moments de rotation des forces relatifs à cet axe.

MOMENT D'INEItTIE. 1. Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe avec une vitesse angulaire que nous appelerons w, celle de ses masses élémentaires dm qui est située & une distance r de l’axe, est animée d’une vitesse wr dont le carré multiplié par dm est évidemment la force vive o> Vrfm de celte masse. La force vive du corps entier, somme des forces vives de toutes les masses élémentaires, est donc elle-même le carré do la vitesse angulaire

commune par la somme J r2 dm des produits de chaque masse par

le carré de sa distance à l’axe de rotation. C’est cette somme de

rl dm que, d’après Euler, on nomme le moment d’inertie du corps qui tourne.

2. On conçoit qu’une même masse aura des moments d’inertie différents, suivant la position de l'axe autour duquel elle tourne; parmi ces positions, celle pour laquelle l’axe passe par le centre de gravité d’un corps homogène donne, au moment d’inertie, l’expression la plus simple, que nous désignons généralement par Ic.

3. Pour passer de la valeur de Ic à celle Id du moment d’inertie de la môme masse M pris par rapport à un autre axe parallèle au premier et distant de celui-ci do la quantité D, ou a la relation

Id = Ie+ MD1

qui montre que l’on obtiendra Id en ajoutant à Ic le produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.

Soit, en effet, wi, une molécule quelconque du corps tournant; menez par celte molécule un plan ib,GA perpendiculaire à 1 axe G G qui passe par le centre de gravité du corps, ainsi qu’à l axe A l> parallèle à ce dernier. Conduisez dans ce plan la droite

A G — D = distance des deux axes; pnis de mt abaissez une perpendiculaire pt à la direction de IX; enfin menez les rayons ’r, p, distances de m, à chacun des axes. tnt r,1 , n^p,1 seront les moments d’inertie respectifs de la petite masse m, par rapport à GG' et à AB, mais les triangles m,CG, m,CA étant rectangles en C, on a

P.I=P,,+(D+^),=J».,+ ^M-»*+*D<lI=rl*+D*+sDrfl

et multipliant tous les termes par m,, il vient

m, p,2 = m, r,2 -(- ml DJ -|- 2 ml d, D

Répétant la même construction et le môme raisonnement pour toutes les molécules m2 , in3, chacune d’elles fournira une

équation de la même forme

m2 p22 = m2 r22 -f- m2 D2 dz 2 m, d2 D m» Ps* = m3 r3* + m3 D2 =F 2 m3 d3 D

en remarquant que leur dernier terme prendra le signe -|- ou le signe — , suivant que la distance d au plan G, G N , qui passe par le centre de gravite perpendiculairement au plan des deux axes, tombera à gauche ou à droite de ce plan G,GN. Mais en faisant la somme de toutes les équations ci-dessus , ces derniers termes se détruiront nécessairement, puisque la somme algébrique des produits ou moments md est nulle par rapport au plan G,GN, qui passe par le centre de gravité. 2 (m d) étant ainsi = 0, il reste

2 (m p1) = 2 (m r1) -f- 2 (mD1) ou enfin Id = Ic -f- MD2

4. Le momentd’inerlieIcparrapportà un axe passant par lecentrc de gravité est donc plus petit que le moment d’inertie Id pris par rapport à tout autre axe parallèle; et comme la force vive de rotation d’une masse tournante égale le produit de son moment d’inertie par le carré de sa vitesse angulaire, le travail ile/à dépenser sur une masse déterminée, pour lui imprimer une vitesse angulaire u>, sera moindre lorsque la masse sc mouvra autour d’un axe passant par son centre de gravité, qu’elle ne serait pour tout autre axe parallèle à celui-ci.

Il doit d’ailleurs paraître évident que les moments d’inertie d’une même masse sont égaux pour tous les axes parallèles entre eux et également distants de celui qui passe par le centre de gravité.

5. Détermination des moments d'inertie. Ou le corps dont on a.

à déterminer le moment d’inertie a des formes géométriques et est homogène, ou comme un marteau de forge, par exemple, il n’a ni homogénéité ni formes régulières. Dans le premier cas, la détermination du moment d’inertie est un pur problème de calcul intégral , dont nous donnerons plus bas quelques exemples ; dans le second cas, on partagera le corps tournant en un grand nombre de petits volumes séparément homogènes dont on calculera les masses mt , m,, wi3, m4...; on multipliera chacune d’elles par le carré de la distance à l’axe de rotation de son centre de figure , et m, r4* -}- m2 r.,5 -J- m3 r,1 -f- ... = 2 r1) =, somme de tous les

produits partiels, sera par approximation le moment d’inertie du corps irrégulier. Il arrive parfois que certaines parties du système tournant sont à la fois homogènes cl de formes géométriques, ou sensiblement telles. On abrège le calcul et on obtient â la fois une bien plus grande exactitude en évaluant d’abord les moments d’inertie de ces parties géométriques comme il est indiqué plus bas. On les ajoute ensuite aux autres moments du système que l’on n’a pu déterminer rigoureusement. En général , ces derniers moments déterminés par la méthode d’approximation pèchent essentiellement par défaut.

6. Corps géométriques et homogènes. Nous désignerons, en général, par -ar le poids du mètre cube de la substance du corps, g étant