ÉPAISSEUR
(Jü mur do face.
| du mur
de refend.
Aux fondements
EU
Au niveau des caves
Au rez-de-chaussée
Au 1" étage
Au 2* étage
Au 3* étage
20. Cloisons et pans de bois. On donne aux pans de bois uoc épaisseur moitié de celle des murs en maçonnerie et aux cloisons un quart seulement. Voici quelques autres résultats pratiques :
21. Murs en pierres de taille. Lorsque les murs sont entièrement en pierres de taille, on peut, suivant leur hauteur, et dans les maisons particulières, ne leur donner que de 0“.40 a 0m.65 d’épaisseur par le bas, cette épaisseur étant mesurée sur la retraite des premières assises.
22. Murs en pierres de taille et moellons, meulières ou briques. Deux assises de pierres de taille par le bas; mômes pierres aux encoignures et pieds-droits jusqu’à la hauteur de deux mètres; mômes pierres aux jambes sous poutres dans toute leur hauteur; le reste en moellons essemillis. Epaisseur au-dessus de la retraite — 0®. 64.
23. Murs de refend du même genre. Assise de pierre dure au rezde-chaussée. — Pieds-droits et plates-bandes des ouvertures en pierres de taille, le reste en moellon; épaisseur minimum, 0m.54 dans les grands bâtiments, cl 0“.48 dans les autres.
24. Mais ces régies empiriques applicables seulement aux cas les plus vulgaires, sont bien éloignées de pouvoir suffire aux besoins des ingénieurs ou mémo des architectes. Nous allons, en conséquence, reprendre celte importante question de la stabilité des murs, en prenant pour guide la seule théorie très-ingénieuse et très-géncrale, entièrement due à M. Moseley, et sur laquelle nous avons déjà appelé l’attention des ingénieurs au mol Ligne de résittance (p. 1049).
litized by GoogI
25. Conditions de stabilité d'un mur à parements verticaux E F B A d une épaisseur constante AB (fig. 2, pl. XCII).
P représente en intensité et direction la poussée qui est exercée sur un mètre courant de mur. Elle coupe l’axe du mur en O. t est le poids du métro cube de maçonnerie, poids qui, en pratique, doit être directement évalué par une pesée des matériaux mémos de la construction.
e l’épaisseur constante BA du mur.
a est l’angle de la direction de P avec la verticale.
I K est l’assise du mur immédiatement inférieure au point d'application de la poussée. Celte assise est horizontale.
AK=xest la distance de cette assise au sommet A du mur.
£ = CG est la distance, à partir de l'axe CD du mur, à laquelle son plan supérieur BA rencontre la direction de la poussée P. Par le point O, où la direction de P rencontre l’axe du mur, et suivant cette direction, menez OS proportionnelle à P; par le même point O, à la même échelle, menez ON proportionnelle au poids d’un mètre courant de mur ayant pour section verticale le rectangle B A IK. Achevez le parallélogramme OSRN, et OR est, en direction, intensité et sens, la résultante de la poussée et du poids de BAI K Prolongez cette résultante OR jusqu'à sa rencontre en Q avec l’assise IK. immédiatement inférieure, et Q sera nécessairement un point de la ligne de résistance (p. 1049). Appelons y la distance MQ de ce point à l’axe CM du mur, et menons R L perpendiculaire à cet axe ; nous aurons facilement :
ou enfin
Q M RL y R N sin. R N L
OM O L °U CM— CO-" ON + NL y P sin.*
x — fccotang.es «s- ex-j-P cos. a
relation qui donne pour l’équation générale de la ligne de résistance ou courbe des points d’application dans ce système.
(et sin, a — fc cos. a) "3- ex-f-Pcos.a
26. Cette courbe est une hyperbole équilatére. En effet, si après avoir mis l’équation (2) sous la forme
y ('yeaj-f-P cos. a) Px sin. a — P k cos. a
on divise par -are ; on transpose, on change les signes et I on ajoute à chacun des membres le terme
P’ sin. a cos. a
il vient
P cos. a /, Psin.at
rr e \ er t /
faisant alors
P sin. a
P cos. a
Cil = ;
IIT—
TV=xt
comme l’on a d’ailleurs :
V, = VQ=VM — MQ=CU — MQ=
J 1 CST g
arI = TV = !IV+TH=a: + ^^
rçr €
l’équalion de la courbe prend la forme
x, y,— -C°!>'tt | k -j- ? A'--j = quantité constante.
C’est l’équation d’une hyperbole équilalère (p. 937), dont l’asymptote est T X.
27. Conséqwnces. Donc, 1° la ligne de résistance approche sans cesse de TX, mais sans jamais l’atteindre; 2° tant que TX sera comprise dans l’intérieur de la masse, c’csl-a-dirc tant que l’on aura :
Psin.a 1
CH<CB ou <-e ou 2 Psin.a <-» e*
<ar e 2
la ligne de résistance ne coupera nulle part le parement extérieur, et la stabilité du mur, quant à la rotation, sera théoriquement assurée à qu-lque hauteur qu on l'élève-, 3° c'est à la base du mur que la ligne de résistance approche le plus du parement extérieur.
28. Plus grande hauteur du mur. On peut encore vérifier la seconde conséquence en remarquant que, pour le point de la courbe des résistances où elle toucherait le parement extérieur, on aurait y — \e. Or, si l’on lire de l’équation (2) de celle courbe, la valeur H de x correspondante à cette ordonnée extrême, il vient
P (*-f- J e) cos. a P «in. a — J 'St e*
expression qui montre que P sin. a = \ ra é1 rendrait la hauteur H du mur infinie, cl que, dés lors, la stabilité du mur, quant à la rotation, est strictement assurée contre la poussée P, quelle que soit sa.
hauteur, tant que P sin. a ne dépasse pas tant que l'on a
2 P sin. a < -sr e3
ou e>
2 P sin. a
ou comme ci-dessus,
29. Pour obtenir un excès (te stabilité déterminé par la valeur m in module de stabilité (*) (p. 1031), il suffit évidemment de faire tj—fèe — m) dans l’équation (2) de la ligne de résistance, et, mettant A=hauleur du mur à la place de x , on a, pour l'épaisseur pratique E compatible avec ce degré de stabilité,
’Pcos.a \ I // Peos.a
En faisant m=o dans celte formule, on aurait l’épaisseur e relative à l’équilibre strict.
30. Stabilité quant au glissement des assises. Il ne suffit pas que Je mur ne puisse pas tourner, il faut encore qu'aucune de ses assises ne puisse glisser sur son lit de pose. Or US, qui représente une poussée constante P, étant constant quelle que soit la position du lit horizontal I K, tandis que ON, qui représente la charge supérieure à ce lit, grandit sans cesse à mesure que ce lit s’abai-sc au-dessous du sommet du mur, l’angle R O M diminue quand x augmente. Mais cet angle ROM est égala celui que fait la direction de la résultante OR avec la normale en Q au lit 1 K. Donc, si cet angle est plus petit que l’angle ? du Irollemenl du lit IR pour la position la plusélevee de ce lit, il sera (dus petit à fortiori pour toute position de ce lit moins rapprochée du sommet au mur. Or, la position la plus élevée que puisse prendre IR est celle qui correspond à ON=0, et l’angle en quesliuu est alors ~<t. Donc, toutes les fois que l’on aura
le glissement ne sera possible sur aucune assise inférieure, et la ligne de pression, ou la courbe des directions (p. 1031), se réduit au point uiiiquc O.
(*) Il ne tant pas confondre ce module de stabilité avec le coefficient de stabilité des ingénieurs français. Ce coefficient est un facteur par lequel ils multiplient l'intensité de la poussée 1’ avant de déterminer l’épaisseur pratique qui mettra la construction au-dessus de l’équilibre strict. I.c module de stabilité de M. Moseley est une ligne m , plus comte dislance de la courbe des points d'application au périmètre du proiil, et il ressort du beau mémoire de Kl. Poncelet sur la stabilité des revêtements que Vaut an aurait adopté m — -d pour
le module de stabilité de ce genre de construction, d étant la distance de l’aréte exléiicurc de la base à la verticale passant par le centre de gravité «lu revêtement.
i 184 MURS.
31. Influence du déplacement du point d’application delà poussée P. Si, après avoir substitué h pour x et (£e — m) pour y dans l’équation (2), on en tire la valeur de m, on a
1 (PA sin. a — P k cos. a)
2 nr eh -(-P cos. a
formule qui montre que, pour une épaisseur déterminée e , le module de stabilité m peut acquérir la valeur que l’on voudra, en donnant à k une valeur convenable, c’est-à-dire en éloignant de l’axe du mur le point d’application G de la poussée à une distance convenable k. Unlrc autres moyens pratiques, on se contente d’indiquer celui de la fig. 3, pl. XCIl ; et la valeur de k qui donnera à son tour un module déterminé m sera
k=h lang-«- (J*- m) (» + p^) (5)
L’équilibre du mur exige, dans ces circonstances, que la ligne de résistance ne coupe nulle part le parement intérieur au-dessous du point l).
32. Mur d parements verticaux soutenu par des étais ( fig . *, pi. XCIl). Concevons que le poids de chacune des parties du mur qui est maintenu par un élai soit comme condensé dans un mètre courant du mur dont la section constante est DACB, et dont nous représenterons encore le poids du mètre cube par «•. Soit P la poussée au sommet, Q la poussée sur Pétai, 2 p le poids propre de cet élai, que l’on peut regarder comme divise en deux parties égales p— p agissant à chacune de ses extrémités E cl F; soient encore ^ l’angle formé par l’élai avec la verticale, b la distance CF de son pied F à celui C du mur; c = EC;el conservons les autres notations. Si X est le point où la ligne de résistance coupe la base du mur, CX — m est le module de stabilité, et l’égalité des moments, par rapport à X, donne
P X MX-f-pm=Qx XX -f-'sreA X (i e — m)
Îmisque X est un point pris sur la direction de la résultante des orces. Or, on a
MX = (*X) sin.a=(HK — HT) sin.ot=sin.a [A — (Hp-|-p/)]
= A sin . a — — m) cos. a
XN cos. $=c sin. ji-f-m cos. [5
Substituant ces valeurs dans l’équation des moments et la résolvant par rapport à Q, il vient pour la poussée sur Pétai
P [A sin. a — (A-j- Je) cos.a] — J c’ A-j-m (Pcon.a -(-<»• e h — {— p)
(6-j-m) co>. ^
MURS ( acte élai ).
expression qui, mise sous ia forme
Q=(P cos. <*-(-'=- eh-\-p) séc. jâ
P [6 cos.a — A sin.a-|-(A 4“i ®) cos.a] -j-'®- e A (J e -j- b) -|-p 6 (6-j-m) cos. P
monlrc plus évidemment queQ diminuera en mémo temps que m, lorsque le dernier terme sera une quantité positive ; ce qui aura probablement lieu pour tous les cas de la pratique. La plus petite valeur de m compatible avec la stabilité du mur est m= 0 ; donc, la plus petite valeur de Q, en supposant l’étai nécessaire à la stabilité, correspond aussi à cette valeur zéro de m, elle devient
P [A sin.a — (A-f-{ e) cos.a] — J «œ- e* A b cos. p
C’est l’effort que subirait Tétai non roidi (p. 710) s’il reposait simplement contre le mur. Quant à celui auquel il devrait être amené par le roidissement pour obtenir que le mur prit un degré de stabilité déterminé par m , il est donné par l’équation (6), équation qui montre que la stabilité diminue à mesure que m augmente au delà de e, et que le mur serait renversé en dedans si m excédait e.
33. Cas de deux étais dans un mime plan supportant un mur rectangulaire (fij. 5, pl. XC1I). On conserve les conventions de l’article précédent et Ton suppose essentiellement ici que l’un et l’autre étai sont nécessaires à la stabilité du mur ; de sorte que si on enlevait Tétai EF , le mur tournerait autour de /, et que, en l’absence de ef, il y aurait rotation autour de quelque point entre F et C.
Cela posé, admettre que l’effort Q de l’étai EF est strictement celui qui est nécessaire pour empêcher la rotation autour de f, ce serait admettre que la ligne de résistance passe par ce point f. Au contraire, supposer l’étai EF roidi au-delà de ce qui est nécessaire à l’équilibre strict, c’est supposer, comme nous le faisons, que la ligne de résistauce coupe fg en quelque point intérieur au massif, x par exemple. Faisons donc fx=zm-, fD = h fi=b et l’effort Q de l’étai E F sera donné par l’équation (6).
Raisonnant pour le second étai ef comme pour le premier; s étant le point où la ligne de résistance coupe la base du mur, Cz — mi-, CE=é, ; Ce=b2 ; C /e=|î, ; C D= A, , l’effort de l’étai ef= Q, , son poids propre 2/»,, on a l’équation des moments
O, (*î+mi)C0S-Pi+Q (^+m,)cos-P+'nrcA, (î«— »»,)
= P[A, sin.a— (*+!«— mjcos.aj-ffp-j-j»,) m,. . . . (7)
Substituant dans cette équation la valeur de Q tirée de (6), en observant que h exprime ici la hauteur f D, puis la résolvant par
1 1 gG MURS (avec double étai).
rapport à Q,, cet effort Q, sur ef, sera déterminé de manière que les excès de stabilité du mur sur son assise fg et sur sa base CDseront respectivement m et tnr
Si mt = m, les massifs intérieurs et supérieurs à fg seront égalé
ment stables. . . , , .
Si m =m = 0 , l’effort sur chaque étai est strictement celui qui
détruit'la tendance virtuelle du mur au renversement, et l’on a
a,°rS (P gin. a - \ ^ «i) (h , b - h A,) + P (b, - 6) (* + \ e) co*. »
Ql — ’ ” b 6, cos. p,
Q est d’ailleurs donné en général par l’équation (6).
34. Cas de deux murs rectangulaires parallèles dont l’un est maintenu par des étais qui s’appuient sur le sommet de l’autre (fig. 6, pl XCII). AB, CD sont les deux murs parallèles, EF l’un des étais ; l’effort Q qu’il exerce peut être déterminé précisément comme au «32 , en ayant égard à la dernière valeur de XN, et de telle sorte que la ligne de résistance coupe la base du mur AB à une distance déterminée m de l’arétc de cette base.
Soit m =Dx le module de stabilité du mur parallèle C I) , e, son épaisseur,* h. sa hauteur, fc, la distance du point d’appui de l'étai à l’axe de ce mur, le poids du mètre cube de sa maçonnerie, Q étant toujours l’inclinaison de l étai sur la verticale et 2p son poids propre, l’égalité des moments par rapport à x donne facilement
Q [A.wn.p-H^-R*.— m,)co*.p]=*1e,*i(î«1— ^ "O +(*i + î«« — m«)f
Mettant pour Q sa valeur tirée de l’équation (6) et réduisant,
on a
p [ü gin, a — (4+ «j — I g«* A-f-m (P cos. » + g eb+P)
c ein.ji -\-m cos. S
'7r, e,h. (l«i — mt) + + » *i — mi)P ^
= A,sin.p + (41 + ;ei — ’"i) cos-?
équation qui permettra de déterminer le rapport à établir entre les dimensions de l’un et l’autre mur et la poussée L’, de telle sorte que chacun d’eux ait un excès de stabilité fixé d’avance.
Si m=0, le mur AB n’exercera sur l’étai que l’effort dû à sa tendance virtuelle au déversement, et la valeur de m tirée de l’équation ci-dessus donnera l’excès de stabilité du mur extérieur Cl)
dans cette hypothèse.
Si m=m = 0, l’un et l’autre mur satisferont aux conditions de l’équilibre strict, et l’équation ci-dessus fournira les rapports entre leurs dimensions et la valeur de la poussée correspondante à cet état d’équilibre instable de la construction.
MURS (avec planchers). 1187
35. Nef gothique résistant A la poussée de son comble, à l’aide des arbalétriers qui supportent la toiture de sesbas côtés ( fig . 7. pl. XCII). Ce cas est absolument le même que le précédent. Il comprend une foule d’applications possibles aux bâtiments industriels. Je renvoie à l’ouvrage de M. Moseley pour les conditions de stabilité des piliers ou contreforts gothiques, surmontés de clochetons ou pinacles, ne pouvant m’éloigner ici des cas les plus ordinaires de la pratique des ingénieurs.
36. Murs portant les abouts des poutres d’un plancher (fig . 1, pl. XC1II). Les poutres des planchers reposent habituellement par leurs extrémités sur des sablières engagées dans l’épaisseur des murs, et dans les constructions légères, elles sont invariablement assemblées sur ces sablières, de manière à relier entre eux les deux murs opposés.
p étant le poids du plancher et de la surcharge que porte la partie A B CD du mur, c la hauteur B E, x le point où la base est coupée par la ligne de résistance, on a pour l’équation des moments, par rapport à ce point, en conservant les autres notations Cx=m CD— h
NX xQ+KX X'»eA+XBXp=MXxP ou encore
Qc + (;e — m)*reh-\-(e — m)p = P [A sin. a — (A-|-je — m) cos. a].
A P[Asiu.a— (t-j-4e)cos «] — e'h — pe-j-m (P cos.a-J-'in- e ft-|-p) /n^
relation qui montre que la tension Q de la poutre diminue avec m; lorsque m = 0 , ou a simplement
q P[* sin.a — (Ar-flg) cos.aj— \ rve'h — pe
Q est alors l’effort strictement nécessaire pour s’opposer au déversement, et si les poutres reposent simplement sur les sablières, leur frottement doit être au moins =Q par mètre courant du mur.
37. Cas de deux planchers (fig. 2, pl. XCIII). Adoptant les notations suffisamment indiquées par la figure, on a, pour la condition de l’équilibre strict m — mi= 0, le mur étant sur le point de tourner autour des points g et C
Q,c=(A — — Psin.a)-|-P(/;-|— Jc)cos.ot-{-pe — 00
et Q serait donné, pour ce cas, par l’équation (10).
38. Stabilité d’un mur rectangulaire soutenu par des contreforts également espacés et d’une saillie constante (fig. 3, pl. XCIII). On admettra ici que l’effet de contreforts d’une saillie constante e7, et également espacés, est celui que produirait un mur continu DGCP
1 f 88 MURS ( poussée des ferme»).
d’une même épaisseur e2 qui résulterait de l’expansion latérale d’un contrefort jusqu’au contrefort voisin, et dont le nouveau volume aurait., par métré cube, un poids -a-, tel que le poids total du contrefort, ainsi réparti le long du mur qu’il soutient, fût le même qu'avant sa dilatation latérale. Il résultera de cette convention un inur continu, composé de deux parties EAFB, DG FC, dont les poids par mètre cube seront diflérents et respectivement égaux à tb-, , tsr2. I comptée à partir de la face CD est la distance à celte face du point d’application de la poussée P ; les autres notations sont suffisamment indiquées sur la ligure. CX étant toujours =m ou X étant le point où la ligne de résistance vient couper la base du système, on a facilement pour l'équation des moments par rap port à ce point
P [A, sîd.oi — (t — tn) cos.a]^: fe, — m,-|-î e,) f, — m) <r)e,ht. . (12)
39. Si, comme il arrive habituellement, le mur et le contrefort sont construits avec les mêmes matériaux, b étant la largeur réelle du contrefort parallèlement au mur, et c l’entre-axe ou l'espacement constant d'un contrefort au suivant, on a évidemment
«■, e,c= ■s r e 6 ou -=— = n 1 J 6 ■»,
Faisant pour abréger ce dernier rapport = n, éliminant entre celte équation et la précédente, et désignant simplement par rr le poids du mètre cube de la maçonnerie, il vient
P (A, sin.a — /cos. a )=£«■ (e.’Aj-f 2e, e,A, -f-i e3‘
— »|Pcos.«+* (f,*, + ;«,*»)] (13)
équation qui fixe le rapport, avec la poussée P, des dimensions d'uo mur à contreforts doué d’un excès de stabilité mesuré parm. Dans tous les cas pratiques, on résoudra facilement l’équation (13) par rapport e2, ce qui fixera l’épaisseur uniforme du contrefort compatible avec m. La saillie e2 strictement suffisante pour résister à la poussée P, devient, en faisant m = 0.
-neI^l/i^(A.siD.a/c<),.a) + n^(^-l)eII (14)
iO. Murs rectangulaires résistant à la poussée de fermes sans tirant (fig. 4, pl. XCIII). Reprenons ici l’équation (2) de la ligne de résistance d’un mur rectangulaire
P (x sin. a — k co». a)
^ nr e: r -f- P cos. a
MURS (avec contreforts). 118i)
et remarquons que P sin.a et P cos. a y représentent respectivement les composantes horizontale et verticale de la poussée P par mètre courant. Or, on peut voir à l’article poussée des charpentes que, dans ce cas, ces composantes ont pour valeur, savoir :
horizontalement, - L coséc.t= — - —
2 1 2 sin.i
et verticalement, •a-, L séc. i — — —
L étant la demi-portée, i l’inclinaison de l’arhalétrier sur l’horizon. et -s-, le poids du mètre carré de toiture. Substituant ces valeurs dans l’équation (2) à la place de P sin.a et P cos. a , il vient pour Yèquation de la ligne de résistance
L(x cos. i — 2 k sin. i)
2 sin.i ( — ex cos.i-t- L
k étant toujours la distance du pied de l’arbalétrier à l’axe du inur, et «■ le poids du mètre cube de maçonnerie.
En mettant dans celte équation h =z hauteur du mur à la place de x , (J e — m) pour y, et la résolvant par rapport à e, on aura, comme pour le mur ordinaire (25), l’épaisseur e qui, sous une hauteur h. assurera au mur un excès de stabilité m.
On pourrait de même, en la résolvant par rapport à », déterminer l’inclinaison qui, sous une portée donnée 2 L, une hauteur h et une épaisseur déterminées e, laisserait au mur le même excès de stabilité, etc.
41. S» le mur est maintenu par des contreforts, les substitutions de la valeur des composantes horizontale et verticale de la poussée du toit dans l’équation (13) donneront
^,L(j ht coséc.» — /séc.f)=-‘ ® j— 2 e, A t — {— ^ e^-h^j
i x cotan". » -
