UT

— • e x cos. » + L

rILséc.»’-f-'® ht-\- - ea (16)

équation qui déterminera l’cpaisscur des contreforts, qui assurerait un excès m de stabilité.

42. Centre de gravité d’un mur ou d’un contrefort dont les parements sont inclinés d’un angle quelconque sur la verticale (fig. 5, pl. XC1II). Soit H le centre de gravité du parallélogramme A BEI) dont l’aire est évidemment =ec.

E celui du triangle BEC=|(A — e)c.

G celui du mur ou contrefort dont la section = { (è-j-e)c; tirez

1190 MURS (avec laïus).

HM, GL, K N perpendiculairement à la hauteur AF = c, et appelons X la distance G L à cette verticale du centre de gravité G; on a

lX\c(b+e)=z tcXHM-fîe(J- e)XKN or HM tang. (e-|-c lang.04)

KN = j(4-}-2e+2c lang.as) ce qui donne, réductions faites,

} e* + 6* + tg + c(g + 2t) tang. », fi

Diverses transformations et substitutions sur lesquelles je n’insiste pas donnent encore celle autre expression

À — * c' (la"g-,a. ~ «ans-1»») + « « ». + »*

e (lang. a, — tang. a,) + ‘2 e

qui s’appliquerait au cas où le talus Ad plonge vers l’intérieur, en y faisant alors a2 et dès lors lang.a2 négatifs. Tang.oc, est évidemment zéro lorsque le parement intérieur est vertical.

43. Equation de la ligne de résistance d’un mur à talus quelconques. Soit LM (fig. 6, pi XCIII) un lit horizontal du mur situé à une distance x de son sommet, T K une verticale passant par le centre de gravité du massif AMLB qui repose sur ce lit. Prolongez le plan LM jusqu’à sa rencontre avec le plan vertical A F, K V sera la valeur de X déterminée dans le numéro précédent, en y mettant x au lieu de c.

Soit PO la direction de la poussée P, OS son intensité P, ON le poids du massif BLMA , OR la résultante de ces deux efforts, Q le point où la direction de cette résultante vient rencontrer le lit LM, point qui appartient dès lors à la courbe des points d’application ou ligne de résistance. Faisant

VQ=y; AG~k, angleTOP = i

et conservant les notations connues, les triangles semblables donnent, ainsi qu’on l’a vu déjà,

ÜK Kl ÔK <fl

On a d'ailleurs QK—QV — KV=y — X

0 K = T K — TO=j- — (X-J-Æ) cotang. »

R I — P sin . 1

0 1 =0 N+ N I = ’ vx ( A B + L M) -f P cos. «

3gk

Digiti;

MURS ( batardeaux ).

01 — -J » a; [2 «-(-(tang.a, — - long. a2)] P cos. «

ce qui donne en fonction de \ (18)

}-<srxX[2c (tan". a, — tang. a, 1]-)- P (# sin. » — k cos.t)

^ }- » X [2 « -\-x (tang. a, — tang. a,)] -f- P cos. i

Mettant a? à la place de c dans l’équation (18)., multipliant les deux membres de cette équation par le dénominateur de son second membre et par { -œ-x, on a pour V équation générale de la ligne de résistance

(‘®\r,(tang.,a1 — tang.3a,)-j-iî'X,elang.oi1-}-'at-xe’-}-2P(.r sin.t — k cos.t)

J esr x [2 e -{-x (tang. a, — tang .at,)J + -2 P cos.t ^

En y faisant tang. *3=0, on aura l’équation relative au mura parement intérieur vertical. I

44. On peut remarquer que l’équation ayant trois dimensions en x , il pourra y avoir trois valeurs de x pour certaines valeurs de y; la courbe des points d’application a donc un point d’inflexion.

Stabilité du mur à talus quelconques. L’équation précédente de la ligne de résistance (19) suffit pour déterminer toutes les conditions de stabilité, ainsi qu’on l’a montré pour le cas du mur à parements verticaux. Nous remarquerons seulement que si l’on voulait fixer l’inclinaison a, du talus extérieur, de telle sorte que la ligne de résistance vint couper la base du mur à une distance donnée m du pied de ce talus, il faudrait résoudre l’équation ci-dessus par rapport à tang. a,, après y avoir substitué la hauteur c du mur pour x, puis (CE — m)=(e-}-c(ang.a1 — m) pour y, e étant l’épaisseur B A au sommet. On obtiendrait facilement tout autre élément de la question, en résolvant l’équation de la ligne de résistance par rapport à cet élément; et l’on peut remarquer que, dans toutes les applications, l’apparente complication des formules disparait par l’introduction des données numériques du problème pratique à résoudre.

45. Stabilité d’un mur d’épaisseur uniforme soumis à la poussée de l'eau stagnante. Batardeaux rectangulaires (fig . 7 , pl. XCIJI). Tout se borne encore à trouver l’équation de la ligne de résistance du batardeau, et les notations étant clairement indiquées sur la figure, on a immédiatement, savoir :

Résultante P de la poussée du liquide sur un mètre courant du mur et une hauteur (x — n), x étant la distance au sommet d’un lit quelconque IK,

P=(x — n) X II ï — ») = ï n(x — n)J (20)

Car la pression d’un liquide sur une surface plane est le poids du

1192 MURS ( batardeaux ).

prisme liquide, dont la base est cette surface et la hauteur égale la profondeur du centre de gravité de celle aircau-dessousduniveau.

Quant au point d'application de celte résultante, il est au centre de pression (p. 259) de la surface ou à } (x — n) au-dessous de ce même niveau.

O étant toujours le point où la poussée du liquide rencontre l’axe du massif IK AB, OS l'intensité I* de cette poussée, ON='orex le poids du massif, OR la résultante de ces deux efforts, Q le point (de la ligne de résistance) où sa direction rencontre le lit IK, QM — y, on a

QM RN y 4 II (x — *»)’

MO NO J (x — n) 'sr e x

et pour ['équation de la ligne de résistance

6 rx SX

6 <c te

La dernière expression de y est destinée à montrer que y aug mente en même temps que x. Âiusi la ligne de résistance se rapproche de plus en plus du parement extérieur à mesure que la hauteur augmente

46. Fixer la hauteur h du batardeau en sorte que la ligne de résistance coupe la base d une distance donnée m du parement extérieur. Il suffit évidemment de mettre dans l’équation (21) h pour x et (ï« — m) pour y, puis de la résoudre par rapport à e, ce qui donne pour l’épaisseur pratique E

m étant le module de stabilité.

En faisant m — o, on a pour l’épaisseur e correspondant à l’équilibre strict

47. Observation. En essayant de rapprocher cette formule (22) de celle qui a été donnée par M. Poncelet pour le même cas, en partant de la stabilité des revêtements de Vauban ( § 8) , je trouve qu’eu faisant ici on obtient

| r ITT fl

ce qui est, à un millième près en plus, l’épaisseur pratique de M. Poncelet. Je remarque en outre que l’épaisseur ci-dessus n’est

MURS ( batardeaux ). 119.1

l'ion autre chose que l’épaisseur e correspondant à l’équilibre strict exactement augmentée de sa moitié

Faut-il voir dans cette simple règle un principe de construction d’une application générale?

48. Conditions de la stabilité relatives au glissement des assises horizontales. L’angle S RO étant l’inclinaison de la résultante des forces avec la normale au lit IK, il n’y aura point de glissement possible sur ce lit, tant que l’angle SRO sera moindre que l’angle ? du frotlcmeut de l’assise. Or

OS=ON lang.SRO ou P=e*ex tang. SRO

. cnn n(* — n)>

ou encore tang. SRO=— |

-l'a- e jc

La condition de stabilité, quant au glissement, revient donc à

-2^r<tans-- (26)

Ce qui doone pour la valeur de x

*<n+~e tang. ? [ I + [/T+l? ?]. (27)

49 . Le batardeau ayant un talus extérieur incliné de l'angle a sur la verticale (fig. 1, pl. XC1V), soit XY un lit horizontal situé à la distance x du sommet, SM la verticale passant par le centre de gravité du massif qui pose sur ce lit,

AXz^iCi XQ— y; J1X=X, AE=n

Conservant d’ailleurs les notations précédentes et raisonnant comme au numéro précédent, il vient