La sous-tangente est double de l’abscisse ; et AT= AP

Tangente TM = 2 \/x (*"+*) = 2 \/~v (7)

to. Si de la sous-tangente 2x on retranche FP=x — z, il reste FT=*-|-x=o: donc la distance du point quelconque M à la directrice égale la distance du foyer au point T, où la tangente rencontre l’axe des x. Ces lignes HM, FT, étant parallèles et égales, MF et UT sont nécessairement parallèles et égales entre elles: mais FM=t>=HM : donc HMFT est un losange : donc aussi ses diagonales H F, TM se coupent réciproquement à angle droit au point O en parties égales, et la direction MT de la tangente en M perpendiculaire à HF passe par le milieu de celte ligne et divise l’anglo HMF en deux parties égales.

lt. Les rayons lumineux AM parallèles à l’axe AI d’une parabole se réfléchissent au foyer, et ceux qui émanent du foyer F se réfléchissent parallèlement à l’axe : angle QMA=TMF.

12. La sous-tangente de la parabole étant =2x, il en résulte, eu en retranchant l’abscisse x du point M, que AT est = zou què le sommet A et le pied T de la tangente sont toujours distants de jc .

13. Donc les points milieux O de toutes les tangentes à la parabole sont tous situés sur la tangente AT’ au sommet A.

14. El si du point O', où une tangente quelconque rencontre AT', on lui élève une perpendiculaire O'F, elle passera par le foyer F.

15. Rayon de courbure p. Comme pour les autres sections coniques, il est le quotient du cube de la uormalc N par le carré du demi-paramètre.

W» Il /(**+,)3 P ÜP)' 2 v p

Faisant x = 0, on trouve f/> = 2 z pour le rayon de courbure au sommet A de la courbe.

16. Equation polaire. 0 étant l’angle IFM compté de FI, et formé par l’axe des x avec le rayon vecteur » = FM du point M, on a

F P =( x — s)= v cos.0 = e — 2 s

1 — co«. 0

1 7 , Longueur s de l’arc parabolique A M . On a

ds=z dy2-j-dx2=rfx 1 -(- î expression qui, intégrée de 0 à x. donne

s=arc AM= x2-|-zx-l-zlog.hyp.|^p/ ï-f- Î.-J- 1 j(10)

Un arc quelconque RM s’obtiendra ensuite par différence arcRM=arc AM — arc AR

18. Aire A de F espace parabolique AMM' (p. 434). On a AMM'= 2 APM.

/* 2 x V px 2

ydx= J dxl/px = =3^- • (<*)

AMM'=^xy = |x. 2y (12)

de sorte que les espaces paraboliques APM, AMM' terminés par

des perpendiculaires à l’axe sont chacun les - des rectangles qui leur seraient circonscrits.

19. Volume V du paraboloïde engendré par la révolution de l’arc

AM autour de AP. On l’obtiendra en multipliant l’aire APM par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette aire, centre

situé (p. 243) à une distance de l’axe des x — -y, il vient donc

c’est la moitié du volume du cylindre de même base ~y! et de même hauteur x.

Le tronc de paraboloïde s’obtiendra facilement par différence

20. Tracés. La parabole se trace par points, les tracés continus manquant de précision. 1° Le paramètre pétant connu, on prend des x croissantes par différences égales; on élève par leurs extrémités des ordonnées y doubles et indéfinies : l’équation (3) donne les longueurs des ordonnées correspondantes à chaque valeur dex. On fait passer une courbe par leurs extrémités, soit à la règle, soit au pistolet.

21. Le lieu A du sommet étant fixe ainsi que la direction de l’axe des x T VI qui passe par A, on fait AF = AY —z=z\p; ce qui donne le foyer F et la position de la directrice perpendiculaire à TVI, lorsqu’on connaît * ou p. Par des points quelconques de l’axe des x, on élève des ordonnées indéfinies MM' ; puis, du foyer F comme centre et avec un rayon (x -}-*)= YP= distance de leurs pieds k la directrice, on recoupe chaque ordonnée positive et négative par un petit arc de cercle qui limite leur longueur (2)

22. Dans les arts , le tracé suivant donne la parabole avec une approximation très-grande (p/. XCY, fig. 6). On suppose connues la plus grande ordonnée =CB et la plus grande abscisse =CV ; sur le double AB de la première, on construit un triangle isoscèle ADB d’une hauteur DC = 2CV ; on divise chacun de ses côtés DA, DB en un même nombre de parties égales, seize par exemple; on numérote l’un des côtés de haut en bas, et l’autre de bas en haut, comme l’indique la Ggure, où l’on n’a adopté toutefois que huit divisions. Il ne reste plus qu’à tirer des droites par les points de division de même numéro. Avec seize divisions, le polygone parabolique se confondrait à l’œil avec la parabole.

23. Tangentes. Par un point donné M sur la courbe , mener une tangente à la parabole (fig. 1, pl. XCVIj. Menez MH perpendiculaire à la directrice ou à l’ordonnée MP, et alors égale au rayon vecteur FM du point, joignez HF; le milieu 0 de celte ligne étant sur la tangente (10), tirez MOT.

24. Ou, mieux encore, marquez le pied P de l’ordonnée du point donné M; faites ATz=AP=x, et menez MT (9).

25. D'un point extérieur , mener des tangentes à la parabole. Si le point extérieur T est sur l’axe des x, faites AP = AT, menez la