OK AK-BI

Ainsi, 01=1, BF = p, 0R = £ — p étant des quantités invariables, c=BE, qui ne dépend que de ces quantités, aura une valeur constante indépendante de la valeur des angles ; et, quelque inclinaison que prenne la droite RI par le jeu de l’instrument, cette droite passera toujours par un seul et même point E de AG, point dont la distance c à l’articulation B ne dépendra que des positions données au calquoir R et nu pivot T. Le point E est la position que reçoit l’axe du crayon.

On voit en outre que les triangles EBI, EAR, ayant toujours leurs côtés parallèles, seront toujours semblables, quels que soient les angles des règles l et les positions de celles-ci ; d’où

El : El :: AB: EB : c

c'est à-dire que les distances respectives, au pivot , du calquoir et du crayon sont entre elles dans le rapport constant

Donc, si le calquoir trace une droite RR', le crayon tracera une droite parallèle EE' qui sera à la première dans le rapport constant j. Car R'IE' étant nécessairement une droite aussi bien que RIE, les parties de ces droites ont pour rapport constant Kl K'I AB j

Kl tFÎ BË c

et les triangles EIE', RIE', ayant leurs angles en l égaux comme opposés au sommet, et les côtés qui le comprennent proportionnels, sont semblables, d’où

RR' : EE' ::l :c

et toute figure décrite par le calquoir est reproduite par le crayon dans ce même rapport.

La constitution de l’instrument s’opposant a ce que le pivot I soit indéfiniment rapproché de l’articulation D, soit 1' le point le plus voisin de l) où le pivot puisse être amené sur la règle BD, et P cette valeur maximum dcBI; cherchons la position qu’il faudrait alors donner au calquoir K pour que le crayon E, nécessairement

1230 PANTOGRAPHE.

situé sur la droite Kl', traçât une copie de mime grandeur que le modèle : c’est évidemment demander de faire c—l dans la formule (1), ce qui donnera K=2 P ou AK=2B1\

Or on peut fixer à tout jamais le calquoir dans cette position extrême, et pour les réductions à toute autre échelle, on n’aura plus à faire varier que les positions du pivot I et du crayon E, qui dépendent d’ailleurs l’une de l'autre, puisque K, I, E, sont toujours en ligne droite. Faisant alors M la grandeur d’une ligne du modèle, m celle de la ligne homologue de la copie, la formule (1 ) donne pour placer le pivot et le crayon les valeurs ci-dessous de p et de c, K étant constant.

de sorte qu'aux réductions à — indiquées dans la première colonne répondent les distances c etp du crayon cl du pivot à l’articulation B, marquées dans la deuxième et la troisième.

if

En vertu d’un ancien et incommode usage, les artistes indiquent sur l’échelle de l’instrument les positions du crayon qui correspondent à des diminutions de moitié, des deux tiers, etc., etc., ce qui explique l’emploi de la quatrième colonne qui montre la concordance entre leurs indications et l’expression habituelle des rapports de grandeur des lignes. Ainsi une réduction au -J- est pour eux une diminution des *.

Je n’insiste pas sur les rapports A' agrandissement des figures que l’on obtiendrait en mettant le calquoir à la place du crayon cl réciproquement , parce que le pantographe est rarement employé dans ce but -, mais j’indique sommairement comment il faut procé-

der lorsque la grandeur du dessin à réduire exige le déplacement général de l’instrument.

On tracera avant ce déplacement deux lignes homologues AB, ab sur le modèle et sur la copie. — On donnera alors à l'instrument sa nouvelle position. On placera le calquoir sur A, et l’on amènera a de la copie sous la pointe du crayon; on déviera le crayon sans changer la position du pivot de l’instrument; on enfoncera une aiguille line en a. Alors on amènera le calquoir sur B du modèle et l’on fera pivoter la copie autour de l’aiguille a jusqu’à ce que b arrive exactement sous la pointe du crayon. Il n’y a plus alors qu’à continuer la réduction.

PARABOLE (pi XCVI, fig. 1). 1. Un point fixe F nommé foyer est donné ainsi que la position d’une droite YZ qu’on appelle directrice, la courbe M'AM, dont chaque point M est à égales distances MF=MH du foyer F et de la directrice, est une parabole. Celte courbe est celle que l’on obtiendrait en coupant un cône droit par un plan parallèle à l’une de ses génératrices.

2. Il résulte de la définition même de la parabole que, si, sur la perpendiculaire FV menée du foyer F à la directrice, on prend un point A à égales distances AF= YA —z de F et de V, ce point appartient à la courbe; il en est le sommet. La perpendiculaire FAV prolongée est prise habituellement pour l’axe des abscisses x • PA1 F K, sont les ordonnées y de la courbe. La double ordonnée K K' qui passe par le foyer F, est le paramètre p de la parabole et la droite FM menée du foyer à un point quelconque M de la courbe est le rayon vecteur v de ce point : o = ( jr — j— a?) par définition.

3. Equation de la courbe. Les x étant comptées à partir du sommet A, la propriété du triangle rectangle donne immédiatement :

FM==FP’-}- PM* ou r!l = (x-}-«),=(a: — 2)î-f-yI d’où y2=4 xz et y=±2| 7 zx ■ . ... (\

U. Cette équation de la courbe suffit pour montrer que 1° la parabole a deux branches AM, AM' parfaitement symétriques, puisqu’à une valeur quelconque de x correspondent deux valeurs de y égalés et de signes contraires; 2° ces branches sont infinies, car l’ordonnée y a toujours une valeur réelle, quelque grand que soit * positif; 3° y devenant imaginaire, lorsque l’on fait a; négatif, aucun point de la courbe n’est situé du côté de la directrice par rapport au sommet A.

5. Paramètre p=: KK.'. Faisant x—z dans l’équaliou (1), elle donne y=ïP— :£2,î: donc le paramètre p ou la double ordonnée

qui passe par le foyer F est égal d quatre fois la distance i du sommet au foyer

P- ** .... * = ÎP (2)

6. Equation au paramètre. Mettant cette valeur à la place de x dans (1), on a pour V équation au paramètre

y'zxzpx -, y=±l/^x ou — = paramètre . . (3)

c’est-à-dire que le carré de l’ordonnée d’un point est égal au produit de son abscisse par le paramètre. Donc aussi les carrés des ordonnées y % y'* de deux points M, R, sont entre eux comme leurs abscisses X, x'.

7. Tangentes, normales, etc. Les méthodes générales exposées au mot Courbes (p. 429) donnent facilement pour la tangente TM la sous-tangente PT, la normale MI et la sous-normale PI au point quelconque M dont les ordonnées sont x et y, savoir :

Sous-normale PI = 2s=ip (4)

8. Ainsi la sous-normale est la même pour tous les points de la courbe, et égale à la moitié du paramètre ou à la distance du foyer à la directrice.

Normale MI = N = J (4^4-p) (5)

Sous-tangente TP = -2x (6)