III

Obus de 6 p..

Bulles de fusil

O.Si!

d'infanterie

On multipliera les coefficients ci-dessus par 1.30 pour l’orme,

1 .8 pour le sapin et le bouleau, et enfin par 2 pour le peuplier.

Dans le chêne, les fibres se déplacent latéralement sur le passage du projectile et se resserrent ensuite, de manière à ne laisser qu’un vide à peine suffisant pour y introduire la sonde : ce qui explique comment les vaisseaux reçoivent des boulets au-dessous de la flottaison sans couler bas. Mais l’écartement des fibres produit des déchirures longitudinales qui, pour les plus petits boulets, ont jusqu’à 2 mètres de longueur. Les éclats sont lancés jusqu’à 12 et 15 mètres, et les plus fortes pièces peuvent être promptement détruites. Dans le sapin, toutes les fibres frappées sont à peu près rompues ; mais l’effet se borne au vide produit.

Dans les bonnes maçonneries de moellons.

Boulets de 8. . . j 1 .25 J 0.41 J 0.4o| 0.38| 0 3i| 0.3o| 0 2ôj 0.23j 0.49| 0 ti| 0.H

On multipliera les coefficients ci-dessus, savoir :

Par 1 .23 pour la maçonnerie en moellons de médiocre qualité ;

Par 1.75 pour la maçonnerie de briques;

Par 9.46 pour les roches calcaires.

L’effet des obus contre les maçonneries est à peu près nul ; ils se brisent au moment du choc; ou bien, tirés à très-petites charges, ils ne produisent que des impressions très-faibles.

Les trous faits par les boulets dans les bonnes maçonneries de moellons, lorsqu’ils sont tirés perpendiculairement et à petites distances, sont formés d’un cotonuoir extérieur dont le diamèlro moyen égale environ cinq fois celui du projectile, et d’une partie intérieure à peu près cylindrique. L’entonnoir extérieur parait pro-

Di<

doit par la réaclion de la maçonnerie, dont quelques débris sont projetés jusqu’à 40 et 50 mètres. La traînée de décombres devant les trous est d’environ 6 mètres. Presque tous les boulets sont brisés, même lorsqu’ils sont tirés à faible charge, et, en général, suivant des plans méridiens dont le pôle est le point qui a frappé le premier. Sur les boulets restés entiers et sur les fragments, on observe, en outre, des sillons rayonnants autour du même point, étayant quelquefois 0m.0005 de profondeur.

Les balles des carabines forcées commencent à être meurtrières à 500 mètres, et les balles des fusils de munition a 300 mètres. Bien que ces dernières blessent encore à des distances beaucoup plus grandes, ce n’est guère qu’à 200 mètres que le feu de l’infanterie est regardé comme efficace. A 150 mètres, la cuirasse des cuirassiers français, de 0m.0028 d’épaisseur, n’est pas à l’épreuve du fusil de munition, ni du pistolet à 35 mètres.

La balle du fusil de munition, tirée à 10 mètres, pénètre de 0n,.i-2 dans le papier ; à 50 mètres, elle ne perce pas un madrier de chêne de 0m.02 revêtu du côté de la balle d’une feuille de tôle, de 0m.0025 d’épaisseur; à 22 mètres, elle pénètre de 0m.72 dans des matelas de laine placés entre deux claies; à 40 mètres, elle traverse 14 matelas simplement appuyés contre une planche de chêne et formant une épaisseur de laine de lm.12 ; tirée à bout portant, elle ne traverse pas un madrier de chêne de 0m.10d’épaisseur; mais après un petit nombre de coups, le madrier est fendu ; de sorte que, pour être à l’épreuve de la balle, des poutrelles en chêne doivent recevoir environ 0m.15 d’épaisseur.

Fourcroy, dès 1768, avait remarqué que toutes les balles tirées dans le sable se trouvaient fort élargies, convexes par le côté qui a frappé le sable, cl fort concaves du côté du fusil; oue les bords en sont devenus fort minces, garnis de déchirures et ébarburcs fort irréguliércsqui ont jusqu’à 0m.02 de longueur; quo la partie concave se trouve recomblée de sable entassé, fort adhérent, fort dur et presque aussi fin que s’il avait été porphyrisé; enfin que la partie convexe est toute inégale, raboteuse, souvent écorchée et déchirée, et par conséquent la plupart des balles diminuées de leur poids.

Des chandelles calibrées et raccourcies au poids de 0k. 030, tirées au lieu de balles dans le sable, y pénètrent à la même profondeur, mais en faisant des trous plus larges; tirées à 3 mètres de distance de 2 feuillets de chêne, chacun de 0“. 04 d’épaisseur, dressés contre une coupe de sable, elles les percent tous deux, à chaque coup, d’un trou irrégulier d’environ 0".04 dans sa plus grande largeur.

Boulets. D’après Cormontaingnej le simple roulis d’un boulet de calibre quelconque est extrêmement dangereux pour les hommes, même à une grande distance. Ils ricochent sous les angles de 5° sur

l’eau, de 8” sur là lerrc ferme, de 26* sur le bois, et de 33* sur la maçonnerie à la charge de | de leur poids. Si la charge est plus forte, iis ne ricochent que sous des angles plus aigus.

PENDULE. Corps solide pesant, oscillant autour d’un axe fixe horizontal (pl. XCVIII, fig. 1).

Pendule simple. On simplifie la recherche des lois du mouvement d’un tel corps en étudiant d’abord celles d’un pendule idéal supposé formé d’un fil inextensible AB, inflexible, sans poids, suspendu par l’une de ses extrémités à un point fixe A, cl supportant à l’autre une seule molécule matériello B dont nous ferons le poids — p; c’est ce que l’on appelle le pendule simple.

Considérons le système au moment ou, écarté de la verticale AB d’un angle BAC=A , il vient d’étro abandonné à lui-méme sans aucune espèce d’impulsion initiale, et appelons L sa longueur constante AC. Il e6t d’abord évident que le poids p ne peut , dans ces hypothèses, parcourir qu’un arc de cercle de rayon L; et, soit qu’on le considère comme un corps qui descend de la hauteur verticale BD=1I de l’arc décrit, ou comme un corps qui tourne autour du point fixe A, le principe des forces vives (p. 786) donne

pH = -P- =À- Q2Ll.

d’où V = V 2y H == 2g L (1 — cos. A) = L Q. . (2)

en appelant V la vitesse, (angentiellc à la courbe, acquise au point le plus bas B, et Q la vitesse angulaire do p en ce même point.

Ainsi : 1° ces vitesses sont indépendantes du poids p de la molécule suspendue au fil; 2° l’angle A étant considéré comme ayant son origine en Cou en C', et étant pris positivement de C vers B et négativement de C' vers B, les vitesses acquises au point le plus bas augmenteront avec cet angle de plus grand écartement; 3° une fois acquises , elles ne deviendront nulles qu’à la condition (1 — cos.A)=0, cos. A=i,ou A=0, c’est-à-dire lorsque p atteindra les points C', C, au même niveau et également éloignés de la verticale AB. La masse pendulaire p oscillerait donc, sans cesse de C en C1 et dcC' en C, si la résistance de l’air ne diminuait pas de plus en plus Y amplitude CBCf de chaque oscillation et n’éteignait enfin son mouvement.

On voit même facilement (fig. 2, pl. XCVIII) que, si quelque arrêt fixe n, n, n" était rencontré par le fil pendant sa course, le corps

p n’en remonterait pas moins à son niveau primitif en décrivant autour de ces arrêts fixes des arcs de cercle de rayons plus courts, cl le pendule, abstraction faite de la résistance de l’air, oscillerait ainsi indéfiniment en décrivant les courbes non symétriques CBo, CBo'.

Toutefois, ainsi qu’on le verra plus loin, les branches de ces courbes, situées à gauche dans la figure 2, seraient décrites dans des temps plus longs que les branches situées à droite , car ces durées dépendent du rayon de l’arc décrit.

Si (fig. 1, pl. XCVIII) l’on voulait avoir les vitesses v ou ta au

moment où la masse- parvenue à un point quelconque M doit encore décrire l’angle a pour arriver au point le plus bas, on aurait, en vertu du môme principe, A étant =MI = L(cos. a — cos. A) :

v — 1/ 2 </ A = tj L ; ü) = jy/îl (cos.a — cos. A) (4)

vitesses qui deviennent nulles aux positions pour lesquelles ou a (a=A);Cl comme, dans un mouvement quelconque sur une courbe, udt—da, on trouverait pour la valeur dt du temps que le poidsp mettra à décrire le petit arc da

da L d a Lda ^

“ ~^~'V~*gh~VTg l, (cos. a — cos. A)

Imaginons maintenant un deuxième pendule simple d’une longueur différente L'=Acf, écarté d’abord de la verticale AB d’une valeur angulaire A' A c1— B A C = A, puis parvenu sur son arc d’oscillation à un point M' homologue deM, après être descendu d’une hauteur MT = A'. Supposons même, pour plus de généralité, que ce dernier pendule oscille en un autre lieu pour lequel la gravité — g', nous aurons, en raisonnant comme pour le premier, et accentuant les quantités qui se rapportent au pendule L’ :

»' = w' L' = Y 2 g' h' ; wf = (cos. a — cos. A) (6)

da L'da co1 y 2 g' li'

ce qui donnera, pour le rapport des temps employés par l’un et l’autre pendule pour parcourir un petit arc da de même valeur angulaire et semblablement place :

dt L y 2g'V 1/7VL7L . /TT. ^

dt' L- l/*57Â y ghL'. L' V srl-' ' '

car les lignes homologues des cercles A c b' , ACB donnent: k ; h ; * L * L' ou A L’ = LA.

Ainsi, lorsque deux pendules onl élé écartés de leur verticale d’une même valeur angulaire et qu’on les abandonne ensuite à eux* mômes, les temps élémentaires dt,dt', employés par chacun d’eux pour décrire de petits arcs homologues, sont dans un rapport constant. Or, les arcs CB, c'b1, à décrire par chacun d’eux pour parvenir à leurs points lesplus bas, se composent d’un même nombre de petits arcs semblables : donc, les temps respectifs t, t', qui expriment en secondes les durées de ces descentes ou demi-oscillations, sont dans le même rapport et

si les pendules simples oscillent au môme lieu, g' — g cl

t VT l i’

cl les durées de leurs oscillations sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs.

Si, au contraire, leurs longueurs sont les mêmes et s’ils oscillent dans des lieux différents, on a, en faisant L= L' dans (9) :

7 = ou gt1 = g'tn (11)

et les durées, en secondes, de leurs oscillations de même amplitude, sont entre elles réciproquement comme les racines carrées des valeurs de la gravité dans ces lieux différents.

Mais quelle durée absolue T emploiera un pendule simple d’une longueur déterminée L pour descendre au point le plus bas de sa course, dans un lieu où la gravité est g?

On obtiendrait celle durée si l’on savait intégrer l’expression (5), que nous mettons sous la forme

dt==v/~-:~-da- (12)

V 2 g L (cos. a — cos. A) ' '

parce que l’arc a diminue à mesure que le temps augmente. Cette intégrale n’étant pas de celles que l’on connaît, on a, par approximation, en désignant par f la flèche de l’arc d’oscillation mesurée dans le cercle de rayon un ou le sinus verse, mesuré dans le même cercle de la demi-oscillation du pendule simple :

T=r ('+^+àt*+....)|/f •••(*»)

Le double de cette quantité sera donc la durée 2 T d’une oscilla-

lion entière de C en C'. Les deux premiers termes de la parenthèse suffisent lorsque l’amplitude totale ne dépasse pas 5 à 6 degrés tout au plus, et l’on a alors

pour la durée très-approchée d’une oscillation entière, abstraction faite delà résistance de l’air. Cette formule (14) est celle qu’il convient d’employer dans la pratique.

Lorsque l’angle de plus grand écartement A est très-petit, a qui y est toujours contenu devient lui-même très-petit d fortiori, et l’on peut, dans l’expression (12), remplacer cos. a et cos. A par leurs

valeurs respectives approchées ^1 — et ^1 — d’où résulte cos.a — cos. A = j(A5 — oJ); l’expression (12) devient alors intégrable, et l’on a (p. 991, § 40) :

T = fvwh I/ï = arc (cos,= s) [/j + c-

La constante C est nulle, puisque, lorsque a=A, Test zéro. Faisant a — 0, l’arc dont le cosinus = = 0 est i vt, ce qui donne

pour limite inférieure de la durée T d’une demi-oscillation de très-peu d’amplitude :

On peut même observer que l’arc qui a zéro pour cosinus étant aussi bien j iz que [ « ou | ît..., le mobile p reviendra en C dans une infinité de temps successifs, tous séparés entre eux par la durée

constante 2tc l/j de deux oscillations entières.

La méthode infinitésimale n’étant pas en faveur aujourd’hui, c’est peut-être un devoir pour nous de parvenir à l’expression (15) en masquant l’intégration. Passons donc de nouveau par les considérations suivantes qui sont regardées comme plus élémentaires.

En assimilant un cercle BC ( fig . 3, pl. XCVIII) à un polygone d’uue infinité de côtés, un quelconque MN de ces côtés est égal au produit de sa projection NQ=PP' sur le diamètre qui passe à l’origine B par le rapport du rayon du cercle à l’ordonnée correspondante à ce côte.

En effet, les triangles rectangles MNQ, AMP, ayant leurs côtés perpendiculaires, sont semblables et

MP ; (qn = pp'):;àm ;mn = pp'x^.

Si, sur la hauteur de chuteH=DB comme diamètre, ou décrit une demi-circonférence Dm B, la projection mn sur cette circonférence du petit arc M N décrit dans le petit temps dt donnera de même

mP ; PP' *. ; Om *. mn = PP' X —

Remarquant que mP = J/Jf(ïT^Â) et que DB étant par hypothèse le sinus verse d’un arc très-petit , on peut faire M P = |/ 2 L (H — A) par approximation ; on a, pour le rapport du petit arc décrit MN = Lda à sa projection mn sur la circonférence Dm B, dont le diamètre est H :

MN m n

•A M X m P MPXÔm

d’ou MN=^^2AL H

ce qui donne, pour l’expression (5) du petit temps dt employé » parcourir le petit arc Ldsr=M N :

Lda MN mn g /\t

Vifh ~~ 1/2 3/7 ~1T \/ g

c’est-à-dire que ce petit temps dt est proportionnel à la projection mn de I arc MN, réellement décrit sur la demi-circonférence dont le diamètre est égal à la chute totale H : donc, l’arc de chute total CB, dont la projection est Dm B, sera parcouru dans un temps dont la limite inférieure est

f=£S-VF=ir|

ainsi qu’on l a trouvé plus haut (1 5). L’oscillation entière de C en C s'accomplirait dans un temps double ou 2 T.

Il est digne de remarque que celte durée soit indépendante de 1 amplitude du très-petit arc décrit ; on en conclut que les oscillations du pendule simple, dans le vide , sont sensiblement isochrones ou d égale durée, pourvu que leurs amplitudes soient presque nulles. Avec cette condition, en effet, l’arc de cercle décrit se confond presque avec celui d une cycloïde (p. 493) dont le cercle générateur aurait

un rayon r = — , et l’on sait depuis Huijghens (1 673) qu’un pendule simple qui décrirait celle courbe dans le vide accomplirait tou-

PENDULE composé. 1255

les ses oscillations dans des durées absolument indépendantes de leurs amplitudes, et par conséquent égales entre elles.

Admettre l’isochronisme des oscillations suivant des arcs de cercle infiniment petits, c’est d’ailleurs l’admettre suivant des arcs infiniment petits d’ellipse , de parabole ou de courbes quelconques, car sur une très-petite étendue leur courbure se confond avec celle de leur cercle osculatcur.

On remarque encore qu’un corps qui tomberait d’une hauteur égale au diamètre 2L de l’arc du cercle décrit par un pendule emploierait à descendre, le long de ce diamètre dans le vide, un temps

: or, la durée delà chute, selon le diamètre, est celle de la chute par une corde quelconque de ce cercle (voyez plan incliné) ; le temps t = } r. l/ï de la descente par l’arc dont la tangente est horizontale est donc plus court que le temps de la descente par la corde de ce même arc dans le rapport de « à f ou 3. lit 56 à 4, et la ligne droite, qui est le plus court chemin d’un point à un autre, ne serait pas ici le chemin de plus courte durée entre ces mêmes points s'ils étaient très-rapprochés , comme on le suppose ici. Au reste, l’arc de cercle n’est pas lui-méme la courbe déplus vite descente entre ces points, et l’on sait depuis Jacques Bernouilli (1696) que cette courbe est la cycloïde dont l’origine serait au point de départ du mobile (voirp. 493).

Pendule composé. Le pendule simple n’a évidemment qu’une existence idéale, puisqu’il est matériellement impossible de faire osciller une seule molécule pesante à l’extrémité d'un fil inextensible et sans masse suivant un arc infiniment petit et dans le vide. Le pendule est donc toujours un corps massif, étendu, physique, que l’on nomme pendule composé. Nous avons traité, à la page 1 1 43, du mouvement d’un tel corps autour d’un axe horizontal, et nous y sommes parvenu à l’expression suivante de sa vitesse angulaire io, lorsque parti sans vitesse initiale d’un écartement A, il lui reste à parcourir a pour revenir à la verticale :

o) = J//2 3 (cos- a — cos. A) [/“£ . . . (18)

M étant la masse du corps, D la distance de son centre de gravité à l’axe et I, son moment d’inertie de masse par rapport au même axe. Si l’on rapproche cette vitesse de celle (4) que l’on a trouvée pour le pendule simple placé de la même manière par rapporta la verticale, on voit facilement qu’elles deviennent identiques en faisant

1256 PENDULE composé.

Ainsi, les lois du mouvement d’un pendule composé sont celles d’un pendule simple d’une longueur L que l’on obtiendra en divisant le moment d’inertie de masse I, du pendule composé par le produit Tait de sa masse M et de la distance D de son centre de gravité à l’axe fixe.

Donc, si ces oscillations ont une amplitude extrêmement petite, il vient de même

P=Slj étant son poids dans le vide ; et comme on a' alors

•“=Vsrh-l/sfü <«>

la durée minimum T de la descente suivant un arc extrêmement petit devient :

T=51t|/iT,tD = i*l/: Fu (22)

Le double de celle quantité serait la durée approchée d’une oscillation entière dans le vide. Mais nous avoos vu (p. 251) que

était le rayon d’oscillation du pendule composé : donc, on peut dire encore que le pendule simple, dont le mouvement dans le vide concorde avec celui d’un pendule composé, a pour longueur le rayon d’oscillation L de celui-ci.

Il en résulte qu’un cône plein, dont l'angle au sommet est droit, formerait un pendule composé synchrone d’un pendule siinplcd’une longueur L égale à la hauteur du cône.

Et comme les centres d’oscillation cl de suspension sont réciproques l’un de l’autre (p. 252), la durée d’une oscillation d’un pendule composé reste la même, par quelque extrémité de son pendule simple synchrone L qu’on le suspende (Huyghens). Ainsi, le cône ci-dessus pourrait être suspendu par son sommet ou par le centre de sa base sans que la durée de son oscillation changeât.

Voilà donc les mouvements du pendule composé ramenés à ceux du pendule idéal ou simple , et ces derniers, très-approximalivcment déterminés pour le cas des amplitudes extrêmement petites et abstraction laite de la résistance de l’air. Voyons quelle peut être l'influence de celui-ci.

Influence de l’air. On peut, jusqu’à un certain point, entrevoir sans calcul que la résistance de l’air devra augmenter ta durée de la

première descente sans avoir aucune influence sur son amplitude. Parvenu ainsi à son point le plus bas avec une vitesse moindre que celle qu’il eût acquise dans le vide, le pendule s’élèvera à une moindre hauteur que celle d’où il est descendu, et l’amplitude de l’arc de première ascension étant ainsi diminuée, cet arc d’ascension sera parcouru probablement en un temps moindre que l’arc de descente. Il est même possible cjuc l’accroissement de la durée de la descente compense la diminution de la duree de l’ascension, et que la première oscillation entière s’accomplisse ainsi en un même temps que dans le vide, l’amplitude du mouvement étant toujours supposée extrêmement petite.

Quant à la seconde oscillation entière, son amplitude totale diminuant encore en vertu des mêmes causes, on pourrait croire qu’elle s’accomplira en un temps moindre que la première, et finalement que les durées des oscillations successives iront sans cesse en diminuant avec les amplitudes de celles-ci, de sorte que l 'isochronisme des oscillations du pendule n’existerait pas pour les mouvements dans l’air, même très-petits. Ce fait est bien confirmé, en effet, par une foule d’observations (*) ; mais il parait, heureusement, qu’il ne devrait pas avoir lieu, si l’amplitude des oscillations était encore plus petite et que, quelle que soit la résistance du milieu , le temps de l’oscillation entière est le même que si le mouvement avait lieu dans le vide ,

Eourvu que l’amplitude soit excessivement petite, et, dans certaines ypollièses sur la loi de la résistance, pourvu que cette résistance soit très- faible elle-même par rapport au poids de la lentille du pendule. Du moins, ce théorème, en partie soupçonné et énoncé par Bouguer , que Borda désirait démontrer, bien qu’il n’y soit pas parvenu, a été finalement établi par Poisson dans un mémoire auquel je renvoie, et où il a pris soin de négliger toutes les puissances supérieures à la deuxième, qui auraient pu modifier, pour le mouvement dans l’air, la loi si simple de Visochronisme des oscillations infiniment petites du pendule dans le vide.

IVlais il ne s’ensuit pas que la durée des oscillations, même très petites, soit en effet la même dans l’air que dans le vide : car le pendule y perd une partie de son poids égale à celui du volume

(*) Admettant que l'amplitude des arcs décrits dans l’air diminue en progression géométrique, lorsque le temps augmente en progression arithmétique, M. Biot est parvenu à l’expression suivante dans son Astronomie physique :

M— ppft | A »in- (A - o) I | 161og. hjp. ~ |

A et a étant respectivement les arcs de demi-oscillation au commencement et à la lin de la durée de l’observation , N’ le nombre d’oscillations accomplies pendant cette durée et N le nombre d’oscillations qui auraient été accomplies si le mouvement avait eu lieu suivant un arc infiniment petit.

d’air qu'il déplace. Soit donc P=M<? le poids du pendule dans le vide, cl P, = Mÿ, le poids du pendule dans l’air, on a

£ = ; et 9l = ^g (2*)

c’est-à-dire que, si l'on voulait tenir compte de cette influence, on devrait mettre cette valeur de g, 5 la place de g dans toutes les

formules ci-dessus ou y multiplier g par le rapport

Enfin une certaine quantité d’air est entraînée dans le mouvement du pendule et l’accompagne, ce qui change la masse et le moment d’inertie du système oscillant, suivant des lois qui dépendent de ses formes et qui ne sont réellement connues pour aucune d’elles.

Réduction au niveau des mers. La formule de la page 339 montre d’ailleurs qu’il y a entre deux pendules synchrones, l’un L„ observé au niveau des mers où la gravité est g0, l’autre L' observé à une hauteur E au-dessus de ce niveau et où la gravité est g', les relations

L„ (l +“) = L' ou L. = L' (i . (25)

R étant le rayon terrestre calculé pour la latitude du lieu où l’on observe. Encore faut-il remarquer que I on néglige ici, à cause de leur incertitude, les corrections dues à l’attraction des couches ter- . restres comprises entre les deux niveaux.

Il y aurait bien à faire encore quelques autres corrections indépendantes de celles qui sont relatives à l’amplitude, à la perte de poids dans l’air, à l’élévation, aux attractions locales, pour donner aux résultats des observations du pendule la précision qu’exigent les conséquences que l’on en tire ; nous ne pouvons nous y arrêter ici, et nous terminons cet article par le résumé de quelques valeurs numériques en rapport avec la théorie du pendule.

Longueurs L, réduites au niveau des mers, de pendules simples accomplissant une oscillation entière infiniment petite, et, dans le vide, en une seconde sexagésimale de temps moyen.