FENTES. — PERCUSSION

Ainsi B, décrivant autour de U quinze degrés par heure sidérale., ce point ne décrirait autour de M que 11° 18' environ dans le même temps, si le pendule oscillait à la latitude de 48° 52, qui est à peu près celle du Conservatoire à Paris.

Cela posé, admettons que le pendule commence ses oscillations à 0 heure suivant le plan du méridien MB ou ME0; sa première oscillation tracera sur le sable la méridienne su. Après une heure sidérale, cette trace sn, le méridien M Eu et le point de suspension A du pendule se trouveront tous transportés vers l’orient dans le plan ME, à 11° 18’ de ME0 pour la latitude indiquée, cl si le pendule oscille encore, il tracera sur le sable la droite s,n,. En vertu de l’inerliequi conserve au plan des oscillations sa première orientation, celle trace, dont la projection est s,n, parallèle dès lors à ME0, coupera la première trace sn sous un angle S, B, E, , et pour l’observateur qui , placé sur le méridien la face tournée vers le sud, a été emporté avec tout le système, le pendule semblera avoir dévié à droite de l’angle S,B,El=E0ME1. Si le pendule oscille encore une heure plus tard, la déviation S2B2E2 sera double; eqfin, elle aura triplé après trois heures, et la trace s3n3 couperait alors la première trace sn sous un angle S3B3E3 de près de 34 degrés. Il est facile de voir maintenant que la déviation apparente du pendule de l’orient vers l’occident est l’effet du mouvement de rotation réel de la terre en sens inverse.

On a réclamé, en faveur de Galilée, la priorité de cette grande et belle expérience. Les citations des écrits de ce grand homme, qui ont été apportées au débat, ont montré avec évidence qu’il avait au moins entrevu ces effets, mais elles n’ont pas prouvé jusqu’ici qu’il les ait jamais confirmés par une expérience directe. Or, il y a souvent très-loin d’une prévision théorique au fait qui la réalise, et M. Foucault paraît bien être ici le premier qui ait franchi cette énorme distance.

PENTES. On trouvera page 1206 une table des valeurs angulaires des pentes par mitre. La pente moyenne des principaux fleuves est indiquée à l’article Cours d’eau, page 463.

PERCUSSION. On lui donne aujourd’hui le nom d’impulsion (p. 942). La force de percussion des anciens géomètres u’est point un o force proprement dite (p. 776); c’est une cause complexe de mouvement qui implique à la fois les intensités successives des forces et les durées de leur action. Elle exprime en général la

somme J des efforts variables F exercés à chaque instant dt pendant toute la durée t de la réaction de deux corps l’un sur l’autre. C’est en un mot une expression do la forme / F d t (voyez Choc ,

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1261

p. 329). Voyez aussi page 257, pour la détermination des centres de percussion.

PERMUTATIONS. Voyez Combinaisons (p. 352).

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. Mode de projection qui remplace, avec de grands avautages, la perspective ordinaire, pour tous les genres de dessins relatifs à l’art de l’ingénieur.

La perspective isométrique a été introduite en Angleterre, vers l’année 1823, par le professeur William Farish;c t il a consacré à ce système de projection, dans le volume I" des Transactions de la Société philosophique de Cambridge, un mémoire intéressant que le présent article analyse et développe.

Le principe de la méthode est contenu tout entier dans la mise en perspective d’un cube dont chacune des faces circonscrirait un cercle. »

Perspective isométrique d’un cube ( fig . 1, pl. XCIX). Menez la diagonale CD' du cube. Imaginez un plan transparent XY perpendiculaire à cette diagonale; supposez celle-ci prolongée à l’m/ihi, et placez l’œil à son extrémité, de l’autre côté du tableau par rapport au cube. Dans cette hypothèse, toutes les droites menées de chaque point du cube à l’œil pourront être considérées comme parallèles à la diagonale ou perpendiculaires au plan transparent, qui devient ainsi un véritable plan de projection orthogonale.

Il n’est guère moins évident que, ces conventions une fois admises,

1° La trace du cube, sa projection sur le tableau formera un hexagone régulier ADBFEG, dont le périmètre représentera les limites apparentes du cube;

2“ Deux côtés AG, B F de cet hexagone seront verticaux;

3° Trois autres arêtes du cube seront des rayons CE, CB, CA , menés l’nn au sommet de l’angle inférieur, les autres aux sommets B et A ;

4° Les neuf arêtes du cube qui soient visibles, égales entre elles dans le cube, sont encore égales entre elles dans la perspective;

5° Toutes les parallèles menées dans le cube à l’une quelconque de scs trois arêtes constituantes seront entre elles, dans l’image, en même rapport que dans le cube lui-même, et y seront parallèles.

Donc, si l’on adopte pour l’image perspective une réduction de moitié, du tiers, du centième, etc., pour l’une de ces arêtes, toutes les parallèles à l’une quelconque d’entre elles se trouveront réduites dans le même rapport ; et l’on pourra leur appliquer une seule et même échelle, ce qui explique et justifie la dénomination de perspective isométrique ou d’égale mesure, donnée par Farishà ce mode de représentation.

1264 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

J’omets, pour abréger, la démonstration des propositions énoncées ci-dessus, que j’ai cherché à rendre, d’ailleurs, assex évidente par le tracé de la planche XCIX, et qu’au besoin les ingénieurs un peu géomètres trouveraient facilement. Je ne démontre pas non plus que :

6° Les trois angles perspectifs C sont égaux entre eux , et de 120° ;

7° Les angles formés par les rayons C A , CB, C E, avec les autres arêtes perspectives, sont aussi égaux entre eux, mais de 60° seulement, angle supplémentaire de celui de 120°.

On yoit donc, en somme, que dans la perspective isométrique les droites situées dans les trois directions principales sont toutes réduites à la même échelle, et que les angles qui étaient droits à la surface du cube se trouvent toujours représentés par des angles de 120 ou de 60 degrés, celui de tous les angles dont la construction graphique est la plus facile.

Or, dans les machines (fig. 2), dans les appareils, dans les bâtiments eux-mêmes, la plupart des lignes se trouvent naturellement dans les trois directions parallèles aux arêtes d’un cube convenablement placé qui les contiendrait. Donc, la perspective ou projection du cube conduit directement à la perspective isométrique de toutes les formes parallélipipédiques rectangles qui abondent en pratique; et l’on conçoit, sans que je m’y arrête ici, comment la position d’un point quelconque intérieur au cube étant connue par ses coordonnées rectangulaires, on aura immédiatement ses coordonnées perspectives ou ses distances aux plans perspectifs G EF , EF B, EGA, en menant des parallèles aux arêtes perspectives ou directions isométriques.

Il n’est pas moins facile de voir que, si l’on a déjà en perspective un des points du plan isométrique dans lequel doit se trouver uu autre point dont on cherche le lieu, le premier pourra servir de point de départ, et l'on obtiendra la position du second par deux distances au lieu de trois. EnGn, et c’est le cas le plus fréquent dans la pratique, si le point dont on cherche le lieu perspectif se trouve sur une ligne déjà placée, ou n’a plus qu’une seule distance à prendre.

Il est vrai que, s’il se trouve quelques lignes qui ne soient pas parallèles à l’une des trois directions isométriques, elles ne pourront pas en général être directement mesurées avec la même échelle ; mais c’est là un vice commun à la perspective isométrique et à la méthode usuelle des projections. Toutefois on parviendra de même à les représenter dans le dessin ; et, ces lignes étant droites, par exemple, on déterminera comme il a été dit ci-dessus les lieux perspectifs de leurs extrémités et on joindra celles-ci par une droite. Souvent même on pourra faire usage de l’espèce d 'échelle elliptique

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1265

(fig. 2, pl. C) dont nous parlerons dans un moment. Si ces lignes sont courbes, on déterminera par la même méthode tant de points qu’on voudra et l’on fera passer la courbe perspective par tous ces points, soit à la main, soit à l’aide du pistolet.

Ellipse isométrique. Mais on rencontre, dans le dessin des machines surtout, des courbes circulaires, des roues , des engrenages (fig. 2, pl. XC1X), etc. Or, par la nature des choses, la plupart de ces organes so trouveront disposés dans des plans isométriques, et il arrive fort heureusement que la perspective isométrique d’un cercle, dont le plan est parallèle à l’une quelconque des faces du cube devient une ellipse de même forme pour toutes les faces (fig. 1). Cependant on distingue parfaitement ces cercles les uns des autres par leur position sur leurs axes respectifs, axes qui, eux-mémes, sont des lignes isométriques coïncidant toujours avec la direction du petit axe de l’ellipse qui les représente.

Ceci paraîtra évident en jetant les yeux sur le cube perspectif de la planche XCIX, lequel porte un cercle dans chacun de ses plans isométriques , cercles que l’on peut considérer comme des roues infiniment minces montées sur leurs axes. Les deux lignes tl',mn formant les quatre bras de la roue, et qui sont conduits dans l’cllipso par les points de contact opposés du cercle avec le parallélogramme qui le circonscrit, sont aussi des lignes isométriques, que nous appellerons les diamètres isométriques du cercle. On voit clairement, en effet, que les points de contact t,t',m,n sont les milieux des côtés du parallélogramme circonscrit ; les droites qui joignent ces milieux sont donc parallèles aux directions isométriques.

On ne devra pas oublier que les diamètres isométriques seuls donnent, à l’échelle adoptée, le vrai diamètre de la roue.

On sait, d’ailleurs, que les axes d’une ellipse sont entre eux comme les diagonales du parallélogramme qui les circonscrit. Or, dans l’ellipse isométrique, la petite diagonaleEF divise ce parallélogramme CBFE en deux triangles équilatéraux. Donc, si 2 a et 26 sont le grand axe et le petit axe de l'ellipse isométrique, on a

Mais dans toute ellipse, la somme des carrés des rayons conjugués est constante et égale à la sommedes carrés des demi-axes; si donc ces demi-axes sont respectivement b= \/~ï cl a — [SU et r le rayon isométrique, on a

2r*= 1 -f-3 = 4 et r = ^ 2

De là cette propriété curieuse de l’ellipse isométrique :

8° Le demi-petit axe b, le rayon isométrique r et le demi-grand axe a sont entre eux comme

1266 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

et par approximation

de sorte que, en rapportant tout au rayon isométrique r, qui est toujours connu, on a

a=zr \/\ — 1-2247 r; b = r ^/\ — 0 7071 r

On pourra obtenir géométriquement ces trois lignes b , r, a par la construction suivante ( fig . 3, pl. C).

Formez en B un angle droit, prenez sur ses côtés les distances BA=BD; portez l’hypothénusc AD de B en a, lirez la droite indéfinie «DS, il est facile de voir que l’on aura

BD : (B* = AD) : ttD :: y~i : y 2 : VI

Donc, si à partir de a et sur la droite indéfinie ajî, on porte uu rayon isométrique quelconque r = a[ï, la perpendiculaire élevée par le point P jusqu’à sa rencontre en 3 avec l’indéfinie a 8, sera le demi-petit axe b de l’ellipse et son demi-grand axe sera a=»8

r\b\a \ \ «p ; ps ; 8a ; ; y 2 : yl v 3

Quant à l’ellipse elle-même, on pourra la décrire, soit à l’aide du compas à ellipse (p. 614) , soit par arcs de cercle (p. 47), en ayant égard à la note qui termine cet article, et avec l’attention de ne pas altérer le contour vers les extrémités des quatre rayons isométriques.

L’auteur propose un système d’ellipses solides emboîtées les unes dans les autres comme il est indiqué à peu près {fig . 4, pl. C), et quelques autres instruments que je n’ai pas trouvés très-commodes . en pratique et sur lesquels je ne m’arrête pas.

Toutefois, quand on se livre à ce genre de dessin, il est bon d’être muni d’une ellipse en corne analogue à celle de la fig. 2, pl. C, qui sert ainsi de rapporteur et que nous apprendrons tout à l’heure à tracer.

Si la machine on l’appareil à dessiner comportait une roue ou un cercle situé dans un plan autre que les plans isométriques, on observerait que le grand axe de son ellipse resterait le même dans quelque plan qu’il fût placé; quant à son petit axe, il serait au grand comme le sinus de l’angle formé par le plan de ce cercle avec la ligne de vue CD' est au rayon des tables.

Enfin, la perspective de toute autre ligue parallèle et égale à un diamètre quelconque du cercle, s’obtiendra en tirant une ligne égale et parallèle au diamètre correspondant dans l’ellipse.

Remarquons encore sommairement : 1° que les diamètres de l’el-

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1267

lipsc qui seraient à son grand axe J/2 : V 3, lorsqu’il en existe de tels, sont des lignes isométriques; 2° que, si l’on imaginait un cône ayant son sommet en C dans la figure perspective (fig. 1, pl. XCIX) et pour génératrices les rayons CA, CB, CE, toutes les autres génératrices de ce cône et toutes les parallèles à ces génératrices seraient encore des lignes isométriques mais puisqu’elles ne se distinguent pas comme telles immédiatement et au premier aspect, nous ne ferons de ces lignes aucun usage en pratique, et uous nous bornons à les signaler parmi d’autres encore.

Divisions de la circonférence de l'ellipse. Veut-on diviser la circonférence de l’ellipse isométrique en degrés ou en uo nombre quelconque de parties de la division du cercle? On opérera par la méthode suivante justifiée page CIO.

Sur le grand axe AG de l’ellipse ( fig . 5, pl. C) comme diamètre, décrivez le demi-cercle AEFG; divisez sa circonférence en degrés ou en parties quelconques. B,€, D, E, F étant les points de division du cercle, tirez de ces points des perpendiculaires au grand axe, et leurs intersections b, c, d,e, f formeront, sur l’ellipse, les points de division cherchés.

On parviendraitdifficilemcnl ainsi à marquer, avec une suffisante exactitude, les divisions situées vers les extrémités du grand axe, mais alors on prend (c petit axe pour diamètre d’un autre cercle et l’on opère d’une manière analogue à celle ci-dessus indiquée; on construirait, par ces méthodes, l 'ellipse rapporteur (fig. 2, pl. C) dont nous avons parlé plus haut.

Quant à la mesure des distances suivant des directions qui ne point isométriques, on pourrait l’obtenir directement à l’aide d’ellipses concentriques (fig. 2, pl. C) divisant les diamètres isométriques en parties égales. Tous les autres diamètres se trouveraient ainsi divisés de manière à servir d’échelles pour toutes les lignes du dessin qui leur sont respectivement parallèles. Ainsi, dans le cube perspectif, les distances prises le long des grandes diagonales ou parallèlement à celles-ci seraient mesurées par les divisions 1,2, 3, 4 10 du grand axe SW NE de la figure 2,p/. C,

et celles qui coïncident avec la petite diagonale ou qui lui sont parallèles dans quelque plan que ce soit, seraient mesurées par les divisions correspondantes du petit axe NWSE.

Un peu de pratique suffira maintenant pour réussir avec certitude dans ce genre de dessin, dont les effets toujours satisfaisants et facilement obtenus deviennent bientôt uu encouragement à mieux faire. On peut prendre une idée de ces effets (fig. 2, pl. XCIX) (fig. 6, pl. C), et sur la planche XVI, où j’ai mis en perspective isométrique une roue de marteau dos forges de l’Ariége avec ses grossiers et solides organes. Les planches IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV qui représentent des enlurcs et des assemblages, sont égale-

1268 PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

ment dessinées d’après ce mode de projection. Je donte que la méthode usuelle puisse rendre ces systèmes avec autant de clarté.

Est-ce à dire que la perspective isométrique doive être substituée à l’antique méthode des projections, à ce que, depuis i770, on appelle en France la Géométrie descriptive (*)? On voit bien, en effet, poindre celte opinion dans le mémoire de W. Farish , et elle y est même assez adroitement motivée. Toutefois, je ne reproduirai ici ni ces motifs ni le développement de cette opinion, qui ne m’a pas paru suffisamment justifiée. La perspective isométrique pourra souvent venir en aide à la géométrie descriptive, l'éclaircir, l’expliquer en la traduisant comme je l’indique dans les figures 7 de la pl. C. Elle enseignera à voir dans l'espace , pour me servir d’une heureuse expression de l’illustre Monge, elle se prêtera facilement à la représentation géométrique de certaines formes ,• mais, ainsi qne je l’ai dit déjà an commencement de cet article, c’est plutôt à la perspective ordinaire qu’à la méthodo habituelle des projections qu’elle se substituera avec avantage et dans le seul genre de dessins que comporte l’art de l’ingénieur. On peut même avancer aujourd’hui que cette utile réforme a déjà commencé pour la France, et je m’applaudirai toujours d’y avoir contribué par le précepte, par l’exemple, et par une propagande plus active que féconde depuis tantôt viogtcinq ans.

Du reste, la méthode ayant pris naissance en Angleterre, elle ne pouvait s’introduire en France cl venir y troubler nos habitudes routinières sans y soulever, suivant l’usage, une question de priorité nationale. Après avoir longtemps repoussé la perspective isométrique, on ne l’adopte qu’en contestant à Farish le mérite de l’invention. W. Farish étant mort en 1837 , je crois devoir répondre au moins sommairement aux deux arguments dont on n’est pas sorti jusqu’ici : les uns, et c’est le grand nombre, avancent que la * perspective isométrique n’est rien autre chose que notre ancienne perspective cavalière ; l’assimilation est très-inexacte, car dans la perspective cavalière d’un cube, par exemple, le plan du tableau n’est pas perpendiculaire à la diagonale. Les autres apportent au débat le tome V des machines de l’Académie de 1728 et montrent un laminoir à plomb (p. 52 de ce volume) en perspective qui n’a

(*) Lagrange, assistant à une leçon où Monge exposait les généralités do sa Géométrie descriptive, sc leva en s’écriant avec une naïveté qui rendait • l’exclamation plus plaisante : « Je ne savais pas que je savais la géométrie descriptive ! « Lagrange n’y voyait en eftet qu'une facile application de la méthode des coordonnées rectangulaires si familière aux géomètres, fourneau, Clairaut, l'ingénieur Fraizier surtout ^auuée 1738) avaient d’ailleurs, bien avant Monge, réuni, coordonné et réduit en principes les procédés répandus de tout temps parmi les charpentiers elles apparcilleurs, procédés qu'ils désignent encore aujourd'hui sous le nom d’art du trait.

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PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. 1269

pas de lignes fuyantes, il est vrai ; mais ils ne remarquent pas que les lignes principales des plans horizontaux y sont perpendiculaires entre elles et qu’elles forment, avec la verticale, des angles de 45°, tandis que ces lignes, dans la perspective isométrique, se croisent, comme nous l’avons vu, sous des angles de 120° et sont inclinées de 30° sur la verticale, ce qui change tout le système. Ils ne voient pas enfin que l’avantage de la perspective isométrique tient, au fond, à ce que les trois faces du cube y donnent des projections toutes semblables entre elles. C’est ce que Farish a très-bien aperçu, et ce dont il a, le premier, a ce qu'il semble, tiré un parti avantageux.

Note sur l’ellipse isométrique (fig. 1 ,pl. C). Je crois utile de signaler, en terminant, quelques propriétés de l’ellipse isométrique, non-seulement curieuses, mais encore propres à faciliter les tracés, et que, en vue d’abréger sans doute, l’auteur a complètement négligées. L’équation au centre de l’ellipse isométrique est

La distance c du foyer F au centre O est égale au rayon isomctrique

c = vV — A’= r =OT = OD

propriété qui donnera immédiatement les foyers F de l’ellipse eu décrivant du centre O, avec OT=r qui est toujours connu, l’arc de cercle TF qui coupe la grande diagonale au foyer F.

La proportionnalité des diagonales A B CD aux axes MN = 2a et PQ = 26 montre, d'ailleurs, quel’extrémité M ou Q de l’undes axes étant déterminée, on obtiendra l’extrémité Q ou M de l’autre axe en menant une parallèle MQà la direction tt' des rayons isométriques.

Appelant x, y, les coordonnées des points importants Ti T'/, extrémités des rayons isométriques, on a

= /i=T> »' = ir

*i y. = | ab

Quant aux rayons vecteurs vv’ de ces points, l’un d’eux est égal à la diftérence des demi-axes, l’autre à leur somme, et leur produit égale le carré du rayon isométrique

v' — a — A ; v = a -j- b cl v v' — r5 = c5