PIVOTS
EnfiD, pour donner pins de solidité et de liaison aux encoignures. les assises des murs qui les forment doivent se surmonter et se croiser alternativement. La solidité augmente lorsque tous les joints quelconques se lient par du mortier.
Pour les portes et fenêtres, on bâtit les jambages et le linteau en pierres ou en briques, et quand cette construction est faite, on continue le mur latéralement en liant le pisé aux pierres par du mortier.
La plus haute assise ne reçoit que la moitié de la hauteur des autres.
S’il doit y avoir des planchers, on établit des sablières en bois sur le pisé pour recevoir les bouts des charpentes; même disposition pour le comble.
On laisse sécher six mois au moins avant de crépir, et ce crépissage se fait avec du mortier clair en commençant par le haut; on l’ôtend avec un balai.
Dans les constructions ordinaires, on donne un soixantième de talus (fruit) aux murs et une épaisseur de 0m.50 à 0m.60.
Ces constructions sont très-durables lorsqu’elles ont été bien faites; je pense qu’on ne devra y employer que des ouvriers exercés qu’on trouvera, du reste, en grand nombre dans les départements du Khône, de l'Ain et de l’Isère.
D’après Francœur ( Dictionnaire technologique ), un terrassier, deux manœuvres et trois piseurs peuvent faire ensemble, par jour, douze mètres carrés d’ouvrage, et la façon d’on mur en pisé, près de Lyon, ne revient pas à un franc le mètre carré, lorsque l’on est voisin du lieu qui fournit la terre (voyez les ouvrages de Cointercaux).
PIVOTS La résistance éprouvée par les corps qui tourncnfsur des pivots, à la manière des aiguilles aimantées, a été l’objet de quelques expériences de Coulomb, dont je résume ici les principaux résultats.
Les pivots étaient en acier, les chapes et les plans de support ont été en grenat , agate , cristal de roche, verre ou acier.
Le mode d’expérimentation consistait : à faire pirouetter le corps tournant sur la pointe de son pivot; — à observer très-exactement, au moyen d’une montre à secondes, le temps que le corps employait à accomplir les quatre ou cinq premiers tours ; — à déduire de cette observation cequeCoulomb appelle un tour moyen qui lui donnait la vitesse initiale; — puis, à compter le nombre de tours accomplis jusqu’à ce que le mouvement eût cessé. Toutes les précautions avaient d’ailleurs été prises pour n’avoir point à tenir compte de la résistance de l’air ou pour la rendre négligeable.
Cela posé, b étant la fraction de tour accomplie pendant \apremière seconde du mouvement du corps tournant, et X le nombre total de
(ours accomplis depuis l’origine du mouvement jusqu’à son extinc-
tion , Coulomb a trouvé que le rapport - était sensiblement constant et égal pour un pivot d’acier et des plans de
de sorte que les effets produits par le frottement sont comparativement et respectivement
c’est-à-dire plus que doubles pour l’acier que pour le grenat. Voyez, pour les gros pivots, l’article Axes, p. 96.
PLAN INCLINÉ. D’après Lagrange, ce serait à Stevin que reviendrait le mérite d’avoir, le premier, déterminé le rapport de la force F qui retient un corps sur un plan incliné au poids absolu P de ce corps, mais pour le seul cas où la direction de la force est parallèle à la longueur du plan. Quoique la solution de Stevin paraisse fondée sur une considération indirecte, elle est assez ingénieuse et assez intéressante au point de vue historique pour que j’aie cru devoir t’adopter ici. Elle a d’ailleurs l’avantage d’étre indépendante de toute théorie antérieure.
1. Stevin considère un triangle solide ABC {fig . 2,pL XCYII) posé sur sa base horizontale AB. Il imagine qu’une chaîne uniforme enveloppe les deux côtés h, l de ce triangle de manière que toute sa partie supérieure se trouve appliquée à ces deux côtés, tandis que la partie inférieure pend librement au-dessous de la base horizontale AB ou b.
Il remarque que, en supposant que la chaîne puisse glisser, elle doit cependant demeurer en repos. En effet, si elle commençait à glisser d’elle-mémc dans un sens, elle devrait continuer à glisser toujours, puisque la même cause de mouvement subsisterait, la chainc se trouvant, à cause de l’uniformité de ses parties, placée toujours de la même manière sur le triangle; — d’ou résulterait une rotation perpétuelle ; ce qui est absurde.
Il y a donc équilibre nécessaire entre toutes les parties de la chaîne.
Or, on peut regarder la portion pendante au-dessous de la base comme étant déjà en équilibre d’clle-mème. Donc, il faut que la tendance à glisser de tous les poids appuyés le long de l égale la tendance à glisser de tous les poids appliqués le loDg de h. Donc, si p est le poids du mètre de chaîne, pl et ph seront les poids totaux de chaîne en contact avec I et h. Soit m la fraction du poids p/= P qui exprime sa tendance F — mpl au glissement le long
grenat,
agate ,
cristal de roche,
rerre,
ÎÔ29
de I; CB =: h étant vertical, la tendance h descendre le long de ce côté sera simplement le poids ph-, or, nous venons de voir que l’on avait :
mpl — ph ou F = mP donc m — - et
c’est-à-dire que la tendance F d’un corps à descendre le long d'un plan incliné est une fraction du poids P de ce corps exprimée par le quotient de la hauteur par la longueur du plan (*) ; en d’autres termes, le travail F l qu’il faudra dépenser pour élever un poids P le long de la pente l est le mémo que celui PA qu'il faudrait dépenser pour l’élever de la hauteur h du plan -, F f = P h.
2. Mouvement sur le plan incliné d’un angle a (fig. 3, pl. XCVII).
Si le corps dont le poids est P et la masse — est abandonné & luimérae sur le plan sans vitesse initiale, il tendra à descendre ; et égalant sa force d’inertie — — à la force constante
F = P * = P sin. a
qui entraîne son centre de gravité, on a pour obtenir la valeur de ,, , . dv
I accélératton — :
dt
P dv , du . h
= Psin.a et — = ostn. a = q —
g dt dt 3 3 l
de sorte que, abstraction faite du frottement et supposant que le corps glisse sans rouler, le mouvement de descente le long du plan est exprimé par les formules de la chute des graves dans le
vide (p. 338) en y mettant simplement l’accélération gsin.az=:g -j-
à la place de g.
(*) Voy. les éléments de statique et les additions à la statique de Stevin, dans les Hypomnematp mathematica, imprimés, à Leydc, en 1605, et dans les oeuvres de Stevin, traduites en français et imprimées, en 1631, par \esElsevirt. Galilée, vers 1634, a donné le premier une démonstration directe des conditions de l’équilibre sur le plan incliné pour le cas où la puissance qui soutient le poids est parallèle à la longueur du plan. — Voy. 1rs Mécaniques de Galilée, publiées en français, par le père|.Mrr senne, en 1634. « Il eût été facile à Galilée, dit Lagrange, de résoudre aussi le cas où la puissance a une direction oblique au plan, mais ce nouveau pas n’a été fait que quelque temps apres par Roberval; et ce, dans un Traité d' Harmonie de aiersenne, imprimé en 1636, où personne, ajoute-t-il, ne s’aviserait d’aller chercher cette solution. »
Ainsi V étant la vitesse acquise parallèlement à la pente au bout du nombre de secondes t, et L la longueur parcourue sur le plan avant que le corps ait acquis cette vitesse, on a les relations :
2 g tin. a
-3-sin.a
1/ 2 g sin. a. L = g sin. a t = —
g tin. a V*
— = sin.a = - — - L 2 g L
g sin. a
gt' gt
3. Donc un corps qui, sans rouler et sans frotter, a parcouru la longueur L d’un plan incliné, a acquis la môme vitesssc y=Y 2jH que s’il était tombé librement de la hauteur H du plan ; de sorte que les vitesses acquises par des corps qui ont descendu des plans quelconques de même hauteur sont égales entre elles et ne diffèrent que par leurs directions.
4. Deux corps (fig . 4, pl. XCVII) partis en même temps du sommet commun A de deux plans inclinés AM, AN, arrivent en même temps aux extrémités D, C, des perpendiculaires BC BD abaissées sur ces plans d’un môme point B de leur hauteur’ commune. Car, si l’on fait 1 = AD, /' = AC, et AB = 2 R, comme les triangles sont rectangles, on a / = 2R sin. a cl i'=2R sin. a'^et la formule (4) donne, pour les temps t et t1
5. Toutes les cordes AD, AC. . . menées par les extrémités du diamètre vertical AB=2R d’un cercle sont parcourues dans
un môme temps t— 2 [/j égal à la durée de la descente le long du diamètre 2 R.
6. Si le mobile recevait de haut en bas une vitesse initiale V0, elle s’ajouterait évidemment à la vitesse g sin. ai due à la pente’ cl cette somme formerait la Vitesse totale V ; d’où :
V = V0-|-ÿ sin. al (6)
L = V„f-|--j<2sio.a = - — : — - (7)
1 2* 2 o sin. a '‘J
7. Roulement. On peut, sans crainte d’erreur sensible, faire abstraction du frottement, lorsqu’au lieu de glisser, le corps roule en descendant la pente; mais les formules (2 à 5) n’ont plus lieu
ou, du moins, elles se modifient. En effet, la composante du poids P du corps qui est parallèle au plan ou P sin. a a, dans ce cas, un double travail à effectuer, savoir : 1° un travail de translation ; 2° un travail de rotation; et l’on prévoit dès lorsque les vitesses acquises et les espaces parcourus par un corps qui roule seront toujours moindres, toutes choses égales d’ailleurs, que s’il descendait la pente, sans frottement, en vertu d’un simple mouvement de transport parallèle. Prenons pour exemple le cas d’un cylindre plein et homogène.
8. Cylindre roulant. Soient r son rayon, — / sa longueur, — •» le poids du mètre cube de sa substance : — itr1/ sera son volume et 'smrtlsoa poids P. Son moment d’inertie, par rapport à
son axe de figure, sera donc • ou celui que donnerait la moitié
de sa masse transportée à la surface.
Si l’on appelle 11 sa vitesse angulaire autour du même axe pendant sa descente è un instant quelconque, Ûrsera au même instant la vitesse de translation V de sou centre de gravité parallèlement
au plan; sa force vive de translation sera donc - V1 et sa force vive
de rotation — — — — . Egalant la moitié de ces forces vives
2g il g
au travail P sin.a-L de la composante du poids parallèlement au plan, il vient
V3= ^ g sin.a.L (8)
ce qui donne, pour la valeur de l'accélération du centre de gravité,
dv 2
— = - q sin. a dt 3 *
Il suffira donc de remplacer, dans les formules (2 à 5), le facteur jrsin.aparygsin.a.pour qu’elles expriment toutes les circonstances du mouvement d’un cylindre plein cl homogène parti du repos et roulant sans glisser sur la pente d’un plan incliné, en vertu de son poids.
On trouverait ainsi que ce cylindre roulant ne parcourrait, dans un temps donné, que les deux tiers <Jji chemin qu’il eût librement parcouru dans le même temps d’un mouvement de transport parallèle au plan.
9. On conçoit que, dans certaines conditions d’inclinaison et certains étals des surfaces du plan cl du cylindre, celui-ci pourrait ou rouler, ou rouler et glisser à la fois, ou glisser seulement; mais on déterminerait toujours le mouvement de rotation, en enveloppant le cylindre d’un ruban dont une extrémité serait attachée à un point fixe, et dont le plan serait parallèle à celui du plan incliné.
Lorsque la masse de la partie de ce ruban qui se déroule à la surface peut Être négligée, on détermine facilement sa tension T pendant le mouvement, en remarquant qu'elle doit être celle qui communiquerait au cylindre la force vive de rotation, dont il est, en effet, animé autour de son axe. Or, le mouvement du cylindre étant uniformément accéléré, la tension T du ruban doit être constante, et l’on trouve en effet
T=i Psin. a (10)
de sorte que si le plan était vertical, la tension constante se réduirait au tiers du poids du cylindre.
10. Si le cylindre roulant était creux cl pouvait être assimilé à une pure surface cylindrique, qui toutefois ne serait pas dénuée de son poids P, on aurait, pour l’accélération et pour la tension du fil ou ruban,
dv 1 1
— =-osin.a et T = -Psin.a (11)
dt 2* 2 v '
Ainsi l’accélération est réduite pour ce cas à la moitié de celle que supposent les formules (2 à 5).
11. Sphères roulantes. Je ne reprendrai pas le calcul pour ce cas, me contentant d’indiquer les accélérations et les tensions lorsque la sphère est pleine et homogène, cl lorsqu’étant creuse, elle peut être considérée comme une surface sphérique non dénuée de poids. On a
Sphère pleine — =- g sin. a; cl T=- Psin. a. . . (12)
Sphère creuse^ g sin.aj et T=^ Psin. a. . . (13)
12. Ainsi ces sphères et ces cylindres prendraient, en roulant sur un même plan incliné, des vitesses très différentes, circonstance dont on n’a pas tenu le moindre compte dans quelques expériences sur la résistance de l’air au mouvement des corps, ce qui a faussé tous les résultats. Enfin, sans insister plus longuement sur ces théories trop négligées dans la pratique, parce qu’elles n’entrent plus dans l’enseignement de nos écoles, je remarque que de deux cylindres de même grandeur, de même forme et de même poids, l’un homogène, l’autre ayant la plus grande partie de son poids accumulé vers la surface, ce sera le cylindre homogène qui, en roulant, parviendrait le premier au bas d’un même plan incliné; car c'est celui dont le moment d’inertie est le plus petit.
Influence du frottement de glissement. Lorsqu’au lieu de rouler, les corps glissent sur le plan, on ne peut plus, dans la pratique du
moins, négliger le frottement énergique qne ce mouvement (lève* loppe. Supposons d’abord ( fig . 3, pi. XCVII) que
13. Le corps glisse de lui-mtme sur te plan: c'est supposer que la verticale GP, qui passe par son centre de gravité, passe aussi entre les limites de contact de sa hase avec le plan, sans quoi le corps se renverserait ou tournerait, puisque nous admettons un frottement à sa base. Soit f=z lang. tp le rapport du frottement à la pression ou ® l’angle du frottement : P étant le poids du corps, P sin. a sera la composante de ce poids qui (end à le faire glisser parallèlement au plan, P cos. a la composante avec laquelle il presse le plan et f. Pcos.a = Pcos.atang.® l’énergie du frottement supposée proportionnelle à la pression. Egalant la résultante des forces mouvante et résistante à la force d’inertie, on aura donc
. P dv P sid. (a—®) , .
Psm.a — fPcos.a = - — = Y-, . . . (14)
g a I coi. <p v '
Nous négligerons ici et dans ce qui suivra les mouvements de rotation qui pourraient naître de ce que le point d’application du frottement ne se confond pas avec celui des autres forces. Nous aurons donc en général pour la valeur de l’accélération,
dv r -, g sin. fa — œ)
=ÿcos.<x[lang.« — lang.<p] = — — -L. . (15)
et cette valeur mise à la place de <7 sin. a dans les formules (2) â (5) ou intégrée directement ferait connaître toutes les circonstances du mouvement. On en déduirait, par exemple, Vo étant la vitesse que le corps posséderait au moment où le temps commence,
sin. (a — œ)
— - — - gt
COS. <j>
sin. (a- y) 1 cos. <p 2 "
Tant que l’angle a du plan sera plus grand que celui <p du frottement, le mouvement sera uniformément accéléré. Si ces angles sont égaux, le mouvement est uniforme et le corps conserve la vitesse initiale V, qu’il avait à l’origine du temps. Ènlin, si acst<<p, les seconds termes des équations (16) et (17) devenant négatifs, le mouvement, d’abord uniformément retardé, devient enfin nul, et la vitesse V du mobile devient 0, au bout d’un temps T’ égal à
,p, Vo COS.f
g sin. (? — «)'
le corps ayant alors parcouru sur le plan , temps T', une longueur L' égale à
depuis l’origine
du
V0» CO», y
2 g cos. a [/" — («iig. a] 2jsin.(<p — a)
14. Le corps remonte le plan (fig. 5, pl. XCYII). Supposons maintenant que le corps remonte le plan; ce qui ne peut évidemment avoir lieu sans qu’une force auxiliaire Q le tire ou le pousse en sens inverse de la pente. Appelons 0 l’angle de la direction de la force Q avec la ligne de plus grande pente du plan; négligeons encore comme ci-dessus tous les effets de rotation qui pourraient naître de la position des points d’application des forces, circonstance dont il est facile de tenir compte dans la pratique où l’on connaît toujours d'avance la forme du corps mobile qui reste ici à peu près indéterminée.
Cela posé, pour que le corps remonte la rampe, il faut évidemment que la composante Q cos. 0 du tirage parallèlement au plan soit en équilibre avec les forces suivantes : 1° la composante du poids du corps parallèle au plan ou P sin. a qui tend à le faire descendre; 2° l’énergie du frottement à la base du corps, énergie proportionnelle à la pression (P cos. a — Q sin. 0) normale au plan; 3° enfin la résistance de la masse à l’accélération ou sa force d’inertie. Donc
Qcos.Q= P sin. a -f- ^[P cos. a — Q sin.O] ^ . . (20) expression qui (p. 863) revient à celle-ci :
cos. (0 — <p)
P sin. (a -|- <f) P is ' g dt
C08. O COS. <p
et d’ou l’on tirera pour la valeur de l’accélération y dv g
dt
[Qcos.(0 — cp) — Psin. («-{-?)]. • (22)
