PUISSANCES

[«“’ 6"-cp]r = o”" i',rcp'

[ — 4 jc3]4 = -t- 256 x12

am fcn lr arar Jnr

c!> d'i cPf </‘lr

On aurait de même (Voyez exposants, pag. 715):

[y'— a J2 — j — ] = — a* — — a et [(/— l]2 = — i

Pour les binômes, on les multipliera autant do fois par euxmêmes qu’il y a d’unités moins une dans l'exposant m de la puissance que l’on cherche, si toutefois le degré de cette puissance n’est pas trop élevé. Dans le cas contraire, on emploiera la formule du binôme de Newton :

2 rn-2

ÏX2 '

Tx TxT~~r~. n a* • • • .

dans laquelle les exposants de x vont en diminuant d’une unité à chaque terme à partir du premier dont l’exposant est m, tandis que les exposants de a augmentent d’une unité depuis le premier terme où il est zéro, jusqu’au dernier où il est m. Le nombre des termes de la série est d’ailleurs (m -f 1). Enlin, le coefficient d’un terme quelconque est le produit du coefficient du terme précédent par l’exposant de x dans ce môme terme précédent divisé par le nombre qui exprime le rang de ce précédent. On trouverait ainsi :

(x-h o)5 = a:5 H- 5ax4 ■+■ 10 a2 x3 -+- 10 a3 x2 ■+■ 5 a4 x -t-a5

Si le binôme avait la forme (x — a)®, la formule générale s’appliquerait encore en y changeant le signe do chaque terme de rang pair. On trouverait ainsi

[*— ï)8=x*— 8js7z-f-28aft:2— 56x5i3-f 70x*j> — 56x3î*-|-28xV— 8x*7-f z»

On ramènerait le cas d’un trinôme (x -+- y — s) aux cas précédents en fondant deux de ses termes quelconques en un seul, c’est-à-dire en posant, par exemple, soit (x-t-t/, =p, soit (y — z) — q. Mais la pratique exige rarement ces pénibles calculs.

PUITS ET GALERIES. G’est par des puils et des galeries que nous pénétrons dans le sein do la terre. Bien que l'établissement de ces voies souterraines appartienne plus spécialement à l’art du mineur, et qu’un aide-mémoire général ne puisse convenablement résumer les procédés des arts, je crois devoir pourtant indiquer sommairement comment on peut, avec sécurité, foncer un puits et pousser une galerie , sinon pour arracher méthodiquement des entrailles de la terre les minéraux qu’elle récéle, du moins pour aller porter secours à des hommes ensevelis sous des éboulemcnts; circonstance que le grand développement des travaux souterrains de chemin de fer rend malheureusement trop fréquente aujourd’hui et dans laquelle tous ceux qui portent le nom d'ingénieurs doivent apporter autre chose qu’une pitié stérile et le regret de ne savoir que faire (*).

Foncer un puils ( pl. CIV, fig. i, 2, 3). Etablir parfaitement de niveau sur le sol un cadre dit à oreilles, carré (fig. 1), ou rectangulaire (fig. 3), composé de quatre pièces A, B, G, I), équarries au moins à la scie. Ses côtés sont assemblés par entailles à mibois, et on les oriente d’ailleurs de telle sorte que l’un des côtés se trouve dans le plan vertical de l’entrée de la galerie ouverte ou à ouvrir au fond du puils.

Si le puits est barlong, comme dans la perspective isométrique de la figure 3, il convient que les plus courtes pièces B, I) du cadre posent sur les plus longues A, G. On a retranché deux des quatre côtés du puits dans cette figure, pour mieux montrer la disposition des deux laces AB, en tout semblables d'ailleurs aux faces supprimées C D.

Le cadre à oreilles étant maintenu solidement à la place déterminée soit par des piquets p,p.p. . . fichés contre les oreilles, soit en chargeant celles-ci de pierres, le mineur excave suivant les quatre plans verticaux déterminés par les quatre faces extérieures du cadre. Ce déblai est poussé jusqu’à la profondeur de un mètre et plus, s’il est possible, ou jusqu’à une profondeur moindre, si le terrain est très-éboulcux.

Sur le fond de l'excavation ainsi obtenue et qui doit être de niveau, le mineur pose un cadre sans oreilles A, B, C, D, , dont les côtés sont assemblés par entailles quelquefois maintenues par deux

(*) Le 2 septembre 1836, lhufavet, puisatier à Champvert prés «le Lyon, fut enseveli soub 20“.1'i d’eboulis dans un puits qu’il creusait. Il y vécut pendant quatorze jours à l’aide d’aliments qu’au put lui passer par quelques étroites issues. Après des travaux que les puisatiers ses camarades avaient tentés infructueusement, il fut tire de sa périlleuse situation au moyen d’un puits et d’une galerie creusés par les mineurs du génie militaire, envoyés de Lyon pour le secourir (Emy, Charpenterie, pag. tx).

clous. Ce second cadre, comme tous ceux qui le suivront, doit être établi avec la plus grande précision, et de telle sorte que ses côtés répondent verticalement et horizontalement à ceux du cadre à oreilles.

On introduit entre les cadres et les parois de l’excavation des planches m, m, tn, verticales et jointives, dont la longueur est égale à la profondeur du déblai comprise entre le plan supérieur d’un cadre et le plan inférieur du cadre qui le suit.

Ces planches touchent immédiatement les côtés extérieurs du cadre à oreilles ; elles y sont au besoin maintenues par quelques clous ; mais elles sont écartées des côtés du cadre inférieur de l’épaisseur d’une planche, et le vide de cet écartement est d’abord occupé par des coins en bois n, n, n, n, qui maintiennent l’assemblage du cadre, serrent les planches contre les terres, et réservent la place des bouts supérieurs des planches qui revêtiront la seconde tâche.

On soutient le deuxième cadre par quatre tringles en bois t, l, clouées par leurs bouts contre les faces internes des cadres ; et des traits verticaux, marqués sur le milieu de ces faces, doivent se trouver rigoureusement sur une môme verticale , depuis le cadre à oreilles jusques au fond du puits, ce dont ou s’assure à l’aide du fil à plomb.

Les choses ainsi disposées, on creuse un nouveau déblai, et lorsque celle deuxième lâche est faite avec tous les soins qu’on a dû apporter à l’exécution de la première, on établit au nouveau fond un troisième cadre A,, Ba, C2, Da avec la même précision que les précédents; puis on ôte l’un après l’autre les coins qui réservaient les places des nouvelles planches, et l’on insinue celles-ci comme les premières, c’est-à-dire de telle sorte qu’elles s’appuient, en place des coins, directement contre les côtés extérieurs du cadre An, et s’écartent du cadre Au+, , inférieur à celui-ci, de l’épaisseur d’une planche.

On continue ainsi à descendre aussi bas qu’on veut, sans qu’il soit à craindre, en terrain sec, et si le travail a été bien fait, que les terres du haut s’éboulent et ensevelissent le mineur en comblant le travail.

Pour obtenir encore plus de sécurité, lorsque la chose est possible, on dispose dans les parties où l’on commence à rencontrer le ferme deux pièces de bois dites porteurs P P, qu’on applique contre les côtés les plus courts du rectangle du puits, cl dont les extrémités sont reçues dans des entailles spéciales pratiquées dans la roche elle-même. Lorsqu’on a pu placer ainsi deux porteurs P P, et un cadre au-dessus d’eux, on dispose des poteaux I dans chacun des angles du boisage, de cadre en cadre, en remontant, de sorte que ces cadres, qui n’étaient d’abord maintenus en place que par les

tringles /, t, et par la pression du terrain, deviennent maintenant solidaires et reposent sur les porteurs inférieurs, et dès lors sur le ferme. Enfin, lorsque le puits est barlong, on consolide souvent scs longs côtés par des traverses horizontales allant de l'un à l’autre.

Galérien. La construction des galeries qui réclament un boisage s’exécute par un procédé que les fig. 1 et 2 de la planche CV indiquent maintenant suffisamment. Il ne diffère, en effet, de celui du fonccmcnt a un puits que en ce que, au lieu d’approfondir le déblai verticalement, on le pousse horizontalement, les cadres devenant verticaux. On appelle semelle le côté inférieur des cadres ordinairement trapézoïdaux, fig. 2 ; chapeau, le côté horizontal supérieur, et montants les côtés convergents du trapèze. Dans la coupe longitudinale de la fig. 1, on a donné les mêmes lettres aux pièces analogues à celles du puits de la pl. CIV. On voit que les planches de garnissage m m m sont disposées horizontalement et de champ pour boiser les murs, et à peu près horizontalement et à plat sous le ciel de la galerie. Dans l’exploitation des mines, on emploie rarement des bois équarris; des motifs d'économie leur font préférer des bois ronds en grume, mais ècorcés fig. 2, 3 et 4, et, lorsque le garnissage se compose de bois ronds refendus, il faut placer leur côté plat du côté de la roche.

Quant aux cadres D D D, on les établit en plaçant d’abord la semelle tant de niveau que de devers perpendiculairement à l’axe de la galerie, puis les montants, puis le chapeau, et enfin le garnissage qu’il est souvent nécessaire d’insinuer peu à peu par de légers coups de masse.

Dans les galeries et les puits, dont l’axe est incliné à l’horizon, les plans de tous les cadres doivent être perpendiculaires à cet axe.

L’ordre de préférence à donner aux bois est chêne, sapin rouge, hêtre, pin, sapin blanc. La pratique locale enseigne seule les dimensions qu’ils réclament, car on ne connait jamais à priori les efforts auxquels ils pourront être soumis.

Les galeries reçoivent des mineurs certaines dénominations qu’il est bon de rappeler. En p, fig. 6, planche LXXI,cst un puits vertical descendant du jour jusqu'au filon (p. 759), dont le mur est du côté m m ; A des distances verticales d’une trentaine de mètres, on a établi la communication du filon avec le puits par des galeries sensiblement horizontales 1 1 dites de traverse et qui courent à travers la roche stérile. Parvenu au filon, on a ouvert horizontalement et suivant sa direction des galeries dites d'allongement dont les points blancs A A A indiquent la coupe transversale ou perpendiculaire à leur axe. Ces galeries entièrement excavées dans la masse du filon servent à reconnaître le gite, suivant sa longueur ou direction, en même temps qu’elles fournissent du minerai. Reliant

PYRO.VIÈTRE. — PYROXÈNE. 1363

les différents étages par des puils inclinés ou foncés dans la masse minérale suivant son inclinaison, et dès lors productifs, l’exploitation est dite préparée. En effet, le système général des puits inclinés, bures ou desccnderies, combiné avec celui des galeries d’allongement, a nécessairement partage la masse minérale en masses partielles , ayant toutes sensiblement la forme de longs parallélipipèdcs, qui sont abordables par quatre de leurs faces, les deux antres faces restant en contact avec la roche, supérieurement du côté du toit, inférieurement du côté du mur m, m. Enlever tout ce que chacun de ces parallélipipèdcs peut renfermer de minéraux utiles, empêcher soit par des boisages, soit par des remblais de matières stériles, les roches supérieures de s’ébouler en comblant les vides ainsi laissés par l’exploitation, sont les données et les difficultés principales de l’art du mineur. On peut remarquer que, en général , préparer l’exploitation , c’est aussi l’assécArr, car il suffit de donner aux galeries horizontales une pente suffisante , pour que les eaux s’écoulent dans un sens convenable; c’est encore la ventiler ou l 'aérer, car les différences de niveau des étages mis en communication entre eux par les puits déterminent ordinairement un tirage qui suffit au renouvellement de l’air et au dégagement des gaz ; enfin, c’est faciliter le transport du minerai au jour.

L’établissement d’une galerie de traverse E, ayant son entrée au jour vers un des points les plus bas de la vallée, contribue considérablement, lorsqu’il est possible, à l’airage de la mine et à l’économie des transports, en même temps qu’il assure infailliblement I ’écoulemenl des eaux et dispense ainsi de toute machine d’épuisement. Cette traverse prend alors le nom de Galerie d’écoulement.

PYROMÈTRE : voyez Calorique, page 185. Je saisis l’occasion que m’offre ce renvoi pour réclamer, en faveur de l’ingénieur Benjamin Robins, l’idée du pyromètre que j’avais employé dans les forges de l’Ariége, en 1832, et dont je m’étais naïvement cru l’inventeur. II n’y a pas plus d’une année que, parcourant pour la première fois les Nouveaux principes d’artillerie, publiés, eu 1742, par I illustre auteur du Pendule balistique (page 1259), j’ai trouvé, à la proposition Y, la description d’un appareil en tout semblable à celui que, depuis vingt ans, j’appelais de très bonne foi mon pyromètre, bien que Robins l’eût décrit, comme on le voit, près d’un siècle avant le premier emploi que j’en ai fait. Concluons de cet humble aveu d’abord qu’il y aurait moins d'inventeurs à l’épo que où nous sommes, s’il y avait plus d’érudits, et aussi que l’on trouve parfois des notions utiles jusque dans les traités d’artillerie.

PYROXÈNE. Les pyroxènes se trouvent dans certains micas-

chistcs, dans quelques calcaires anciens (vallée de Viedessos, Ariége), dans les serpentines et dans des roches d’origine ignée.

Tantôt c’est une substance blanche ou verdâtre, ne donnant point d’eau par la calcination, fusible au chalumeau en un verre incolore ou presque incolore , inattaquable par les acides, rayant difficilement le verre et rayée par le quartz, pesant 3.250 à 3.400 ; c’est alors un bisilicatc de chaux et de magnésie, avec un peu * d’alumine de fer ou de manganèse. Tantôt c’est une substance verte tirant sur le noir et à poussière verte, ou tout à fait noire et h poussière brune, quelquefois rouge, ne donnant point ou donnant peu d’eau à la calcination, rayant difficilement le verre, fusible au chalumeau en un verre noir ou vert foncé; c’est un bisilicatc de chaux de fer cl de magnésie.

QUADRATURES. Je renvoie pour les méthodes de quadrature à la page 435 de l’article Courbes , et je donne ci-dessous la description de l’instrument qui a jusqu’à ce jour satisfait le mieux aux conditions d’exactitude et de durée parmi tous ceux qui ont été proposés pour abréger les interminables calculs des surfaces cadastrales, ou le relèvement des courbes du travail (p. 1064).

L’auteur, M. Beuviire, géomètre en chef du cadastre, ex-professeur de génie rural à l’école de Grignon, a nommé son ingénieux appareil planimètre-sommateur (*).

Cet instrument a pour principe :

1° La subdivision de la figure à calculer en bandes ou zones , de largeur constante et la même pourcbaciincd'cllcs;

2° la transformation de chacune de ces zones, qui affectent généralement la forme de trapèzes mixliligncs, en un rectangle équivalent de même largeur que la bande qu’il remplace ; 3" enfin, lo relèvement et la sommation, ou totalisation des longueurs des rectangles, substitués aux bandes qui composent la figure.

La division en zones d’égale largeur est fictivement effectuée par

(*) M. Beuviire, rue des Marais-Saint- Martin, n" 20, se charge de faire lablir soi

établir son planimctre pour la somme de 325 fr.

un système de parallèles gravées sur une échelle en cristal a, posée à plat sur la ligure à calculer, et se mouvant parallèlement à ellemême.

La transformation de chaque zone en un rectangle équivalent est faite à vue et au jugé, au moyen de la ligne de foi J' K', que l’on amène en compensation sur la partie de périmètre comprise dans la bande que l’on veut transformer , c’est-à-dire que l’on place cette ligne de manière à rendre équivalentes pour la vue les deux petites figures, généralement triangulaires et mixtilignes, analogues à celles Y*£ et a’?,Y,> *1° I,ande DI de la figure.

Le relèvement cl la sommation des longueurs des rectangles ainsi substitués se font au moyen d’une roue graduée g, qui développe en roulant sur une règle mobile en travers t, qui lui reste tangente cl s’appuie sur elle à volonté, un chemin précisément égal au déplacement de la ligne de foi J' K', sur la figure à calculer, et égal, par exemple, à la longueur (3 j3' de la bande que l’on veut relever.

Voici maintenant la série d’opérations que comporte généralement la manoeuvre de l’instrument, pour la quadrature d’une figure quelconque.

On étend avec soin la feuille de plan, qui renferme la figure à calculer, sur une table bien plane ; l’instrument posé et au besoin callè sur celte feuille y est suffisamment Gxé par son propre poids.

On le dispose , par rapport à la figure , de manière que la première et la dernière bande (I et IX) soient en général des triangles mixtilignes, ce qui arrive presque toujours, lorsque la ligne de foi J' R' de l’échelle a est à peu prés posée en diagonale; on met alors le compteur au point, en faisant coïncider les traits marqués zéro de la roue g et du vernicr /,- on saisit de la main droite la poignée n, et de la main gauche le levier x, de la règle tangente i (voir la figure pour la position des mains), on renverse cette règle en arrière; on amène la ligne de foi J' K' de l’échelle a, en compensation à l’extrémité droite de la bande n° I ; on laisse retomber et agir par pression la règle i, poussée par un ressort sur la périphérie de la roue g; on imprime, par la poignée n, un mouvement de transport, le long du rebord /' f du plateau à la chappc s h, >h, et par suite au compteur g, et à l’échelle a, jusqu’à co que la

ligne J' K1 soit arrivée en compensation à l’extrémité gauche de la même bande n° 1 ; cette bande est alors relevée, c’est-à-dire que sa longueur est inscrite sur la roue g. Pour relever celles qui suivent, on renverse la règle tangente », pour soustraire la roue à son action; on amène J' K' de l’échelle, en compensation à l’extrémité droite de la bande n" II ; on laisse agir de nouveau la règle i sur la roue g, tant que J' K' n’est pas arrivée, en compensation, à l’autre extrémité de la même bande; lorsqu’elle y est arrivée, la longueur de cette bande est aussi relevée, cl évidemment ajoutée , sommée, totalisée avec celle de la première. On continue cette manœuvre jusques et y compris la dernière ou IX' bande; les longueurs de toutes les zones, qui composent la figure, sont alors relevées et cumulées sur la roue g du compteur.

Pour connaître la surface qui correspond à celte somme, il suffit de lire, sur la graduation de la roue, le nombre de divisions dont elle a tourné, et si, comme dans le planimèlre ci-contre, la roue a 0m.500 de circonférence, et que l’écartement de deux parallèles consécutives de l’échelle a soit 0n,.005, le nombre lu exprimera la valeur de la surface en petits carrés d’un demi-millimètre de côté chacun.

Si la figure était assez grande pour que la roue du compteur ait dû faire plusieurs tours, on en compterait le nombre de la manière suivante : on prendrait d'abord note de la valeur de la fraction de tour, dont la roue aurait, en général, dépassé l’index du vernier, puis on ramènerait, par un mouvement rétrograde de la roue , sa division marquée zéro, en coïncidence avec celle analogue du vernier, c’est-à-dire avec l’index. La fraction de tour se trouverait ainsi supprimée, et on n’aurait plus à chercher qu’un nombre entier de tours qui serait donné par la position relative, qu’aurait prise, sur une petite échelle placée le long de l’axe j de la roue, la bague qui termine le ressort à boudins p, et qui, étant maintenue par la traction de ce ressort dans les creux d’un filet de vis, pratiqué sur cet axe, est visiblement entraînée sur sa longueur d’un pas, ou d’une spire à chaque tour.

Chaque tour complet devrait être compté pour 10 000 petits carrés de un demi-millimètre de côté, c’esl-à dire pour — “-=2500 millimètres carrés.

C’est d’apres celle méthode, et avec un planimètre de ce genre, que M. Morin, en répétant 10 fois la quadrature d’un cercle de 0m.100 de diamètre, a obtenu une moyenne, ne différant que de un 1 180inM de la surface réelle, et sans qu’aucune des épreuves partielles ail différé de plus de un SOT*"”' ( Rapport à l’Académie des Sciences).

Le même instrument applique dans des circonstances entièrement pratiques à la quadrature de 25 à 30 000 hectares, distribués dans 60 à 65 000 parcelles, a constamment soutenu les comparai-