COS
. cf. —
dx
cos. 6 —
dy - ds’
ds
* ds
72. En multipliant chacune des trois équations (c) par le chemin dx, dy ou dz respectivement décrit par le moliile P, dans la direclion de chacun des axes, et les ajoutant entre clics, on a :
Xdx-f Yrfy-f- Zdzzzzl -f
intégrant, il vient (éq. {)
+ Ydy-JrZds) = f R ds =
dyil'ij dt '
1 d z (P z * dt*^
, P td'x -f- d'y -}- d'z * g \ dt '
’ - V* + const. = { h cons! (k)
’ sr ' g dt' ' w
relation qui n’est rien autre chose que l'équation des forces vives (27) étendue au cas où les forces ont des directions quelconques, cl qui peut se traduire ainsi :
La demi-variation delà force vive subie pendant un certain temps
par une masse — qui obéit à l’action de plusieurs forces quelconques ,
est toujours numériquement égale aux travaux de ces forces, ou au travail de leur résultante.
73. Trajectoires. Nous allons montrer, par quelques exemples simples, comment les équations ci-dessus peuvent servir à déterminer la trajectoire d’un mobile, et les circonstances de son mouvement.
Soit demandée (fig. 6, planch. L, et pag. 592) la courbe décrite par le filet moyen d’une veine d’eau lancée du point o, avec une vitesse u, dans une direction qui plonge de l’angle 0 au-dessous de l’horizontale oX. Prenons celte horizontale pour l’un des axes, et la verticale oY pour le second axe; il est évident que la veine ne pouvant sortir du plan de ces axes, il n’y a point à considérer les valeurs générales qui se rapportent à celui des Z; car, indépendamment do sa vitesse acquise u, la veine fluide n’est plus soumise qu'à l’accélération g de la gravité ; on a donc à la fois (éq. c)
— —a et - — = g dn d t* ”
une première intégration donne
dx rf»
— = o -f- constante c. . . — = qt -f- constante c dt ' dt 3 1
la première constante c est visiblement la composante ucos.Q de la vitesse suivant l’axe des x, et la seconde c1 est la composante usin.Q de celte même vitesse, suivant l’axe des y, il vient donc
dxz=z m cos.O. dt dy —(gl usin. 0) dt
intégrant une seconde fois, on a
x = mcos.0< y = j gt2 -f- usin.Of
équations qui fixent la position de la molécule o au bout du temps/. En éliminant ce temps t entre elles, on obtient l’équation suivante de la cociiBK qui serait décrite dans le vide par le filet moyen de la veine liquide
y — x tang. 0 - — — — -
^ 2u* cos.’O
Cette courbe est un arc de parabole qu’on a enseigné à tracer p. 592.
Pour avoir la vitesse V dans la direction de la courbe, on pourrait employer l’équation des forces vives, qui donnerait pour cette vitesse au point qui a y pour ordonnée
V = V u' -j- 2gj/.
74. On obtiendrait, par les mêmes méthodes, toutes les équations suivantes relatives au mouvement d’un projectile dans le vide :
R = A B étant la longueur de la droite inclinée d'une manière quelconque au-dessus de l'horizon, cl qui joint le point de départ A du projectile au but B à atteindre. K sera la portée.
H — la hauteur duc à la vitesse initiale du projectile
V = celle vitesse initiale en A.
j = la plus grande hauteur verticale du projectile au-dessus du plan.
T = le nombre de secondes écoulées entre le départ du projectile et son arrivée en B.
E= l’angle DAB d'élévation compris entre la droite AB=R et la direction de la tangente en A à la trajectoire.
Z = angle compris entre la direction de la tangente en A à la courbe, et la verticale du même point A.
P = angle DBA compris entre la direction B Aetla verticale BD passant par le but B.
D sin.Esin.Z 2sin.Esin.Z.V’
n z: - — ; — — — A II =
sin.’ P
g lin.’ P
.Ssi".Z sin.Z
■ ô~- I- l =-r— =. Ai. (I) 2 sin.E sin.E ' '
2»in.P, yj-i
2 sin.E , /-21I 2sin.E > /2sin.E.R .1 /Ji , .
T-i^r V T~J^y~V — vt • (n)
sin.E ^ sin.’E
îsin.Z sin.sP.R
sin.’ P siu.’P 2j 8'"
V* sin. 'P 1
Asin.Esin.Z 2 g sin.’E 8^
sin.’P
sin.’E
On tirerait facilement la valeur de l’angle d’élévation E du plus grand nombre de ces formules. Si AB est horizontal, l’angle DBA = P=90°, d’où sin. P = lj d’autre part Z devient le complément de E; enfin sin. E cos. E = 2 sin. 2 E; sin.5E = 2 sin. verse 2E., etc., il vient, pour ce cas particulier ,
— rp)
tan? pA '
R — 4 H sin.E cos.E = 2 H sin.2 E = sin. 2 E — — —
g ztang.b tang.L
Y . a „~Tf I / J R gT 2 | / <S î
— Vïjn— Y siîo2Ï 2 sin. E sin. E J/ 2
ïTi
2 sin.E .
i = Sli„.E|/^=l/!Ei5I=^v=s|/’IM
=!2ïSi=HM.-g = ï!i?tïï.v = l,p..
8sin.2E 2 9 lfi sin. vers. 2 K sin.’E 2sin.Tcrs.2K
75. Forces centripète et centrifuge. Uu corps de poids P décrit un arc de cercle de rayon R avec une vitesse circulaire V , ce qui ne peut avoir lieu (4) sans qu’une force C le retienne sur la courbe; on demande l’intensité de celte force C.
Si, à un instant quelconque dt du mouvement, le poids P devenait libre, il continuerait évidemment, en vertu de sou inertie, à se mouvoir en ligne droite dans la direction AT du dernier clément de la courbe qu’il aurait parcouru.
En outre (7), il conserverait sa vitesse V, et parcourrait dés lors, sur cette tangente, dans le temps dt, un espace Km =\ dt — de. Or nous supposons qu’une force centrale C, que la tension d un fil, par exemple, l’oblige à décrire sur la courbe, dans le même temps dt , un arc An = de = \dt de môme développement que Km-, la force infléchissante C doit donc avoir une intensité telle, que, dans ce même temps dt. elle puisse faire parcourir au corps P , suivant le rayon, le sinus verse Kp de l’arc An = Am; donc (15)
9 dt «
Or, on a, entre l’arc élémentaire An, son sinus verse Kp , elle diamètre 2 R du cercle {Gèom.— D.— 33) la relation
„ . V'di*
Kp \ An ; : A» ; 2R OU Kp
II en résulte, pour la valeur de C
C= • kilogrammes = — w*R
en introduisant la vitesse angulaire oj du mobilo, ou l’arc de un mètre de rayon qu’il décrirait en vertu de sa vitesse V = toR.
C est la force centripète ; la force centrifuge, précisément égale et de signe contraire, est la réaction correspondante. L’une ou l’autre exprime donc la valeur en kilogrammes de la tension du fil qui retiendrait le poids P dans la courbe, abstraction laite de la gravité.
76. Si le plan de la courbe décrite était vertical, la tension du fil deviendrait évidemment la résultante de la force ccntriluge et de la composante normale à la courbe du poids P du mobile. Ainsi V étant supposé constant pour plus de simplicité, et a étant l’angle aigu variable de l’élément du eerclc avec la direction de la verticale, passant par cet élément au moment où le poids P le décrit, la tension du lil deviendra
— P sin. a = P — — sin. a)
y 11 Vs R )
FORCES— FOSSILES— FOURNEAUX. 809 pendant que le mobile décrira le demi-cercle supérieur, et
7 + P.io.a=p(- + sin.tt)
pendant qu'il décrira le demi-cercle inférieur; ces tensions deviennent respectivement au haut et au bas du diamètre vertical du cercle, points pour lesquels a = 90° et sin. a.=. t
77. On trouverait encore que la pression exercée en vertu de la seule force centrifuge sur l'orifice d’un tube entretenu constamment plein de liquide et tournait horizontalement, serait la même que si cet orifice était chargé d’une colonne du même liquide d’une hau-
leur h = — ■ duc à sa vitesse circulaire V = o>R.
FOSSILES (coquilles). Voyez les planches LXXII, LXXIII, LXX1V, LXXV et LXXVI.
FOURNEAUX de chaudières à vapeur. Il semble résulter des expériences de M. Combes, savoir :
Que la somme des vides compris entre les barreaux étant le quart de la surface totale S de la grille, et K le nombre de kilogrammes de houille grasse qu’on veut brûler par heure, on doive avoir
et, pour l’orifice supérieur A de la cheminée (p. 302) ,
la hauteur de cette cheminée étant d’environ vingt mètres.
Les carneaux doivent avoir une section A égale è l’orifice supérieur de la cheminée. Enfin il convient, pour diminuer la fumée, d'établir deux conduits débouchant à 0m.15, à 0IU.20 de distance en arriére de la grille, de telle sorte que les courants d’air jaillissent en face l’un de l’autre dans le conduit des gaz inférieur à la chaudière, suivant des directions opposées et perpendiculaires au courant gazeux. Le débouché de chacun de ces conduits aurait une section égale à ^ do la surface S de la grille ; et ces conduits devraient être munis de registres, de manière que l’ontréc de l’air pût être à volonté interceptée. Les registres seraient ouverts au moment de la charge et après le ringardage, puis ils seraient fermés après un temps déterminé par l’expérience dans chaque cas.
810 FREIN DYNAMOMÈTRIQUE.
FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. Appareil créé par M. de Prony à l’occasion des expériences qu’il entreprit sur la machine à vapeur du Gros-Caillou, et qu’il décrivit dans une note publiée en 1826. Le frein est destiné à mesurer le travail des moteurs. Dans le principe, il se composait de deux pièces de bois AB, C D , parfaitement symétriques, écbancrées circulairemcnt, de manière à mieux em-
brasser la circonférence de l’arbre O, dont on voulait mesurer le travail ; ces deux pièces AB CD étaient reliées entre elles par deux forts boulons, dont on serrait ou desserrait les écrous à volonté. On interrompait pendant l’essai la communication de l’arbre moteur avec la machine, puis, après divers tâtonnements, on parvenait à trouver le poids qui, placé dans le plateau suspendu en A, maintenait le levier AB du frein dans des situations alternatives très-peu éloignées de la direction horizontale, en même temps que le frottement, déterminé par le serrage des boulons, laissait prendre à l’arbre moteur précisément la vitesse uniforme de rotation qu’il acquérait pendant le travail régulier de la machine. Dans cet état, le froltemqnt inconnu F, dont l’intensité s’exerçait à l’extrémité du rayon II de Varbre moteur, consommait nécessairement, pendunt un nombre n de révolutions, un travail IxRrF égal à celui que développait habituellement le moteur pendant le travail régulier de la machine, pour un même nombre de révolutions.
E étant dès lors le chemin parcouru dans le même temps t par un point de la circonférence du récepteur que nous supposons, pour fixer les idées, être une roue hydraulique verticale , Q l’effort en kilogrammes exercé en ce même point; faisant d’ailleurs abstraction de l’influence du frottement des tourillons de la roue, on a évidemment
QE = 2« RF n (1)
Mais, d’un autre cêlé, L étant la longueur du levier du frein comptée du point d’attache A du plateau à la direction de la verticale OM passant par l’axe de l'arbre, et P la somme des poids et du plateau suspendus en A, on a, cuire les moments du frottement F et du frein l'égalité
