AS

le temps t, que le niveau a exigé pour s’abaisser de x, ou de R.\ en O S , est donc

I / Vga' X (arc de rayon a dout le siaus verse = x). . (63)

6*. Si x = «, l’arc devient \ n a , et le temps de la descente au niveau primitif F E est alors

65. Ainsi le temps que le niveau emploiera pour s’abaisser de A en R ou s’élever de H en N, sera

t==lrl/w ■ • (65)

c’est la durée d’une oscillation d’un pendule simple, dont la longueur serait la moitié de l’axe liquide; et la hauteur a, à laquelle

on a élevé le niveau primitif d’une branche, n’entrant pas dans l’expression du temps, il en résulte que cette hauteur n’alfccte pas la durée de l’oscillation du liquide; de sorte que, quelle que fût cette hauteur, le liquide d’un niveau d'eau, par exemple, dont l’axe aurait une longueur de lm.9871, accomplirait chacune de ses oscillations dans une seconde de temps moyen à Paris, quelles que soient leurs amplitudes.

lot

66. Nous avons supposé jusqu’ici que les branches verticales du tube étaient perpendiculaircs à un canal horizontal IK de même ^ \ section , mais tous les résultats ci-dessus s’appliqueraient identiquement à un tube recourbé de section uniforme, dont les branches seraient verticales et parallèles, L étant toujours la longueur développée de l’axe liquide total ; tels sont, par exemple, les manomètres que l’on emploie pour mesurer la tension des machines soufflantes, et quelquefois celle de la vapeur.

Si, pour élever le niveau primitifFEen B A, ou établir, entre les extrémités de la colonne liquide , la différence de niveau RA=2a, on avait , entre autres moyens, mis tout a fi ce O du tube en communication avec un grand réservoir d’air comprimé ou de vapeur, où la tension Tscrait absolument constante, mesurée par une colonne du même liquide que celle du tube, et

coup l’ori-

on n aurait point atteint

d’une hauteur précisément égale à 2 a , 1 le but.

Soient , en effet , z — D m le chemin parcouru par le niveau primitif DC , à un instant quelconque, sous l’action de la force con-

stante T = « sia = — 2a. Il est facile de voir que, en raisonnant

absolument comme ci-dessus, on parviendra à l’expression suivante delà vitesse» correspondante à l'instant où DC est en mn

or cette valeur de v montre que la vitesse ne pourra devenir nulle qu’à la condition iaz = ou z = 2a; ce qui exige que DC soit abaissé en Ii'Q’, cl que dès lors FE se soit élevé de 2 a en B’ A'; ainsi la différence totale S' B' des niveaux primitifs devient d’abord 4 a ; elle est double de celle à laquelle ferait équilibre la force con-

stante T = — 2a j et il semble que l’on n’ait pas toujours eu égard

à celle circonstance importante dans les expériences où l’on a mejuré, par des appareils du genre de ceux des figures ci-dessus, les variations de tension des vapeurs, des gaz ou la pression variable exercée sur la carène des bateaux. Cette remarque incidente montre encore combien sont incertaines les indications des manomètres placés sur les machines soufflantes à piston, et explique la mesure de T que j’ai adoptée page 600, et où l’on ne lient compte que de la moitié de la variation duc aux changements brusques des niveaux.

67. Soit une poulie, dont le poids total q est suppose entièrement condensé dans sa circonférence; un filPEBCDA, dont la longueur totale est L et le poids total p, passe sur la gorge de la poulie; il porte à une de ses extrémités un poids P, et à l'autre un poids P égal au premier, plus un poids additionnel te ; on demande la loi du mouvement du système à partir de l’instant où les choses sont disposées comme dans la figure, où te -(-P est élevé de b au-dessus du niveau MN de P. x étant, à un instant quelconque du mouvement, l’espace qui a été décrit par

w-j-P, — p est le poids de la partie du

fil qui l'a suivi, et

p le poids de la

partie du fil qui reste au-dessous du niveau AE ; la force mouvante totale est donc, à cet instant,

p + „ + Sjf p P = = F

faisant le poids 2 P — f- g — j— to — p de la masse à mouvoir = Q , ta formule générale

donne, par l’intégration, en remarquant que la constante est nulle,

c’est la vitesse à l’instant où te -}- P est en 0 ; si l’on négligeait lo poids p du fil, elle se réduirait, en faisant p~o, à (12)

v = [/îgx.^

si, au contraire, on ne peut négliger lo poids p du fil, la première expression se réduit encore à la seconde pour l’instant précis où xz=b, soit lorsque les poids moteur et résistant ont échangé leurs niveaux primitifs. Tant que x est < b, le poids du fil diminue la vilessc du mouvement ; celle diminution atteint son maximum au

moment où x = - , c’est-à-dire lorsque les poids moteur et résistant

passent au même niveau; elle décroît ensuite et devient nulle, ainsi que nous venons de le voir pour x — b ; puis, passé ce terme,

x étant > b , le poids du fil augmente sans cesse la vitesse du mouvement.

68. On obtiendrait la durée t du mouvement par l’intégration il x

assez pénible de Al — — , qui fournirait, ton relation

X log. hyp. YJ* +

le réduction faite, la

é ji -}- p x

69. Si l’on néglige le poids du fil , il ne reste plus dans le système que des forces constantes, et l’on a immédiatement (éq. 1$)

,= |/fl- ' ' m

70. Mouvement curviligne. Nous avons, dans tout ce qui précède, considéré l’action de forces qui agissaient, soit dans le môme sens., soit dans les deux sens directement contraires, mais toujours dans la même direction, de sorte que la trajectoire du centre de gravité du mobile était nécessairement une ligne droite se confondant avec la direction même des forces.

71. Four obtenir cette trajectoire lorsque les forces qui agissent sur le centre de gravité du poids P sont en nombre quelconque, d’intensités et de directions quelconques, on décompose successivement chacune d’elles, F F' F" F'" en trois autres parallèles à trois axes rectangulaires, menés par le point que le centre de gravité du mobile occupe à l’origine du temps l, et l’on applique alors aux sommes X, Y et Z des composantes suivant chacun des axes, tout ce qui a été dit au sujet des mouvements rectilignes.

On a donc (page 701, § 40),

X = F cos. a -|- F' cos. a1 -j- F" cos. a" ±. . . — R cos. a \

Y = F cos. A -j- F' 006. b1 -{- F" cos. b’’ dr. . . = R cos. ê > (a)

Z = F cos. c -j- F' cos. c' -j- F" cos. c" dr. . . = R cos. y)

en appelant a a' a" les angles respectifs formés par chacune des forces F F' F" avec l’axe des#; b b' h" les angles des mêmes forces avec l’axe des y, cl c c' c" ceux qu elles forment chacune avec l’axe des s , R la résultante do toutes les forces, et a ë y les angles qu’elle forme avec les mêmes axes.

On a encore

eos. 7.:

eos.

chacune des composantes ayant un effet indépendant des deux autres, on tirera immédiatement des principes détaillés à l’article ÉQi'iMonB sur la composition des forces des vitesses ou des chemins, ainsi que des équations (5, 6, 7), celles du mouvement, parallèle* ment à chacun des axes; en sorte que t>, t>, o, étant les vitesses estimées parallèlement à ces axes, V la vitesse sur la courbe décrite par le corps P, et dont l’élément est ds , dx dy dz les petits espaces parcourus dans l’élément du temps dt parallèlement à chacun des axes , on a :

dt' ~

dt •

dt' ~

dz Ig

lit

’ V'— dt~ P(”

di\ —

~ -pdt' 1

dt;

dv,=Z9ydt

]x' + dy' + dz' dt'

V cos

lï'

V cos. & —

dy ~ dt ’

v ds