mg :: r : mw’r

d’où

oi =

mgr mio* r

clOI ne dépendant que des quantités g et w qui sont constantes, aura ainsi la môme valeur pour toutes les molécules liquides contenues dans tous les augets de la roue. Le point, ou mieux l’axe I, déterminé par la valeur précédente (17), est donc comme un axe de répulsion unique dont toutes ces molécules tendent à s’éloigner avec une intensité m R qui, pour chacune d’elles, deviendrait mu>3p,

en appelant p sa distance mi à l’axe î. On a en effet :

"mR ’nuV.lpir ou mR=mu,p (18)

30 Or la surface d’une masse liquide est nécessairement normale aux forces qui la sollicitent; les couches du liquide dans tous les augets affecteront donc la forme de cylindres ayant un axe horizontal commun 1 et des rayons p égaux à leurs distances respectives à cet axe. Par conséquent, en décrivant du centre I , situé sur la verticale OÎ à une distance de 0= des arcs de cercle concentriques passant par les bords des augets, ces arcs ac (fig. 3) traceront des limites aux quantités d’eau qui peuvent être contenues dans chacun d’eux.

31 . Perle de travail par Veffcl du versement. On déterminera donc très facilement parce tracé, et à l’aide de quelques tâtonnements la position de l’auget dont le versement est sur le point de commencer. On déterminera de même la position de celui que le \crscmcnt vient de mettre à sec cl h, étant la distance verticale de ces positions,

-jjPA,- • (*»)

exprimera toujours assez exactement le travail perdu entre elles.

32. Continuant à désigner par h la distance du point le plus bas de la roue à l’augct qui vient d’être mis à sec, on a pour la perte de travail duc au versement

-(ÎPA. + PA.) (-20)

33. Ainsi, li' désignant toujours la hauteur au-dessus du bas do la roue du centre de gravité du liquide admis dans le premier augel ; supposant, ce qui esta peu prés exact ici, que la vitesse absolue de sortie du liquide ou u égale la vitesse v de la roue, on a pour l’effet utile Fu des roues à augets à grande vitesse

F»=-[Vcos.a— t>]o-f P [A' — U, -A.]. . (-21)

et comme on a apporté ici quelque modération dans les hypothèses, il ne parait pas qu’il y ait lieu d’appliquer à la formule aucun coefficient, pourvu que Y y désigne la vitesse réelle d’aflluence et non celle qui serait due à la hauteur h ( fig . 1).

Voici encore une ancienne observation de M. Morin sur ce genre de roue.

34. Roue de Framont (fig. 7, pl. CIX) diamètre de la roue = 2”. 74.— -On a fait h' égale à ce diamètre — vingt augets — vingtquatre tours et J par minute — dépense calculée en prenant le coefficient *n=0.G69 et la charge d’eau sur le centre de l’orifice— 0™. 90 — la largeur de l’orilirc = lm.27,sa hauteur = 0m. 11 . On atrouvé la vitesse d’affluence V = 5m.04, cos. a. — 0.98, v = 3m.478, et enfin Fo =867k“.7.

Cette roue menait un marteau de forge dont un lever exact a été fait par M. Virlct, et dont les effets ont été calculés par cet officier, en appliquant à ses données la théorie des marteaux de M. Poncelet, résumée pag. 1119. On a trouvé pour le travail dépensé sur ce marteau par la roue en question, 866*°, nombre qui diffère à peine du travail F v transmis à celle roue par la chute = 867k".7.

35. Roue de côté à palettes planes, emboîtées dans un coursier circulaire (fig. 4, pl. CXI). Ces roues reçoivent l’eau de côté, au-dessous de leur diamètre horizontal soit par un déversoir, soit par une vanne ordinaire, et elles tournent dans un coursier dont lo rayon est de 0m01 environ plus grand que le rayon R de la roue, et qui emboîte latéralement les palettes de celle-ci en laissant un jeu de

0“0i égal an jeu inférieur. Ce jeu, nécessaire au libre mouvement des palettes, donne nécessairement lieu à une perte d’effet notable.

36. D’après cette disposition, on voit qu’à son entrée dans la roue, l’eau choque la palette, puis elle descend avec celle-ci jusqu’au bief inférieur, et sort de ia roue vers l’extrémité de son diamètre vertical avec une vitesse qui est ici sensiblement égale à celle de la roue. Afin de faciliter le dégagement de l'air, on laisse des jours au tambour de la roue vers la partie supérieure de l’intervalle des aubes.

37. Conservant toutes les notations ci-dessus, on a donc encore ici (I) et (2),

u’ = t>’ et u>* == W* = Y’ -j- o* — 2 Vu cos. a ,

et en mettant ces valeurs dans l’équation générale (1), il vient pour l’effet utile théorique,

F« = PA' -{- — [V cos.a — »]o.

en ne tenant aucun compte des pertes toujours importantes dues au jeu.

38. Le maximum théorique de cet effet utile correspond à une vitesse de roue (elle qu’on ait

V cos. «

II augmenterait encore un peu si l’on diminuait a, c’est-à-dire en disposant la prise d’eau de manière que la vitesse d'affluence V fût dirigée autant que possible suivant la vitesse v du point de la palette atteint par le liquide. Si a pouvait être considéré comme nul, on aurait donc

pour la condition du maximum d’effet qui deviendrait ainsi :

Ft> = iivî+ VJ-f-PA' — — V*.

c’est-à-dire qu’il s’en faudrait de - — V’ que l’effet utile atteignit

le travail total P (h -f- A') de la chute, en supposant Y* = 2 g A, et toujours en négligeant l’effet des pertes d’eau.

39. On peut voir sur les figures 3 et 5 de la planche CXf, qu’on augmentait encore naguère ces pertes de travail en pratiquant, aux dépens de la chute totale H = A-J- h1, un ressaut destiné, disait-on, à faciliter le dégorgement des eaux. M. Belanger

est le premier, je crois, qui ait proposé non-seulement de supprimer ce ressaut, mais encore d’abaisser le bas du coursier au-dessous du niveau du bief inférieur, et d’utiliser ainsi une partie de la force vive des eaux de sortie pour refouler les eaux d’aval, conformément d’ailleurs à une curieuse remarque de Venluri, que je crois devoir consigner ici, parce qu’elle est peu connue.

40. Observation de Venluri. « Dans les chutes artificielles que

u l’on procure dans les canaux pour mettre en mouvement des « moulins, lorsque l’eau se précipite dans une conduite reclangu- « laire de planches de bois DBCF (fig. 4, pl. CX), située presque « horizontalement au milieu du canal inférieur, la surface de l’eau « en K est d’un ou deux pieds au-dessous du courant inférieurF L(4). « L’eau en F tend à refluer et à descendre par F K, mais le coure rant l’emporte continuellement et ne lui permet pas de se

« glisser jusqu’en K La conduite rectangulaire DBFC doit

« être prolongée d’une certaine quantité le long du canal inférieur,

« autrement l’eau pourra refluer de F en K Les meuniers

« connaissent l’utilité de ce prolongement; l’cxpcricncc leuraap- « pris quo ce prolongement empêche dans les crues que les eaux « ne regorgent aussitôt dans la conduite et n’arrêtent lo mouve-

« ment de la roue ; pour cela, ils construisent le bord de la

« conduite DF à la hauteur des eaux que le moulin peut supporter. « La ville de Final, dans le Modcnais, m’ayant charge de donner

« à une partie des eaux du Panaro un changement de cours

« j’ai profité de ce prolongement du coursier DF, combiné avec u d’autres artifices, pour soutenir l’action des moulins dans le nou- « veau canal; j’ai réussi non-seulement au delà de ce que le peu- « pie croyait, mais au delà de ce que j’avais moi-même espéré. » ( Recherches expérimentales du citoyen Yenturi , 1797, pages 50 à 53.)

41. Conditions d'établissement. Il conviendra donc dans les cas où la roue aura une vitesse assez grande, d’établir le bas du coursier au-dessous du niveau moyen du bief d’aval d’une quantité un peu moindre que la hauteur des palettes, — de prolonger ce coursier d’environ lm.50audclà de la verticale du centre de la roue, — do munir ce prolongement de joues verticales dont le bord supérieur devra dominer le plus haut niveau des eaux d’aval, — et de se fier ainsi à la vitesse desortie pour refouler ces eaux. — Quelques auteurs recommandent encore de donner ou prolongement du coursier une pente de 0.1 environ, afin, disent-ils, d’entretenir la vitesse de sortie u. Cette pratique ne nous paraît justifiée ni par l’cx- (*)

(*) Od avait déjà remarqué cct abaissement de niveau en K. ( Guillielmini ; delta natura tlè Fiumi, cap. 7.)

périence ni par le raisonnement. Dans le cas de roues tournant lentement, l'immersion du coursier ne devra pas s’élever à plus de la moitié de la hauteur des palettes.

42. En général, les roues de côté reçoivent et doivent recevoir l’eau au-dessous de leur diamètre horizontal. — La partie de l'aube qui reçoit le choc du liquide doit être sensiblement parallèle à la vitesse relative W du liquide par rapport à l’aube (ÿ 17). On donne habituellement à ces roues une vitesse à la circonférence extérieure de lm.30 à lra.50. — Le vannage en déversoir de la fig. 4, pl.CXI, convient plus particulièrement aux roues lentes et l'épaisseur de la lame d’eau sur le seuil reçoit alors de 0m.20 à 0™.25, quand la chute totale excède 1 mètre. Les vannages inclinés de la fig. 1, même planche, s’appliquent aux roues plus vives. L’eau admise entre deux aubes consécutives ne doit pas excéder les f de la capacité qu’elles laissent entre elles. On donne environ O”. 35 de hauteur aux palettes, et on les espace à peu prés de la môme quantité.

Suivent les analyses de quelques calculs et observations dus à M. Morin sur diverses roues de cette catégorie, qui ne sauraient d’ailleurs être proposées pour modèles ; voyez les Expériences sur les roues hydrauliques, 1834, de ce professeur distingué.

43. Roue de la fonderie de Toulouse (fig. 1, pl. CXI). Diamètre extérieur, 6"». — Nombre d’aubes, 36. Hauteur des aubes, 0m50, dans le sens du rayon. — Largeur, ira.60. — Vannage incliné de 34° 30’ sur la verticale. — Le plan qui suit la vanne a longueur 0".78, il est incliné de 9° 25'. — Le coursier circulaire qui emboile la roue laisse sur le fond et les côtés un jeu de 0ra.0i . — L’eau atteint la roue à 0m.50 r= h' au-dessus de son point inférieur; la largeur de l’orifice d’écoulement = lm.55; on a calculé la dépense eu employant le coefficient 0.75, supposé a = 0 et trouvé ainsi que lo second membre de la formule (22) devait être multiplié par 0.74 pour exprimer l’effet utile réel de cette roue, toutes les fois que la levée de la vanne ne dépassait pas 0”.10. — Le rapport le plus convenable de v à V a paru Cire — — 0.40 à 0.45.

44. Le coefficient moyen 0.74 indiqué ci-dessus s’est abaissé &

0.60, lorsque la vanne a été levée de 0“.15 à 0m.30 et ■— compris

entre 0.5 et 0.8. Dans ce cas, le quotient moyen du travail de la roue par le travail P II de la chute s’est abaissé à 0.33.

La charge sur le centre de l’orifice a varié dans ces expériences de lm.10 à 1“.46.

45. Roue delà poudrerie de Metz (fig. 2, pl. CXI). Diamètre extérieur, 3".96. — Nombre d’aubes, 24. — Ecartement des aubes mesuré à la circonférence extérieure 0m.518.— Hauteur dans le sens

du rayon 0”.30.— Emboîtement exact dans son coursier en pierres de taille qui réduit le jeu à 0®.005. — Vanne verticale dont le seuil est singulièrement raccordé par un plan horizontal et un arc de cercle avec le fond du coursier. — À 0™.80 en aval de l’aplomb de l’axe, il a été établi un inutile ressaut de CMO. — On a pu faire varier la chute totale H de O®. 77 à 0ra.84, et la charge sur le centre do l’orifice de 0m.l 5 à 0ra.36. On a dans le calcul supposé a = 0, évalué la dépense à l’aide de coefficients un peu incertains et retrouvé ainsi 0.74 pour le coefficient pratique de la formule (22),

tant que — a été compris entre 0.55 et 0.80.

46. Roue de Chàtellerault (fig. 3, pl. CXI). Diamètre = 2 U et autres données que je n’ai pas su découvrir. — Jeu très-faible. — Vannage incliné à 45°. — Largeur de l’orifice, 1™. 28. —Coefficient employé pour évaluer la dépense 0.75. — a=:250, cos. a=: 0.90.

Le maximum d’effet a paru correspondre à un rapport de ^ compris entre 0.40 et 0.67, et l’on a trouvé 0.75 pour le coefficient pratique du second membre de la formule (22).

47. Roue de la cristallerie de Baccarat (fig. 4, pl. CXI). Construite, eu 1816, parAitken et Steel. — Diamètre extérieur, 4'“. 006. — Largeur égale à celle de la vanne en déversoir = 3m. 90. — Nombre d’aubes, 32. — Jeu très-faible. — La chute totale a varié dans ces expériences de 2”. 008 à 2<u.079,et les abaissements de la vanne audessous du niveau général ont été successivement 0”.112, 0m.175, 0"220 et 0n,.260. — On a calculé la dépense par la formuledes déversoirs (pag. 584), en faisant p. = 0.393, 0.390, 0.385 et 0.385, et trouvé ainsi que le coefficient, qui devait multiplier le second membre de la formule (22), s’élevait à 0.788, tant que la vitesse v de la roue mesurée à la circonférence est restée comprise entre

0”.48 et 1™.80 et TT— — entre 0.47 cl 1, le volume d’eau intro- V cos. a

duit dans lesaugets ne dépassant pas la moitié de leur capacité.

48. Roues des meules de Baccarat (fig. 5, pl. CXI). Données que je n’ai pas su compléter. 40 aubes espacées de 0m384. — Vannage incliné à 71° sur l’horizontale. — Charge d’eau moyenne sur le côté supérieur de l’orifice 0®.35. — Dépense calculée en fonction de la charge sur le centre de l’orifice en adoptant le coefficient 0.70. — On a trouvé ainsi pour le coefficient pratique qui devait multiplier le second membre de la formule(22) le chiffre 0.792, tant que les

augets n’étaient qu’à moitié remplis et que le rapport était

compris lui-méme entre 0.37 et 2.

49. Roues à palettes planes, non emboilèes. On prendra une idée

suffisamment exacte de ces anciennes roues, en relevant par la pensée la roue de la figure 1, planche CXI, et en prolongeant le coursier rectiligne qui suit la vanne et qui deviendra ainsi à peu près tangent à la circonférence extérieure dans la verticale de son centre. Les palettes avaient habituellement 0m.30 à0m.40 dans le sens du rayon cl leur écartement était à peu près égal à celte hauteur. On donnait ou on ne donnait pas de pente au coursier ; le jeu qui pouvait être réduit à O"1. 01 ou 0.02, s’élevait quelquefois à 0m.05 et 0m.06; et le vannage rarement incliné ( fig.i ) était plus souvent vertical (fîg. 2), et môme assez éloigné de la roue.

50. Avec ces dispositions et Y étant toujours la vitesse réelle avec laquelle l’eau atteint la roue, et qui peut être approximativement calculée par les formules de l’article Ecoulement (pag. 567) et v la vitesse uniforme du centre d'immersion desauhes, on peut admettre qu’une fois engagé entre deux aubes consécutives, le liquide perd toute vitesse relative à la capacité mobile qu’elles laissent entre elles, qu’il n’a plus dès lors, en quittant la roue, qu’une vitesse absolue u qui est sensiblement égale à®. Remarquant en outre que h' — 0 et que les vitesses Y et v étant parallèles, a= 0 et cos. <x= 1, on a pour obtenir la vitesse perdue u> (§ 8),

5t. Substituant ces valeurs dans l’équation générale (1) et faisant les réductions, on a pour l’effet utile théorique de ces roues,

effet qui deviendra théoriquement maximum à la condition

que la vitesse du centre d’impression des aubes soit la moitié de la vitesse d’alflucncc du liquide, et s’élèvera alors à

Fd=4-V2 (-28)

Cet effet utile atteindra donc au plus la moitié du travail dépensé sur le système.

52. L’eau, en quittant la roue, cl emportant avec elle un tra-

vail - — v2=z=~— Y2, on pourrait, il est vrai, en utiliser une

partie par une disposition analogue à celle qui a été étudiée aux §§ 39 cl 40 , incliner et disposer le vannage de manière à diminuer les

frottements, les contractions et les perles de vitesse, mais cet accroissement de dépense n’augmenterait que de peu l’cifct utile pratique.

KOOES HYDRAULIQUES. 1465

53. Quelques expériences de Smeaton et de Bossut, assez peu concluantes en ce qu’elles ont été faites sur un modèle de roue, donnent 0.60 pour le coefficient pratique qui doit multiplier l’effet utile, lequel se trouverait ainsi réduit à

et qui, dans le cas du maximum d’effet, correspondant, d'après ccs expériences, à v = 0.4 V, s’élèverait au plus h

Ft> = 0.288 — (30)

la roue ayant très-peu de jeu.

54. Ces anciennes roues ont l’avantage d’être simples, très-peu coûteuses tant en frais d’entretien que de premier établissement. Peut-être, en dépit de leur faible rendement, satisfont-elles, sur les usines où on les voit encore, à la condition d’y produire l’effet déterminé pour le moindre prix, caractère qui, en dehors du domaine de l’art, sera toujours celui d’après lequel, avec raison, on jugera une MACHI5K (page 1094).

55. Roues pendantes sur bateaux . Ces roues ne diffèrent de celles qui précédent qu’en ce qu’elles sont habituellement montées entre deux bateaux portant leur axe, et laissant entre eux une section de liquide beaucoup plus grande que la surface des palettes ; il en résulte que celui-ci peut se détourner en partie de la voie suivie par les palettes, et que l’on ne sait plus bien alors quel est le poids P de liquide qui les atteint dans chaque seconde.

56. Cependant, si l’on remarque que A étant la section plongée de la palette verticale, U = 1000 kil., le poids du mètre cube d’eau, etU la vitesse moyenne du liquide que l’on croit élre(pag.45fcjtfes0. 8 à peu prés de la vitesse Y de la surface, on aura tout au moins par approximation,

Substituant cette valeur de P dans la formule (26) des roues è palettes planes non emboîtées, il viendra pour l’effet ulilo des roues pendantes, v étant la vitesse du centre d’impression des aubes.

57. Il résulte des observations de M. Poncelet sur trois moulins du Rhône que l’expression ci-dessus exprime, en effet, le travail réellement transmis en une seconde au centre des aubes, et qu’il

n’y a pas lieu dés lors de la corriger par aucun coefficient, pourvu

cependant que le rapport ^ s’éloigne peu de 0.10.

58. Conditions d'établissement. On donne habituellement aux aubes de ces roues une hauteur égale au quart ou au cinquième du rayon de la roue. Sur le Rhône, leur hauteur varie de O^ôO à 0”80, et de plus, leur bord supérieur est plongé au-dessous du niveau, ce que M. Poncelet motive en remarquant que le fleuve étant trèsprofond, la plus grande vitesse du courant répond à un point situé à une distance assez grande de sa surface. La longueur des aubes croit à peu près proportionnellement au travail que l’on veut transmettre. — Leur nombre ne dépasse pas douze. Cependant, Navicr conseille de faire leur écartement égal à leur hauteur, de porter leur nombre à vingt au moins, et, en outre, de les incliner sur le rayon de manière à ce qu’elles forment avec son prolongement un angle de 30“ quand la roue plonge du quart de son rayon et de 15° seulement quand elle plonge du tiers, ce qui est, d’après Navicr, la plus grande profondeur à laquelle la roue doive jamais être immergée. Toutefois, Navicr rapporte lui-même, d’après le Manuel du meunier de Béguillet, qu’une roue à aubes inclinées sur le rayon, essayée sur un moulin à bateau de Paris, n’a pas réussi, ce qu’il attribue à ce que, vraisemblablement, l’inclinaison n’était pas en rapport avec la hauteur des aubes.

59. Roues à aubes courbes do M. Poncelet. Nous avons vu (30) que les roues à aubes planes mues par-dessous et généralement employées sur les basses chutes n’utilisaient pas le tiers du travail absolu P II du moteur. Dès 1827, M. Poncelet a proposé d’en modifier la forme de manière à leur faire produire un effet u!ilc qui s’approchât du maximum absolu, sans leur faire perdre l’avantage qui les distingue de pouvoir être animées d’une grande vitesse. Toute la question consistant, comme on le sait, à faire en sorte que l’eau, n’exerçant aucun choc à son entrée dans la roue ni dans son intérieur, la quitte également sans vitesse sensible, M. Poncelet a remplacé les aubes droites (PI. CXII) par des aubes cylindriques se raccordant à peu près tangentiellcment avec la circonférence extérieure. L’eau arrivant ainsi sur ces courbes suivant une direction à peu près tangente à leur élément extrême, s’y élève sans les choquer, cl le centre de gravité de la lame d’eau introduite y atteint théoriquement une hauteur duc à la vitesse relative de celte lame par rapport à celle de l’aube. La lame redescend ensuite en acquérant de nouveau, mais en sens contraire du mouvement de la roue, une vitesse relative égale à celle qu’elle avait en entrant, et dans certaines conditions, sort ainsi de la roue avec une vitesse absolue qui est nulle.

60. Ainsi, V étant toujours la vitesse de l’eau au moment où elle atteint la roue, et v la vitesse uniforme de la circonférence extérieure de celle-ci, la vitesse relative du liquide à l’entrée sera (V — »), et la hauteur à laquelle le centre de gravité de la lame introduite s’élèvera sur l'aube sera, abstraction faite du frottement.

Il acquerra de nouveau, en descendant le long de l’aube, la vitesse relative — (V — e) en sens contraire du mouvement delà roue, et comme il est d’ailleurs animé de la vitesse — |— t? de la roue, il quittera celle-ci avec une vitesse absolue.

il suffira donc, pour que la vitesse de sortie u soit nulle, de satisfaire à la condition :

u = 2t> — V— o, ou e = — (35)

c’cst-b dire que la roue devra prendre line vitesse v égale à la moitié de la vitesse d’affluence Y du liquide. La vitesse perdue par le choc étant nulle aussi bien que la vitesse de sortie, l’équation générale (1) se réduit à

c’est-à-dirc que la roue utiliserait le travail total PH de la chute, si la vitesse d’affluence V pouvait être la vitesse due à la hauteur H do cette chute. L’effort F exercé à la circonférence extérieure s’élèverait lui-méme, dans les mêmes conditions, h

fl

il serait donc le double de celui qu’exercerait une roue à palettes planes pour les mêmes vitesses; avantage précieux dans tous les cas où la résistance à vaincre au départ est considérable.

fil. Mais, ainsi que le remarque l’illustre auteur de ce système, « différentes circonstances empêchent que les choses se passent tout à fait ainsi dans la pratique ». En clfet, s’il convient, pour que l’eau sorte de la roue sans vitesse absolue, que la partie inférieure de l’aube soit tangente à la circonférence extérieure, la condition de n’avoir point de choc à l’entrée exige, au contraire, que cette même partie inférieure de l'aube soit parallèle (Jig. 2, pl. CXII) à la vitesse relative AV ou soit dirigée (§§8 cl 17) suivant la résultante

des vitesses ( — Y) et Or, ces vitesses composantes ne peuvent Cire toutes deux tangenticllcs, car alors le liquide n’entrerait pas dans la roue : elles doivent donc faire entre elles un angle a qui ne soit pas nul , et dés lors l’inclinaison de la partie extrême de l’aube sur la tangente à la roue ne peut être nulle. M. Poncelet a fixé les limites convenables de cette inclinaison de 24° à 30°.

62. Supposons celte inclinaison de 24”; si l’on a fait prendre à

la roue la vitesso t> = — qui convient à son maximum d’effet, celle

même vitesse - sera celle qu’elle reprendra par rapport à l’aube en

quittant celle-ci : or, cette vitesse - formant avec la vitesse t>= —

de la circonférence un angle de 156° supplément de l’inclinaison 24°, la vitesse absolue de sortie u sera la résultante de ces composantes égales, et l'on aura :

u =2 cos. 78°] = Vsin. 12® =0.208 Y. (38)

et pour la demi-force vive emportée par l’eau de sortie en une seconde

(0.208 VV=0.043 fi-V1!

de sorte que le travail que l’on perdrait par cette disposition ne serait pas le vingtième de la demi-force vive totale possédée par le liquide, avant qu’il ait agi sur la roue.

63. Effet utile pratique. Il a été fait sur la roue deM. Poncelet un très-grand nombre d’observations qui ne permettent aucun doute sur ses excellents résultats. Toutefois, je ne connais qu'une série d’expériences vraiment complètes, et je les appelle ainsi, parce que, au lieu d’évaluer la dépense è l’aide de formules assez incertaines, l’auteur de ces expériences, M. Maroseau , a reçu dans un vaste bassin et a pu ainsi directement jauger ces dépenses (Voyez Bulletin delà Société industrielle de Mulhouse, tome 21, n° 101, année 1848). Or, sous une chute H de lm.47, et les dépenses P ayant varié de 633k à 940k, l’effet utile moyen s’est élevé à 0.67 PH, c’est-à-dire que celte roue dont M. Poncelet a si noblement

I'clé la propriété dans le domaine public, donne un rendement efeclif pratiquement équivalent à celui des turbines de toute espèce de modèle, dont l'industrie s’est éprise et qu’elle paie au prix exorbitant des produits de luxe et de mode, en dépit de leur ancienne origine.

64. Tracé de la roue. Le diamètre de la roue se détermine d’a-

près les convenances de localités et de travail. Il importe qu’il no soit jamais trop petit. — En amont de la verticale du centre de la roue, on prendra sur sa circonférence extérieure un point o' (fig . 1 et 2, pi. CXI1), tel que l’angle au centre o' CZ = 4“ 45' environ. Par ce point o’, on mènera une tangente o' l' qui sera la direction générale du fond du coursier, l’épaisseur e de la lame d’eau lors-

qu’elle atteint la roue étant sensiblement les - de la levée verticale

E de la vanne, et celle-ci ne devant pas dépasser convenablement O". 20 à 0m.25, e se trouve ainsi connu. Elevant sur o' t' une perpendiculaire égale à e et menant par son extrémité une parallèle o t à o' on aura à peu près le point o où le filet supérieur de la lame rencontrerait la circonférence extérieure, s’il semouvait parallèlement à o’t'. Nous allons voir qu’en vertu du tracé suivant, que j’emprunte à M. Moritij il s’éloigne un peu de cette voie.

Par ce point o et par lo centre C de la roue, on tirera un rayon Coque l’on prolongera jusques à la tangente o' i' ; on partagera d’une part l’arc oo,' et de l’autre l’excès o4 du rayon en un mémo nombre de parties égales ; on mènera des rayons indéfinis par les points de divisions de l’arc, et prenant successivement sur les

rayons C4, C3', C2', Cl', Co'

des distances C4, C3, C2, CI, Co

on obtiendra les points 4 3’ 2r lr et o'

par lesquels on fera passer une courbe qui, en lui laissant un petit jeu vers o\ sera la forme du fond du coursier dans celte partie. Elle se raccordera vers l’amont avec la direction de la tangente o'/’ et vers l’aval par un petit arc de cercle concentrique à la roue, terminé lui-même par un ressaut brusque ayant son arête supérieure, au niveau moyen du bief d’aval, un peu en arrière de la verticale du centre de la roue.

Par le point o’, on mènera une tangente à la spirale 4 3r 2' 1' 0* et sur cette tangente on portera à une échelle convenable la vitesse d’affluence V de la lame d’eau; sur une tangente en o' à la circon-

fèrcncc extérieure, on portera à la môme échelle la vitesse o =— de

cette circonférence.

Joignant par la droite W les extrémités de V et v, on aura la vitesse relative W. Menant par o’ une parallèle à W, cette paral~ lèle sera la direction qne doit prendre l’élément inferieur de l’aube : ainsi, élevant en o' une perpendiculaire à cette direction, elle contiendra le centre c de l’aube circulaire , centre que l'on choisira arbitrairement, mais de telle sorte cependant que la partie supè>-

ricuredc l’aube coupe la circonférence intérieure à peu près à angle droit.

65. Hauteur de la couronne. Le tracé que nous venons d'indiquer suppose que l’on connaît le rayon R’ de la circonférence intérieure ou la hauteur (R — R1) de la couronne.

• Or, on peut remarquer que, avec la condition v —— théorique-

ment exigée pour le maximum d’effet et que nous supposons satisfaite, la hauteur à laquelle le centre de gravité de la lame d’eau s’élèvera sur l’aube ( 33) deviendra , abstraction faite des frottements,

c’est-à-dire au plus égale au quart de la hauteur H de la chute. Mais il faut bien remarquer que, si la partie postérieure de la lame introduite s’élève beaucoup moins, la partie antérieure s’élève par compensation beaucoup plus que le centre de gravité de l’cnscrablc. Bien que nous ne sachions pas calculer les effets du frottement de la lame sur l’aube, nous pensons que le raisonnement d’accord avec l’expérience exige, pour éviter tout jaillissement dans la roue, qu’on porte la hauteur de la couronne jusqu’à

(R— R0=| '£ = ÎH. ■ ^ • .■•(««>

c’cst-à-diro que la hauteur de la couronne pourra être convenablement prise égale à la moitié au plus de la chute; peut-être pourrait-elle être réduite à - II, si l’arc embrassé par la lame afÜucnle sur

conférence extérieure avait très-peu d’amplitude, ou, en d’autres termes, si la lame d’eau introduite avait peu de longueur.

66. On inclinera d’ailleurs le vannage à 45°, s’il est possible, ou tout au moins à un de base sur deux de hauteur, et les côtés du pertuis étant arrondis, le coefficient de la dépense pourra être fait — 0.80 pour la première inclinaison, et 0.72 ou 0.73 pour la seconde. Enfin, on donnera à la roue une largeur dans œuvre d'environ O”. 10 plus grande que la largeur de la vanne. Voyez au reste l’édition du Mémoire sur les roues hydrauliques d aubes courbes de M. Poncelet, qui contiendra les additions que l’illustre ingénieur a faites à scs mémoires de 1827, et qui sera prochainement publiée.

67. Roue horizontale à palettes planes ( fig . 6, pl. GXI). Ces roues ont habituellement une épaisseur assez faible pour qu’il soit permis de négliger le travail P W transmis par le liquide pendant sa descente h sur les palettes. On suppose donc que l’eau n’agit sur ces roues que par le choc ; V étant alors la vitesse réelle d’afllucncc

du liquide, A l’angle aigu formé par le plan de la palette avec la direction de Y, v la vitesse de la palette et B l’angle aigu du plan de la palette avec la direction de son mouvement, on a V' sin. A et v sin. B pour les composantes des vitesses perpendiculaires au plan de la palette, et dès lors, pour la vitesse perdue w perpendiculairement au même plan,

to*=[Vsin.A — vsin. B]* (39)

68. Après le choc, l’eau est supposée avoir conservé une vitesse parallèle au plan de la palette, dirigée de haut en has, et dés lors = Y cos. A. De son côte, la palette fuit de bas en haut parallèlement à son plan avec uue vitesse = v cos. B. Les choses sc passent donc comme si, la palette étant en repos, le liquide glissait parallèlement au plan de celle-ci avec une vitesse

v' = Y cos. A -(- v cos. B (40)

69. Mais, en outre, le liquide a conservé au moins la vitesse t> de la palette, il quitte donc la roue avec une vitesse absolue u résultante de v et de v', et dès lors on a

u1 ]~u'J — 2 et/ cos. B (41)

70. Mettant ces valeurs de ta5 et de u5 dans l’équation générale (l), y faisant h' — o, et simplifiant, on a pour l’équation du travail do ces roues

Ft> = — [Vsin. A — v sin. B] v sin. B. . (42) d

c’est-à-dire que le travail do la roue est le produit de la vitesse v du point choque par la quantité de mouvement relative du liquide estimée dans la direction de v.

71. L’effet utile Fu augmentera évidemment avec sin. A, et dès lors le premier terme sera le plus grand possible pour A = 90°, c’est-à-dire que le liquide devra frapper la palette perpendiculairement à son plan.

Cette première condition supposée satisfaite, on augmentera encore l’effet utile théorique en faisant

2 Mil. I!

OU

u sin. B =

et toutes ces conditions satisfaites n’élèveront l’effet utile qu’à la valeur

de sorte que ces roues bien établies ne sauraient utiliser plus de la

moitié de la demi-force vive du liquide affluent. Or, en pratique, elles sont loin d’atteindre cette extrême limite, et, d’après MM. Tardy et Piobert, leur effet utile et pratique peut être approximativement exprimé dans le cas général par la relation

F v = 0.7 — [V sin. A — v sin. B] v sin. B. . (45)

72. Roues horizontales à palettes courbes (fig . 7, pl. CXI). Raisonnant ici comme au § 67, on aura de même pour la vitesse perdue te normalement à la courbe de l’aube au point M où le filet moyen de la lame liquide vient l’alleindrc

ta* = [Y sin. A — esin.B]1 (46)

73. Quant à la vitesse dans la direction de l’aube que nous avons désignée par v', elle se compose de l’excès de V cos. A sur v cos. B, mais B étant obtus en vertu de la position de l’aube, son cosinus deviendra négatif, et, comme on ne peut plus négliger ici la partie h' de la chute, on a pour la vitesse que le liquide a acquise au point N dans la direction du dernier élément de l’aube

o'I=(Ycos.A-(-ecos.B)î-j-2ÿA. . . (47)

à cause de — ( — v cos. B) = -j- v cos. B.

74. Ainsi, en désignant par <p l’angle obtus des vitesses o' cl v, il vient pour la vitesse absolue u que le liquide conserve en quittant la roue

u2 zzz ü* -J— b’2 -j— 2 v v ’ cos. ç (48)

L’équation générale (i) devient donc

F» =P h' -f i Ï[V*— (Y sin.A — » sin. B)2 — u1] (49)

75. Si l’on pouvait rendre nuis les carres soustractifs compris dans la parenthèse, l’effet utile de cette roue atteindrait donc la valeur

Fe = PA'4-i - V*.

c’est-à-dire qu’il s’élèverait au travail absolu de la chute totale H = (A 4- h'), si la vitesse d’affluence V pouvait jamais être la vitesse V 2 <? h duc à la hauteur du niveau supérieur au-dessus du point d’introduction.

76. Or, on parviendrait à rendre nul le second terme de la parenthèse, si l’on faisait

. r» tr • i v sin. A ,

v sin. B== V sm. A ou — = . . . (51)

V iîd. B ' '

et nous avons déjà vu (15) que cette condition serait satisfaite, si l’élément de l’aube au point d’introduction suivait la direction de la résultante des vitesses ( — v)el + V.

77. Quant à la vitesse do sortie u (48), clic deviendrait nulle, si l’on avait

v2 -+- v'2 = — 2 e»' cos. f (52)

condition qui se réaliserait, si l’on avait à la fois

v'=v et cos. ÿ = ( — i) (53)

c’est-à-dire que le dernier élément de l’aube devrait être horizontal et dirigé en sens inverse de la vitesse de la roue, et que de plus la vitesse v' doit être égale à v.

78. Mais nous avonsdéjà trouvé pourt>unovaleurobligatoire(51); égalant cette valeur à celle de v’ (47), On déduira de l’équation obtenue la hauteur h' à laquelle il faudra élever le point d’affluence au-dessus du plan inférieur de la roue. On trouvera ainsi après quelques simplifications, a étant l’angle de v et V, et J/ 2 g h supposé = Y,

V* [ 2cos.Asin.a j

2g I* sin. B J

r 2cos. A sm. (A-}-B)'

l sin. B

En sorte que, si l’angle a était très-petit ou nul, et si le point d’affluence était situé dans le plan supérieur de la roue, son épaisseur h’ devrait être à peu près égale à la moitié de la chute totale H.

79. En pratique, le liquide se dégagerait très-difficilement de la roue, si le dernier élément des aubes était rigoureusement horizontal. On l’incline sur l’horizon de 25° environ, c’est-à-dire que l’on y fait tp = 155° : d’où résulte une perte de travail facile à évaluer. On donne d’ailleurs à la lame d’eau et aux aubes peu de largeur dans le sens du rayon, parce qu’il n’y a que le point de l’aube placé sur le filet moyen qui puisse prendre la vitesse exigée (51).

Lorsque ces roues sont établies dans les conditions du maximum d’effet, elles utilisent environ les sept dixièmes du travail absolu de la chute

F u = 0.7 P II (55)

80. Euler j qui s’est occupé de celle roue (Académie de Berlin, 1754), avait proposé, dans le cas où l’on auraità dépenser ud grand volume d’eau, de recevoir l’eau motrice dans un réservoir cylindrique d’un diamètre égal à celui de la roue, placé verticalement audessus d’elle, au travers duquel l’axe de la roue passerait librement et d’où l’eau s’échapperait par un grand nombre d’ajutages inclinés distribués à la circonférence.

On reconnaît ici très-exactement le principe de plusieurs turbi-