Les angles opposés par le sommet sout égaux

7. I’ar un point pris sur une droite ou hors du prolongement d’une droite, on ne peut conduire qu’une seule perpendiculaire à cette droite.

8. La somme DC-f-CE des obliques menées de deux points quelconques D.Ehunc droite AB, est la plus petite possible, lorsque les angles DCB, ÉCA, dirigés en sens contraire, sont égaux.

9. Lorsque par un point pris hors d’une droite, on mène plusieurs lignes h différents points de cette droite, 1° la perpendiculaire est plus courte que toute oblique ; 2° les obliques conduites d'un point quelconque de la perpendiculaire et qui s’écartent également de son pied, sont égales; 3* de deux obliques inégales, la plus longue est celle qui s’écarte le plus du pied de la perpendiculaire ; ¥ deux obliques, gui sont égales, tombent nécessairement de différents côtés de la perpendiculaire, mais à égale distance de son pied.

10. D’un point h une droite, on ne saurait tirer trois droites égales.

11. La perpendiculaire étant la plus courte des lignes qu’on peut mener d’un point à une droite, mesure la vraie distance de ce point h la droite.

12. Lorsqu’elle tombe sur le milieu de cette droite, elle a tous ses points à égale distance des deux extrémités, et tous les points pris hors de la perpendiculaire sont inégalement éloignés de ces extrémités.

13. Deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent point, quelque prolongées qu’on les suppose, et par conséquent sont parallèles, & moins qu’elles ne soient pas dans le même plan.

14. Une droite étant perpendiculaire h une autre droite, toute oblique à celle-ci, suffisamment prolongée, rencontrera nécessairement la première.

15. Lorsque deux droites sont parallèles, toutes celles qui, dans le plan de ces droites, sont perpendiculaires à l’une, sont en même temps perpendiculaires h l’autre.

16. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

17. Lorsque deux parallèles sont coupées par une droite, tous les angles aigus de la ligure sont égaux entre eux, ainsi que tous les angles obtus ; en outre, la somme d’un angle aigu et d’un angle obtus quelconques = 2 angles droits

a-\-b = a'-f-6' = c'-j-d'=c-j-d = rî-j-a =2 droits.

18. Réciproquement, lorsque l’une quelconque de ces propriétés a lieu, les droites sont nécessairement parallèles.

19. Deux droites respectivement perpendiculaires 11 deux autres droites qui se coupent, doivent nécessairement se rencontrer sous le même angle que celles-ci.

20. Les angles qui ont les côtés parallèles et l’ouverture tournée dans le même sens, sont égaux.

21. Les parties de parallèles interceptées entre parallèles, sont égales, et réciproquement si l’on a à la fois BD = AC et AB = CD. BD est parallèle h AC, et CD est parallèle 6 AB. Enfin, si AC et BD sont égales et parallèles, AB et CD seront de même égales et parallèles.

22. Si deux droites quelconques sont coupées par un nombre n quelconque de parallèles menées par des points pris 6 égales distances sur l’une d’elles A D , les parties de la seconde droite EH comprises entre ces parallèles sont aussi égales entre elles, et l’on a

«XAB : nXEF :: AD : EF.

23. Trois parallèles DII.BF, AE coupent toujours deux droites quelconques en parties proportionnelles, et l’on a

ab: bd :: EF: fh

2t. Si, par un point quelconque D pris dans le plan de deux droites AB, BC en dedans ou en dehors de l’angle ABC, on conduit plusieurs sécantes DC DE DG, et, si l’on joint les intersections de celles-ci par de nouvelles droites CF AE EH FG, les intersections de ces dernières seront toutes situées sur une même droite OB, laquelle passera par le point de concours B des premières droites AB BC.

JP

(B.) Triangles. — Leurs propriétés.

1. Un côté quelconque d’un triangle est plus petit que la somme des deux

autres; et, pour qu’un triangle puisse être construit avec trois lignes données, il faut que l’une quelconque de ces ligues soit plus petite que la somme des deux autres. . „

2. Si l’on prend dans l’intérieur d’un triangle un point quelconque d ou I on conduise deux droites aux extrémités d’un des côtés, la somme de ces droites enveloppées sera toujours plus petite que celle des droites enveloppantes qui s’appuient sur la même base.

3. Si deux côtés a b d’un triangle ABC sont respectivement égaux il deux côtés a'b< d’un autre triangle A' B' C\ et si l’angle C compris entre les deux premiers est <[ celui C' compris entre les deux derniers, on a nécessairement côlé c ^ coté c^«

4. Lorsque deux côtés d’un même triangle sont égaux, les angles qui sont opposés à ces côtés sont égaux, et si les deux côtes sont inégaux, le plus grand des deux est opposé au plus grand angle.

5. Réciproquement, si deux angles d’un triangle sont égaux, les côtés op-

posés h ces angles sont égaux, et si les deux angles sont inégaux, un plus grand côté est opposé au plus grand angle. .

6. Un triangle équilatéral est nécessairement équiangle, et réciproquement un triangle équiangle est nécessairement équilatéral.

7. La somme des trois angles de tout triangle = 2 angles droits. t

8. Un triangle ne peut donc avoir qu’nn seul angle droit et d fortiori qu un

seul angle obtus. . .

9. Si l’on prolonge un côté quelconque d’un triangle, on forme un angle

extérieur qui vaut toujours 5 lui seul la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas contigus. ,

10. Lorsque deux angles A, B d’un triangle sont respectivement égaux a deux angles A1 B' d’un autre triangle, le troisième angle C du premier = le troisième angle C' du second.

11. Les droites parallèles qui divisent l’un des côtés A M d’un triangle en parties égales , divisent pareillement en parties égales l’autre côté A II de ce triangle, et si ces droites sont parallèles au troisième côté MH , on a

ab: ae:: ad: ag :: «xab :nXAE

n étant un nombre quelconque.

12. Réciproquement , si deux côtés d’un triangle sont coupés par une droite CF en parties proportionnelles, cette droite CF sera parallèle au troisième côté M H.