Volume du prisme = produit de sa base par sa hauteur

8. Volume du tronc de prisme triangulaire rr produit de la base B par le tiers des trois hauteurs des angles Irièdrcs supérieurs = \ B (h -f h' -j- h").

9. Cylindre droit; aire convexe — produit du périmètre de la base par la hauteur h=z'ir.rh, r étant le rayon de la base; aire totales 2 ir(/i-(-r) volume ~ ~ r* h.

10. Cône droit dont h est la hauteur et r le rayon de la base. Son aire convexe — circonférence de la base X moitié Je la génératrice = n r V h' -f- r*

Volume =: le tiers du produit de sa base par sa hauteur = le tiers du cylindre de même base et de même hauteur = |irr‘ A = 10172 r'h.

11. Tronc de cône droit à baies parallèles, son aire zr produit de la génératrice du tronc par la moitié de la somme des circonférences des bases = produit de la génératrice du tronc par la circonférence menée h égales distances des bases.

Folumr — j r.h { B* -J- r* -f- Br J = 1 .0172 h (R* -f-r5 -f- R r)

B, r, h étant les rayons respectifs des bases et h leur distance.

12. L ’aire convexe engendrée par la révolution complète de plusieurs côtés de polygone régulier autour d’un axe = la projection sur cet axe de ces (ôtés du polygone, multipliée par la circonférence du cercle inscrit h ces côtés.

13. Le volume engendré par le secteur polygonal régulier formé au centre par les côtés ci-dessus = la projection du périmètre convexe du secteur sur l’axe de rotation multipliée par \ r. et par le carré du rayon du cercle inscrit.

H. L’aire engendrée par une courbe plane quelconque quia tourné autour d’un axe situé dans son plan, est égale h la longueur développée de la courbe multipliée par le chemin qui a été parcouru par son centre de gravité.

15. Le volume engendré par la révolution d’une figure plane quelconque autour d'un axe situé dans son plan, est égal au produit de l’aire de la figure par le chemin qui a été parcouru par son centre de gravité.

16. L’airs de la sphère est le produit de son diamètre D = 2R par la circonférence de son grand cercle, ou 2r R X 2 R =: 1 ~ R* soit quatre fois l’aire de son grand cercle — ~ I)5= 12.5663 R* = 3.1 1159 D1.

17. Le volume de la sphère — | tt 111 zs son aire X Ie bers de son rayon

=r les deux tiers du cylindre circonscrit = :=:0.o236D5:=:4.18879R,.

18. On obtiendrait le diamètre d’une sphère matérielle par la méthode suivante : 1° décrivez sur cette sphère un cercle quelconque, et conservez l'ouverture de compas a qui a servi à le décrire; 2° marquez trois points quelconques A, B, C sur la circonférence de ce cercle; 3° avec les trois distances AB, AG, BC, construisez, sur le papier tin triangle rectiligne auquel vous circonsctirez un cercle dont le rayon r sera ainsi déterminé ; 4” construisez un triangle rectangle dont a soit l’hypothénuse, et r un côté de l’angle droit ; 5° prolongez le troisième côté de ce triangle jusqu’b sa rencontre avec la perpendiculaire menée h l’hypoihcnuse, du sommet opposé; vous formerez ainsi un plus grand triangle rectangle, dont le premier fera partie , et dont l'hvpoihénuse sera le diamètre de la sphère.

Ce procédé s’appliquerait h une sphère dont une portion seulement serait visible.

19. L’aire de la calotte sphérique , celle de la zône à une ou deux bases = circonférence d’un grand cercle de la sphère X hauteur A =2nRX^

29. Le volume du segment sphérique h une base, dont h est la hauteur, R étant le rayon de la sphère, := J r. h* (3 1< — h) zz 1.0472 A’ (3 R — A).

21. Le volume de la tranche sphérique ou segment 5 deux bases produit de la hauteur A de la tranche par la demi-somme des deux bases, plus une sphère qui a A pour diamètre = i r. h (r1 -f- r”) -}- | te A’

22. Le volume du secteur sphérique — produit de l’aire de la calotte qui lui sert de base par le tiers du rayon R ; d’où, A étant la hauteur de la calotte, on a

2nRAXïR = |wR’A = 2.09139 R* A.

23. L’aire du cylindre est moyenne proportionnelle entre les aires de la sphère et du cône circonscrit, en comprenant les bases, et l’on a

cyl. : sph. : cône ”6:4:9

24. L’aire de la sphère = celle du cylindre qui lui est circonsciil, et si l’on comprend les bases du cylindre, l’aire de la sphère est les | de l’aire du cylindre.

25. On a entre les parties des cinq polyèdres réguliers et celles de la sphère qui leur est circonscrite, les relations suivantes :

Le rayon de la sphère circonscrite étant r, la circonférence d’un de scs grauds cercles est rr1, la surface de celte sphère est 4 -r1 et son volume I vr r*, on a pour les corps réguliers =

Tétraèdre.

Hexaèdre.

Octaèdre. J

Dodécaèdre.

Il % 1

Icosaèdre

Côté. . .

jt/ÎÔ

;j /Hpxy^s-,

Surface. .

Çw

Volume.

§rH

2Ô0rV3

(L). Mesure des solides gauches et des corps gui n'ont point de formes géométriques définies.

1. Le solide composé de deux prismes triangulaires dont les arêtes sont perpendiculaires à la base , a pour volume V la somme des deux prismes triangulaires tronqués dont il se compose, et par conséquent

V = At)C X~— ■ ^ +D,<

+ ABCX A"+-”6 + rc

l'une ou même deux des trois hauteurs de < liaque prisme tronqué peuvent être nullcs; on fait alors cette hauteur o dans la formule.