log. rayon ) log sin. B

log. cos. a 9.9570956 a = 259. 3'. 3" .266

log. cot. B 1 ,9.7,35*91 +log. rayon 5

log. cot. A 9.8678873

log. cos. e 9.8456618 c = *5».30’

Les petites différences qu’on a pu remarquer tiennent à l’incertitude des derniers chiffres des logarithmes.

Triangles sphériques obliquangles.

20. Etant donnés les trois côtés abc rangés suivant leur ordre de décroissance a >6 6>c trouver les trois angles ABC

... » cos. o— cos. b rns. r __ CQg cos((c. j cog£c, c — col. b cot. c

cos. a— sin. 6 sin. C

cos. B =

cos. 6 — cos. o cos. c gjn B

sin. 6 sin. A

sin. a sin. c

„ cos. e— cos. a cos. b .... „ sin.csin. A ...

cos.C — sin. a sin. 6 ’ sin. a

pajSanl « + — m, on aura pour calculer A par les logarithmes

. i « . ysin.fm — 'Clsin.fm — b)

* V bit), c sin. 6

. . , > sin. m sin. (m — a)

cos. J A — J/ gjn; b sin. e

taDg.IA=l/9in’(m-c)si"-(m-^ V siu. m siu. (m — a)

Les formules y' et 81 sont les plus usitées; 8' donnerait cependant des résultats peu exacts si A était fort petit, mais elle serait préférable à y' si A était fort obtus.

Un calculera B et C après avoir obtenu A par a' et fl1. On remarque que 5 A est nécessairement uu angle aigu. Quant b B et C, si l’on ne prévoyait pas d’avance leur espèce , les signes que prendraient cos. B, cos. C suffiraient pour la déterminer, et décider si ces angles sont aigus ou obtus.

21. Etant donnés les trois angles ABC rangés suivant leur ordre de décroissance A>B>C trouver les trois côtés abc

cos. A 4- cos. B cos. C . , „ , „ , . „ „ „

cos. a — . 1 — = == cos. A coséc.Bcoséc. C 4- col. B cot.C

sin. Bsin.C

cos. B 4- cos. A cos. C . . sin. a sin. B

COS. b — r— . - ■■ - — ~ S1I) . 6 = : ;

sin. A sin. C sin. A

COS.C4-ÇQS. A cos. B

sin. A sin. C

sin. a sin. C

Faisant— =n, on aura pour calculer a par les logarithmes

. . „ I / — cos. n cos. (n — A)

Sin. } a — 1/ : — x

y sin. B sin. C

cos,

. | /cos. (n — B) cos. (n — C)

* a y sin. B sin. C

, | / — cos. n cos. (n — A)

tang. i a = [/ - („c) cos, (rTl B;

On remarque que — cos n est toujours une quantité positive à cause de w=A~^~^~^>90°, de sorte que l’expression de sin. j a n’est point

imaginaire. î a est d’ailleurs nécessairement aigu.

On calculera d’abord a, puis on passera au calcul de b et de e en observant

3ue les signes de cos. b et cos. c suffiront pour déterminer l’espèce de b cl e c si elle n’était pas connue d’avance.

22. Etant donnés deux côtés 6 c et l’angle A compris entre eux trouver B C et a

tang. B =

sin. 6 sin. A

sin. c cos. b — siu. b cos. e cos. A

tang. C =

sin.c sin. A

sin. b cos. e — sia. e cos. b cos. A

cos.a=cos. A sia. b sia. c -(* cos. b cos. c ; sio. azz

sin. b gin. A

sin. B

Pour le calcul logarithmique, on remplacera les deux premières formules

par les deux suivantes qui donneront h la fois B et C

ub8.I(B + C)=»i.1A^I^|,

cl si B est supposé plus grand que C, on a

B-m + Pr5)

On cherchera d’abord B el C, puis on passera au calcul de a à l’aide de la valeur de sin. a. Quant à son espèce, elle sera déterminée par le signe de cos. a si elle n’était pas connue d’avance.

Si a est fort petit, on le calculera avec plus d’exactitude en cherchant d'abord la tangente ou le sinus d'un arc auxiliaire x par

tanc sin.jAt/sin.èsin.c cos.U iAin. fe sin.c

®‘ sin. I (ô — c) ’ sin. J (6 -(- c)

et l’on aura

sin *■ o = sin- 1 (ô — <0 tang- » sin. j (6 -f c) sin. x ’* sin. x tang. x

Si, au contraire, a est très-grand, on cherchera

„ — sin. î A y/ sin. 6 sin. c . cos. | A |/sin. b sin. c

~ cos. î (6 - c) ’ cos . J (* + e)

et l’on aura

, cos. h {b — c) sin. x cos. J (6 4-c) tane. x 1 . tang. x sin. x

23. Etant donnés deux angles B a C et le côté compris entre eux, trouver le troisième angle A et les deux autres côtés b et c

cos. A = cos. a sin. B sin.C — cos. B cos. C

, sin. B sin. A

tang. — gjn ç cos> B-j-cos. a sin. B cos.C ’

sin. C sin. a

tâoff* c *~*~* ——————————————

8' sin. Beos. C-f cos. o sin.C cos. B

et pour le calcul logarithmique

tang. i (6 + e) = tang. î a

cos. } (B — C) cos. î (It -f- C)

sin. j (B — C)

tang.|(6 — c) = tang. } a

siu. 1 (B -f C)

sin. A —

sin. a sin. B sin. b

L’espèce de l’angle A sera déterminée par le signe que prendrait cos. A dans la première formule si elle u'était connue d’avance.

24. Etant donnés deux côtés a c l’angle C opposé à ce dernier trouver A b B

Pour le second angle opposé A, on a

sin. a sin. C

sin. c

A nadiueltra qu'une valeur si C =» 90“

C < 90“ o < 90» et e > a

Exemple : Le triangle n'admettrait qu’une forme si l’on avait a = <20° c <= 100“ C = < 08° et dans ce cas. K est de même espèce que a.

A admettra dent valeurs si C < 90“ a < 90“ e < a

C < ou > 90“ et a = 90”

Exemple : Le triangle aurait deux formes si l’on avait a = 69“ c = 45“ C = 50“

Dans ce cas, on introduirait tour } tour lea deux valeurs de A dans les formules ci-dessous, ce qui donnerait deux valeurs pour S et deux pour B.

Quant à b et B on a

tau a tang. a cos. C± l/(tang.* c — séc.1 e sin.* a sin^C) Iqrtang. acos. C p'ijiang.* c — séc.’ e sin.’ a sin.'Ô)

^ g tang. a cos. C ± t/(tang.» c — séc.* c sin.» a sia.* C) tang. = gjn> a gjn< c q; séc. a cot.Cp/(tang.* c — séc.’ csin.’osin.'C)

et pour le calcul logarithmique

""«■ 1 »=“"!■ t (“ + je} “»«•»»=“*•! (A+c>Sî^

25. Etant donnés les angles C A et le côté a opposé 4 ce dernier, trouver c 6 B

on cherchera d’abord

sin. a sin. C

sm.e <

sin. A

et il y aura un ou deux triangles correspondants A sin. e suivant que les conditions suivantes auront lieu.

« admettra une seule valeur si o =* 90°

Exemple : Le triangle n'aurait qu'une forme si l’on avait o = 90° C 67° A = 79° l)aus re ras, e est de même espère que C. Dans cet exemple, il était aigu. Il n’y aurait encore qu’une forme si l'on arail « = 75», C = 408”, A = 79«, mais e serait obtus.

r admettra deux valeurs si

a < ou > 90» C = 90“

Exempt : Si l’on avait a = 75“ C — 407° A = 09“ le triangle aurait deux formes, et e deux valeurs qu’on introduirait tour à tour dans relies de tang. J 6 et tang. JB pour avoir ces quatre dernières.

Pour b et B, on a

tang. b =

tang. c ± séc.a séc. A y/(sin.» A — sin.’ a sin.» C)

— ting.asin.C±séc.Cséc.Acoséc.ak(sin.’A — sin.’asin.'C^

tang. B

cos. a cos. A ± cot ■ Ct/(sin.* A — sin.1 a sin.1 C) — cos. A cot. C ±cos. a v/(sin.’A — sin.’ a sin.* C)

et pour le calcul par logarithmes -.

. .i . , , - , cos. } (A + C)

ütng. { b - tang. }(«+«) — j-fr— (T)

tang. î B

COt. ; (A -}- C)

cos. j (a — e) cos. j (a -f c)