log. sin
log. sin. C 10.0198470 valeur qui montre que la question est absurde ; car le plus grand de tous les sinus a pour logarithme 10.000000, et un logarithme de sinus =10.0198 ne peut appartenir qu’à un arc imaginaire.
29. On a supposé dans toutes les formules précédentes le rayon de la sphère égal k l’unité.
Si ce rayon était quelconque, et = r par exemple, et qu’on voulût la longueur absolue d’un côté, on convertirait ce côté en secondes ( ), et s
étant le nombre de secondes qui y est contenu, on aurait pour sa longueur absolue f
ou log. I = log. r -f- log. * — 5.3144251
30. Réciproquement, la longueur absolue l du côté d’un triangle sphérique étant donnée, ainsi que le rayon r de la sphère sur lequel il est tracé, on aura sa graduation « en secondes au moyen de
1 = -2T-Xf
ou log. i 5.3144251 + log. f — log. r
Ainsi, sur une sphère de 100m de rayOD,
Tare = 79”. *125 aurait pour graduation 45°. 30' l’arc de 250.3'.3*.266 aurait pour longueur 43“ .7221
31. La surface T d’un triangle sphérique est î» la surface S de la sphère sur laquelle il est décrit comme l’excès de ces trois angles A -f- B -f C sur deux angles droits est à 8 angles droits.
R étant le rayon de la sphère en mètres, on a en mètres carrés
î it R>
Pour R = 100“ A = 90° B = 36°. 2 5 C = 62°.39'.28".383
le second facteur deviendrait 3^000 et I on aurait
(P). Tracés et problèmes usuels dont la solution n'exige que l’emploi de la règle et du compas.
1. Vivistr une droite donnée A B en deux parties égales (figure 1, planche LXXVll). Des extrémités de la droite donnée AB, et d’un rayon plus grand que la moitié de cette droite, décrivez deux arcs qui se coupent en C et en D; la droite CD sera perpendiculaire h AB, et les droites CD AB se couperont réciproquement en deux parties égales.
2. Diviser une ligne donnée en tant de parties égales qu’on voudra (fig. 2, pl. LXXY11). Soit proposé de diviser la ligne AB en cinq parties égales. Par l’extrémité A, menez la droite indéfinie AC, et portez sur cette droite cinq fois la longueur quelconque Al; joignez le dernier point de division C et l’extrémité B de la droite AB; menez DI parallèle à BC, AD sera la cinquième partie de A B.
Ce procédé peut se varier de différentes manières : en voici un autre (fig. 3} qui est fort exact dans la pratique.
Soit toujours AB la ligne à diviser. Menez A volonté la droite indéfinie BD, et par le point A, la droite AE, parallèle à BD. Portez sur chacune de ces parallèles cinq parties égales, et joignez tous les points de division correspondants par les droites A D, (1, 4), (2, 3} , lesquelles, étant parallèles et équi-
distantes, diviseront A B en cinq parties égales.
3. Diviser une droite AB dans le même rapport qu’une autre droite AC. Le procédé est tout à fait analogue. Soit par exemple 2, 3, C, les points de division (fig. 2) de la droite AC. On dirigera AC à partir de A sous une inclinaison quelconque. On joindra CB, et l’on conduira parallèlement h CB les droites 33’, 22' qui couperont AB en parties A2’, 2'3', 3' B proportionnelles à A 2, 23 et 3 C.
4. Diviser une ligne AB en moyenne et extrême raison (fig. 4). Menez CA
perpendiculaire 5 AB , et faites CA = -^-; du point C comme centre, et du
rayon CA décrivez une circonférence; joignez CB; prenez BE = DB, et le point E divisera AB, comme l’exige l’énoncé de la question, c’est-à-dire que l’on aura
AE : BE ;; BE: AB ou AEXAB = BË’
On remarquera que, par celle coustruclion, la sécante BII est divisée ellemême en moyenne et extrême raison au point D, c’est-à-dire que sa plus grande partie HD est moyenne proportionnelle entre la ligne entière II B,
et l’autre partie DB. HD = HBXBD
5 .Construire une échelle de partiel égalei (Og. 5, pl. LXXVIl). On entend par échelle une droite qui sert a mesurer toutes les lignes d’un plan ou d’une carte. Lorsque l’on a des détails minutieux à représenter, on emploie le plus souvent des échelles de dixmet. Voici comment on les construit :
Supposons que l'on veuille le dixième du petit iutervalle am, qui peut re-
ftrésenter un mètre, par exemple. On élèvera, à la droite ab , la perpendicuairc ac , sur laquelle on portera dix intervalles égaux -, puis, par tous les points de division, l’on mènera des parallèles à la ligne ab-, ensuite, on tirera les
transversales cm, xn, yp , qui seront équidistantes, puisque les espaces
am, mn.... ex, xy...., sont égaux par construction. De celte manière, la partie de la première parallèle (1) (l'j, interceptée dans le triangle l'bd, sera le dixième de am, ou d’un mètre. La partie de la seconde parallèle, interceptée de même, en sera les et ainsi de suite.
Maintenant, si l’on veut une longueur de 16 mètres *5, par exemple, on prendra avec le compas la partie de la parallèle (4) (4'), comprise entre e[ et la transversale qx. De même, pour avoir la longueur de 18“,55, on prendra la partie de la parallèle qui est comprise entre ef elxn, et qui tient le milieu enlre les deux autres (5) (51) et (6) (6').
6. Faire un angle égal à un anlge donné BAC (fig. 6, pl. LXXVIl). Tirez une droite indéfinie DF: du point D, avec une ouverture de compas assez grande, décrivez l’arc indéfini F K, avec la même ouverture de compas, et du point A comme centre, décrivez l’arc BC , portez BC de F en E, tirez DE.
7. Par un point C donné hors d'une droite AB, mener une ligne qui fasse avec lu première un angle donné M (fig. 7). Par un point D pris à volonté sur AB, on tirera une droite DE, de telle sorte que l’angle EDB:=M; ensuite on mènera par le point C une droite C II parallèle à DE.
8. Mesurer un angle avec le rapporteur. Le rapporteur est un demi-cercle de cuivre ou de corne, divisé en 180 degrés, et quelquefois en demi-degrés s’il est d’un grand diamètre. On eu fait un fréquent usage pour rapporter sur le papier les angles mesurés sur le terrain; on s’en sert aussi pour mesurer un angle sur le papier, et voici comment on procède. On place le centre de l’instrument au sommet de l’angle à mesurer, et l’on fait coïncider son diamètre avec un des côtés de cet angle; le nombre de degrés contenus dans l’arc compris entre les deux côtés est la graduation de ce même angle.
9. Construire sur le papier un angle d’une graduation donnée (fig. 8). Lorsqu’on visera à quelque exactitude, on devra rejeter absolument l’usage du rapporteur, et employer la table des sinus en se rappelant que sin. A = 5 corde '2 A ou que le sinus d’un angle est moitié de la corde de l’angle double.
Ainsi, pour tracer une ligne BC, qui fasse par exemple en B un angle de 31°.26' avec AB, on prendra sur B A 1.00, 1.000 ou 1.0000 parties quelconques qu’on portera de B en o; on décrira avec le rayon B a l’arc indéfini uc ; on cherchera dans la table le sinus de 15°. 43', moitié de 31°. 26' ; on doublera ce sinus , ce sera la corde de l’arc de 31°.26' dans le cercle dont le rayon est 1. Heculanl la virgule pour multiplier celle valeur par 1.00, 1.000 ou 1.0000 suivant le rayon qu’on a choisi, on aura ac qu’on portera de a en c sur l’arc, il ne restera plus qu’à tirer Bc.
Pour un angle de 25*. 30’ par exemple, on trouverait sinus de 12''.45' 0.22069 corde 25°.30' 0.41138
Quand l’angle est obtus, on l'obtient plus exactement en construisant son supplément, c’est-à-dire l’angle Formé sur le prolongement du côté donné.
10. Par un point E donné sur une ligne Ml (fig. 1, pl. LXXVII), élever une perpendiculaire à celle ligne. Portez à droite et à gauche du point E sur la droite donnée les distances égales ER = EA; des points U, A comme centres et avec un rayon plus grand que E B , décrivez des arcs de cercle : ils se couperont en C et D. La perpendiculaire en E passe donc par les points C, E, O.
11. Mener une perpendiculaire à l’exlrémité A d’une droite BA sans la prolonger (fig. 9). Prenez, à volonté, un point C dans l’intérieur de l'angle droit EAB. De ce point comme centre, et d’un rayon =>AC, décrivez une circonférence A D H E. Par le point U, où celle circonférence coupe la droite
AB, menez le diamètre DE, et joignez les points A, E ; la droite AE sera perpendiculaire à AB.
S'il s’agissait de résoudre le même problème sur le terrain, on s’y prendrait de la manière suivante.
Placez-vous quelque part en C ; puis tendez un cordeau d’une longueur
AC, de C en D, de telle sorte que l’extrémité D soit dans la direction AB. Tendez ensuite le même cordeau de C eu E, dans la direction CD, marquée par des piquets; la droite AE sera la perpendiculaire demandée. Cette construction revient à la précédente.
12. Par un point A d'une droite XY donnée sur le terrain, élever une perpendiculaire d celte droite (fig. 10, pl. LXXVII). Faites en A un angle obtus quelconque Y AB; prenez AB = A Y, joignez B et Y. Portez de Y versO
une distance TO — “jjy Menez AO qui sera perpendiculaire à XY en A.
13. D’un point C donné hors d’une droite Mi, mener une perpendiculaire à celle droite (fig. 11, pl. LXXVII). Du point C comme centre, donné hors de la droite AB, et d’un rayon suffisamment grand, décrivez un arc qui coupe AB en deux points E, F; 'de ces points comme centres, et du même rayon, ou de tout autre, décrivez deux arcs qui se coupent en D: la droite CD sera perpendiculaire sur le milieu de EF, et par conséquent sur la droite AB. Les points C, D sont chacun également distants de E et de F.
14. D'un point B hors d’une droite accessible XY et sur le terrain, abaisser une perpendiculaire sur cette droite (fig. 10, pl. LXXVII). Prenez sur XY un point A tel que l’angle Y AB soit obtus, et faites A Y = AB. Mesurez
sr
BY; portez de Y en Q une distance YQ = ^ ■ ^F» le point 0 sera *e pied de la perpendiculaire cherchée.
15. Diviser un angle CAB ou un arc mn en deux parties égales (fig. 12, pl. LXXVII). Du sommet A de l’angle comme centre et d’un rayon pris à volonté, décrivez l’arc mn. Des points m, n comme centres, et d’un rayon plus grand que Jmn, décrivez deux arcs qui se coupent en D, la droite AD divisera l’angle BAC en deux parties égales, ainsi que l’arc mn.
On peut, par la même construction, diviser un arc en 4, 8, 16.. .2”, parties égales.
16. Diviser en deux parties égales un angle (fig. 12, pl. LXXVII) dont on n’a pas le sommet, et qui n’est donné que par ta direction de ses côtés F H, G K. Par des points quelconques O, 1 pris sur chacun des côtés, élevez à ces côtés les perpendiculaires égales O o, I «.
Par o et t, menez les droites, CA, B A respectivement parallèles à FU,
G K. Ces droites se rencontreront en A, et il restera, comme dans le numéro précédent, & diviser CAB en deux parties égales.
17. Sur le terrain, diviser un angle A en deux parties égales (Bg. 13, pl. LXXVll). Prenez sur chaque côté de l'angle les distances quelconques respectivement égales A M = A L et A M' = A L'. Placez des jalons en L cl L’. Beux observateurs placés en M et M’, et visant l’un de M' vers L, l’autre de M vers L', feront placer un jalon en un point I tel que ce jalon I leur cache respectivement les jalons L et L'. L’alignement A I coupe l’angle en deux parties égales.
18. Sur le terrain et par un point donné O dans un angle A ou au-dehors, mener une droite dont le prolongement passe par le point A supposé inaccessible (fig. 14, pl. LXXVll). Par le point O tirez une droite quelconque BC qui coupe les deux côtés de l’angle, puis une parallèle à cette droite qui coupe aussi en D et E les deux côtés de l’angle.
Prenez sur celte seconde droite, soit D I = B 0 X soit E I = O C
Par le point I ainsi déterminé et par le point O, menez la droite indéfinie 01 A.
19. Par un point D pris dans l’intérieur d'un angle donné, mener une droite de manière que les parties comprises entre ce point et les deux côtés de l'angle soient égales (fig. 15, pl. LXXVll). Par le point D, menez DE parallèle & AB; prenez EF = AE, et menez la droite FDG, qui sera nécessairement divisée en deux parties égales au point D.
20. Par un point C donné, mener une parallèle à une droite donnée A B (fig. 1, pl. LXXVIII). Du point donné C pris pour centre, et d’un rayon CB aussi grand que possible, décrivez un arc indéfini BD. Du point B comme centre, et du même rayon, décrivez l’arc CA ; prenez BD = AC, et lirez la droite CD qui sera la parallèle demandée.
Voici un autre moyen de résoudre ce problème, et qui est assez exact dans la pratique (fig. 1).
Du point C comme centre, on décrit l’arc xy tangent b AB, et d’un autre point F pris sur A B, on décrit du même rayon l’arc zt. Ensuite on dispose une règle dont le bord passe par le point C, et soit langent b l’arc si. La droite C D, détermiuée de celte manière, est la parallèle demandée.
21. Par un point O sur le terrain, mener une parallèle à la droite X Y, qui n’est accessible qu’aux points X et Y (fig. 2, pl. LXXVIII). Menez Y O, puis, en parlant de X, une droite quelconque qui coupe Y 0 en un point
quelconque I, prolongez X I d’une quantité IN = — ^ — , menez une droite par O et N.
22. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données (fin. 3, pl. LXXVIII).
1” Solution. Sur une droite indéfinie xy, portez à la suite l’une de l’autre les lignes A et B données. Sur la somme æ y de ces deux lignes, comme diamètre, décrivez une demi-circonférence, et, par l’extrémité s du segment *s=»A, élevez à xy la perpendiculaire z u, qui sera la moyenne proportionnelle cherchée su «=» A X B.
2* Solution. Sur la plus grande ligne B ou xy', décrivez une demi-circonférence ; portez la ligne A sur la ligne B, c’est-à-dire faites xz = A, et, par l’extrémité s de la droite A, élevez zu' perpendiculaire à xy enfin, menez la corde xu', qui sera la moyenne proportionnelle demandée.
23. Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données (fig. 4,
pl. LXXVIII). Les trois lignes données sont m, n, />. Sur le côté AX d’un angle arbitraire A, portez, a partir du . point A, et à la suite l’une de l’autre, les deux premières lignes m et n; sur l’autre côté A Y, portez. !i partir «lu même point A, la troisième ligne p; joignez par BC les extrémités de m et de p, et par l’extrémité de n, menez DE parallèlement à BC. La partie CE
sera la quatrième proportionnelle cherchée x=— .
On trouve de la même manière une troisième proportionnelle h deux lignes données A, B : car elle est la même que la quatrième proportionnelle aux trois lignes A, B, B.
24. Le* trois côtés d’un triangle étant donné* séparément, décrire ce triangle (Gg. 5, pl. LXXVIII). Les trois lignes données sont m, n, p. Prenez A B — m ; du point A, comme centre et d’un rayon égal à n, décrivez un arc XD i puis, du point B comme centre et d’un rayon égal p, décrivez un autre arc si, qui coupe le premier enC; enfin, tirez les droites CA, C B, et le triangle ABC sera celui qu’il fallait décrire.
La construction seule fait voir que les arcs xy, xt, ne peuvent se couper, et par conséquent que le triangle ne peut avoir lieu qu’autant que la plus grande ligne donnée est plus petite que la somme des deux autres.
25. Etant donné* le périmètre p = c — a -j— b d’un triangle et le* troi* angle*
A, B, C, eonitrut'r* le triangle (fig. 6, pl. LXXVIII). Sur une droite indéfinie, portez les distances Sîy=p. Faites en p un angle — JB cl en y un angle ■= J C; l'intersection des côtés p A. y A déterminera le point A. Eu ce point A faites sur p A un angle p A B =■ J- B et sur y A un angle y A C => J C ; les côtés A B, A C de ces angles respectifs détermineront par leurs intersections
B, C avec Py les deux autres sommets du triangle cherché ABC.
26. Etant donnés dan* un triangle rectangle un côté A B = c de l’angle droit et la somme (AC-j-CB) de* deux autre* côté*, conttruire le triangle (fig. 7, pl. LXXVIII). Menez une droite A B' = (A C -)- C B) perpendiculaire h AB=c; joignez B et B'; par le milieu m de B B', menez à cette ligne une perpendiculaire qui déterminera par son intersection avec AB1 le troisième sommet C du triangle; tirez CB.
27. Étant donnés dans un triangle rectangle l’hypoténuse BC = h et la différence d de* deux côté* de l’angle droit , conttruire ce triangle (fig. 8, pl. LXXVIII). Tirez mie droite indéfinie X Y; par un point p quelconque de cette droite, menez-lui une perpendiculaire ps; coupez l’angle Xps en deux parties égales par py. Portez sur X Y et de p en C la différence connue d ; du point C comme centre avec l’hypoténuse connue h pour rayon, recoupez py en B. Par le point B, menez BÂ parallèle h pz, et BAC rectangle en A sera le triangle demandé.
28. Etant données le* longueur* a et h de deux côté* adjacent* d’un triangle, et celle d de la droite gui partage en deux partie* égales l’angle compris entre a et b, construire le triangle (fig. 9, pl. LXXVIII). Cherchez
une quatrième proportionnelle AO à a, a-f-6 et d , AO = ^-i-^-fî. Sur AO
comme base, formez un triangle isoscèle AC O à l’aide des côiés AC=CO=6; prolongez le côté OCdeCB = a. Tirez BA et CA, ABC est le triangle cherché, d est parallèle à O A.
29. Sur une droite donnée a b (fig. 10), construire un triangle semblable à un triangle donné ABC (fig. 9, pl. LXXVIII). Au point a, faites l’angle o=A, et au point b l’angle ô = B. Les droites ac, bc sc rencontreront en un point ci qui sera l’homologue de C, et le problème sera résolu.
30. Etant données les trois hauteurs H, H', 11“ d’un triangle, construire ce triangle. Oq cherchera une quatrième proportionnelle x
HX»'
