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puis avec les côtes x, II et H', on construira un triangle qui sera équiangle, et par conséquent semblable au triangle cherché, d’où... etc.

31. Mener dans le plan d’un triangle ABC une droite telle que la somme des distances de chacun de scs points aux trois cotés du triangle soit constante (fig. 11, pl. LXXVIII). Portez AB de A en D, puis de B en E, lirez l’indétini DE, c’est la droite cherchée.

32. Construire un carré sur la ligne donnée AB (6g. 12, pl. LXXVIII). De chacune des extrémités A, B de AB, et avec des rayons = AB, décrive* deux arcs indéfinis qui se couperont en O. Du point 0 comme centre avec OB pour rayon, recoupe* l’arc BI en I, tire* IB. Du point O comme centre avec O K pour rayon, recoupez les premiers arcs en C et D. Les points A, B, C, D sont les sommets du carré.

33. Etant donnés les deux côlés adjacents a, b d'un parallélogramme et V angle M qu'ils comprennent, construire le parallélogramme (lig. 13, pl. LXXVIII). Sur une droite indéfinie, porte* AB = o; faites en A un angle égal à H (n° 6) , portez AC — b sur l'autre côté de b de cet angle. Du point C avec le rayon a, tracez un petit arc que vous recouperez en D avec un arc décrit de B d’un rayon b.

3*. Trouver le côté d’un carré équivalent à un rectangle donné. Soient b et h la base et la hauteur du rectangle donné, x le côté du carré cherché. Il est clair qu’en vertu de l’énoncé de la question, on doit avoir by,h = x', ou b : x x : h,

c’est-à-dire que le côté du carré est moyen proportionnel entre la base et la hauteur du rectangle.

On pourra donc opérer comme ci-dessous (fig. 1*, pl. LXXVIII). A B étant la base du rectangle donné, et AC sa hauteur, prolongez BA; du point A comme centre avec la hauteur pour rayon, décrivez l’arc qui recoupe le prolongement de B A en D. Sur Bl> comme diamètre, décrivez la demi-circonférence DF B, prolongez AC jusqu’à sa rencontre en F avec la circonférence. A F est le côté du carré cherché

âf — acxab

35. Transformer un polygone rectiligne quelconque en un autre polygone équivalent, et qui ait un côté de moins (fig. 15, pl. LXXVIII). Supposons que le polygone proposé soit le quadrilatère ABCD, menez la diagonale AC, et par le point D la droite DE parallèle à cette diagonale et terminée au côté. AB prolongé suffisamment; puis joignez les points E, C; le triangle BCE sera équivalent au quadrilatère A BCD.

On voit par là la possibilité de transformer un polygone quelconque en un triangle équivalent : car s’il s’agit, par exemple, d’opérer sur un pentagone, on le transformera, par la méthode précédente, en un quadrilatère équivalent, puis l’on trouvera un triangle équivalent à ce quadrilatère.

36. Trouver un carré équivalent d un polygone donné. Pour résoudre ce problème graphiquement, on transformera le polygone donné en un triangle équivalent ; ensuite, on prendra, par le procédé du n° 22, une moyenne proportionnelle entre la base et la moitié de la hauteur de ce triangle : cette moyenne proportionnelle sera le côté du carré cherché.

Il suit de là que toutes les figures rectilignes sont carrables.

Nota. Pour construire un carré équivalent à un cercle, il faudrait que le

côté de ce carré fût une moyenne proportionnelle entre la circonférence et la moitié du rayon du cerclé donné ; mais le rapport numérique de ces deux lignes étant incommensurable, il s’en suit que la quadrature du cercle est impossible; cependant l’aire du carré obtenu par celle méthode, différera d’autant moins de celle du cercle, que le rapport dont il s'agit sera plus approché {Voyez 14, pag. 849, et 60, pag. 889).

37. Faire passer une circonférence par trois pointe donnée A, B, C non en ligne droite (lig. 16, pi. LXXVIII). Joignez les points par les deux droites A B, BC, et sur le milieu de chacune, élevez les perpendiculaires de, gf. Le point O d’intersection de ces perpendiculaires sera alors également distant des trois points A, B, C, et sera par conséquent le centre du cercle cherché.

On ne peut faire passer qu’une seule circonférence par les trois points A, B, C, et l’on voit bien que si ces points étaient en ligne droite, le problème serait impossible.

Celte solution résout de môme le problème où il s'agit de faire paseer une circonférence par lee sommets dee trois angles d’un triangle, ou bien de (rout er le centre d’un cercle ou d’un arc.

38. Si lee trois pointe A, B, C sont donnés sur le terrain, et qu'il faille tracer une circonférence par ces trois points supposés très-éloignés les uns des autres, on mesurera avec un graphomètre l’angle ABC, et l’on choisira d’autres points, tels que B’, d’où les objets A. C soient vus sous le môme angle qu’en B, c’est-à-dire de manière qu’on ait ABC = AB’C. L’ensemble de tous ces points déterminera l’arc de cercle cherché que l’on tracera ensuite librement. Pour achever la circonférence, on choisira de môme d’autres points 6, b'...., en sorte que chacun des angles AAC, Aô'C...., soit égal à l’excès des deux angles droits sur l’angle B'.

39. Inscrire un cercle dans un triangle (fig. 17, pi. LXXVIII). Divisez en deux parties égales deux des angles AB de ce triangle ; le point d’intersection O des deux lignes de division sera le centre du cercle cherché. Quant au rayon O K de ce cercle, il est égal à la perpendiculaire abaissée du centre O, sur un des côtés A C du triangle ABC.

40. Etant donné* trois points P, P', m (fig. 18, pl. LXXVIII) d’un arc de cercle dont le centre est inaccessible , tracer cet arc. Des points extrêmes P, P1 comme centres et avec leur distance PP’ pour rayon, décrivez les arcs indéfinis Ps, P'z'.

Parles points P m et P'm, menez des droites qui rencontreront respectivement P* et P's' en O et O'. Divisez les arcs PO, P'O' en un môme nombre n de parties égales (ici n = 4) , puis au-dessus de O et de O', portez (n =» 1) de ces divisions, lirez — 3 P' et -)-3'P , qui donnera le point a de l’arc cherché ; les autres points bc c'b'.... seront donnés respectivement par les intersections de — 2 P' et -J— 2'P, de — 1 P' et -f- l'P, de 4-2 P et — l'P, etc.

On eût opéré d’une manière analogue, si, au lieu de m, on eût donné tout autre point c 6 ou a; alors prenant le milieu m de l’arc déterminé et abaissant de ce point une perpendiculaire sur la corde P P’, on eût obtenu la flèche my.

41. Sur une droite donnée AB, décrire un segment capable d'un angle donné C (fig. 1, pl. LXXIX). Il s’agit de décrire sur AB un arc A K B, qui soit tel que tous les angles iuscrits K, K’..., soient égaux à l’angle C.

Faites l’angle SIAB = C. Elevez AO perpendiculaire a AM, ainsi que 0D perpendiculaire sur le milieu de A B , et le point O, commun à ces deux perpendiculaires, sera le centre de l’arc A K B demandé.

42. Par un point donné A (fig. 2, pl. LXXIX), mener une tangente d un cercle. Si le point A est donné sur la circonférence, menez le rayon A C, et élevez sur ce rayon la perpendiculaire AB, qui sera tangente au point A.

Si le point A’ est donné hors de la circonférence, joignez ce point et le centre C du cercle donné, et sur la ligne A'C comme diamètre, décrivez la circonférence A'RCB’: les droites A'B, A'B’, menées du point donné aux intersections des deux cercles, seront tangentes au premier cercle CB.

On voit aussi que, pour qu’un cercle C touche les côtés d’un angle A', il faut que son centre soit sur la droite qui divise cet augle en deux parties égales.

43. Inscrire un carré dam un cercle, et circonscrire un carré au cercle (fig. 3, pl. LXXIX). Menez deux diamètres AC, BD perpendiculaires entre eux, et les quatre droites qui joindront leurs extrémités seront les côtés du carré inscrit A BC D.

On voit bien ce qu’il faudrait faire pour circonscrire un carré au même cercle , et il n’est pas difficile de prouver que le carré circonscrit est double du carré inscrit.

En divisant en deux parties égales chaque quart de circonférence, et joignant tous les points de division, on aurait l’octogone régulier inscrit; de lit, on pourrait passer h un autre polygone régulier d’un nombre de côtés double. Ainsi, tous les polygones réguliers inscriptibles ou circonscriptibles à l'aide du carré, sont ceux de

4, 8, 16, 32, etc., côtés.

44. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle. Portez le rayon du cercle donné, six fois de suite sur la circonférence.

En joignant de deux en deux les six points de division, l’on aurait le triangle équilatéral inscrit. Il est remarquable que ce triangle est le quart du triangle équilatéral circonscrit.

Tous les polygones inscriptibles ou circonscriptibles au cercle, à l’aide de l’hexagone régulier, sont ceux de

3, 6, 12, 24, etc., côtés.

43. Inscrire un décagone régulier dans un cercle. On divisera le rayon du cercle donné en moyenne et extrême raison, et la plus grande partie de ce rayon sera le côté du décagone régulier inscrit.

Si l’on joint de deux en deux les dix points de division, l’on obtiendra le pentagone régulier. Il suit de 13 que tous les polygones réguliers inscriptibles ou circonscriptibles au moyen du décagone, sont, sont ceux de

5, 10, 20, 40, etc., côtés.

46. Inscrire «n penlédécagone dans un cercle. L’arc sous-tendu par le côté du penlédécagone est égal 3 l’arc de l'hexagone, moins celui du décagone. En effet, l’arc de l’hexagone = è ou J d’un angle droit ; l’arc du décagone = ^ ou J; donc la différence de ces deux arcs = | — x ==n d’un angle droit, et c’est précisément l’arc du penlédécagone. Au moyen de ce polygone, on pourra inscrire ou circonscrire tous ceux de

15, 30, 60, etc., côtés.

47. Inscrire dans un cercle, avec le rapporteur, un polygone régulier d'un nombre de côtés donné. La méthode graphique, qui s’applique indistinctement à tout polygone régulier, consiste 3 placer le centre d’un grand rapporteur au centre du cercle donné, et à prendre sur la circonférence de ce rapporteur, des arcs consécutifs dont la graduation soit la valeur de l’angle au centre du polygone à inscrire.

48. Étant donné le côté a d’un polygone régulier, trouver le rayon R du cercle qui lui est circonscrit.

La labié suivante et la formule R = a f résolvent ce problème.