CORRESPONDANTES

Veut-on connaître, par exemple, le rayon du cercle circonscrit h l’octogone dont le c6lé est 12, on a

Cette table, et la formule c R = a, peuvent encore servir à résoudre le problème inverse.

49. Etant donné le rayon R d'un cercle, trouver le côté a d’un polygone régulier (de moins de 12 côtés) gu» lui etl inscrit.

Soit, par exemple, 5 le rayon d'un cercle, on aurait pour le côté du triangle équilatéral inscrit

50. Mener des tangentes à deux circonférences C C’ (fig. 4, pl. LXX1X). Tirez une droite indéfinie 5 travers les centres C, C' ; menez dans chacun des cercles, et d’une manière quelcontme, les rayons C R, C1 R' parallèles entre eux et dirigés dans le même sens. Tirez la droite H, R' jusqu’à sa rencontre en A avec Te prolongement de C, C'.

Du point A, menez des tangentes par le problème 42 à l’une des deux circonférences, elle seront en même temps tangentes à l’autre.

51. S»' la place manquait pour trouver le point de rencontre A de C C1 et de R R' (fig. 5), on porterait dans le plus grand cercle le rayon le plus petit R' C' de 1\ en C' ; on décrirait ensuite la circonférence C C’, à laquelle on mènerait deux tangentes partant du centre C' du petit cercle. Menant ensuite les perpendiculaires T P, C' p, T' P', C' p' à l’origine C' et aux points de contact T, T' de ces tangentes, il ne restera plus qu’à joindre respectivement les points P p et P' p' par des droites qui seront les tangentes cherchées.

52. Un point C est donné dans l’angle A, on demande de faire passer par ce point une circonférence qui soit tangente aux deux côtés de l’angle (fig. 6, pl. LXXIX).

Coupez l’angle A en deux parties égales par la bisectrice AX; le centre du cercle est sur celle droite. Du point C abaissez une perpendiculaire indéfinie

C »D E B sur la bisectrice. Portez C » de »' en D. Prenez B T = VBC XD D par T ainsi déterminé, et menez T O perpendiculaire à A B. O est le centre du cercle et TO ■=> OC son rayon.

53. Etant données deux droilet M N, P Q. tracer entre ellet det circonférence» tangente» entre elles et à cet droilet (lïg. 7, pl. LXXIX).

Coupez en deux parties égales l’angle formé par les directions de ces droites; la bisectrice X Y contiendra les centres de toutes les circonférences cherchées.

l)'un point C pris sur Xy, menez cT perpendiculaire h l’une des droites M N, par exemple. Du rayon c T, décrivez la circonférence dont le rayon est c T = c t.

Par le point t menez t O perpendiculaire à la bisectrice. Du point O comme centre avec O (=0 T pour ravon, décrivez la demi-circonférence T tT; T'est le point de contact du second cercle avec M N ; par T’, élevez la perpendiculaire T' c1; e' est le centre du second cercle, et son rayon c' T' —cl1; par t' élevez la perpendiculaire V 0' à la bisectrice, avec 0' C = 0' T' pour rayon..., et ainsi de suite.

5i. On remarque que d d'... étant les distances c X, c ’X... au sommet de l’angle 2 a des droites; r, r'... les rayons cT, c1 T' de deux cercles successifs, on a

r' 1 — sin. a

r 1 sin. a

lang.«Qn + i«)

Les rayons de tous les cercles, et, par suite, leurs circonférences et leurs surfaces forment une progression par quotients.

55. Etant donné un point T sur la biteclrice de l'angle formé par les direction» de deux droilet, mener une circonférence gui toit à la [oit tangente aux deux droilet et gui patte par le point T (fig. 8, pl. LXXIX).

Par le point T menez A B perpendiculaire à la bisectrice. Divisez les angles B A N, A B Q, chacun en deux parties égales, par des droites dont l’interseciion donnera le centre O du cercle cherché, dont le rayon est O T. Les perpendiculaires O (, O (' donnent les points de contact < (' avec les droites.

56. Tracer un cercle langent d la foi» d une droite donnée de position XX et d une circonférence C T, en un point déterminé T de cette circonférence (fig. 9, pl. LXXIX).

Menez le rayon C T, au point en question ; puis, par ce point, une tangente T Y que vous prolongerez jusqu’à sa rencontre Y avec la droite. Coupez en deux parties égales l’angle T Y X. La rencontre O de la bisectrice Y O et du ravon prolonge CTO donne le centre O du cercle cherché dont le ravon est O'T =0/.

57. Tracer un cercle tangent d la fois à un autre cercle 0 r «t d une droite X y. le point de contact T avec la droite étant fixé (fig. 10, pl. LXXIX).

Par le point T, menez une perpendiculaire indéfinie à la droite Xy, portez le rayon 0 r de T en n; joignez O n,- sur le milieu m de O n, élevez la perpendiculaire mC; son intersection C avec n Z est le centre du cercle cherché. Joignez OC qui déterminera le point de contact r du cercle Or avec le cercle cherché, dont le rayon est CT = Cr.

Si l’on porte Or de T en n' et qu’on opère d’une manière analogue, on trouve une autre circonférence UN de rayon C'r' = C'T qui saiisiait à la question. Le rayon r' C' a son centre C' eu dehors de la planche, dans les directions 0 r' et n Z.

58. Mener une circonférence gui soit d la fois tangente d une droite K L, d un cercle Du, et gui patse par un point donne A (fig. 11, pl. LXXIX). Par le centre du cercle donné, menez le diamètre Dn perpendiculaire à K L, et prolongez ce diamètre jusqu’à la droite K L en C. Du point D, menez h travers

le point donné À une droite qui rencontre K L en K. Porte* sur cette dernière, à partir de D, une longueur DH— — ce qui déterminera le

point II; porte* sur KL, à partir de K, une distance KT=t/KAXKH> ce qui déterminera le puiut T.

H ne reste plus qu’à faire passer une circonférence par les points A, H et T.

59. Conduire un arc langent à la foie aux circonférences C et C', le point de contact T sur celte dernière étant fixé (fig. 12, pl. LXXIX). Par le point T donné sur la circonférence C, lirez la droite indéfinie C'T O. De T vers C', portez sur celle droite la longueur T'a=CA = rayon du cercle C. Joigne* C et a. Sur le milieu M de celte droite, menez la perpendiculaire MO, qui déterminera le centre O de l’arc cherché par sa rencontre avec C'T O. Joigne* CO qui donnera le point A. OT = OA sont deux rayons de l’arc dont le centre est O et les points de contact avec les deux cercles sont A et T.

60. Développer en ligne droite la circonférence d’un cercle donné (fig. 13, pl. LXXIX). Soit A B le diamètre du cercle. A chacune de ses extrémités A, U, élevez des perpendiculaires indéfinies, puis menez le rayon O M parallèle à ces tangentes. Du point M avec MO pour rayon, recoupez la circonférence en S, menez par O et S la droite iudétinie OS, qui déterminera le point T sur la tangeule AT. Portez sur la tangente BX de B vers X trois rayons O M; Menez TX; T X => longueur approchée de la demi-circonférence. OM étant 1, on a , comme on suit

r. = 3.14159; le calcul donne ici TX=3. 14153

la différence 0.00000 est inappréciable dans un tracé*

si parfait qu’il puisse être.

61. Raccorder un arc de cercle A R (ûg. 1, pl. LXXX) et une droite XV par un autre arc de cercle RT, dont le rayon est donné = OR. Au rayon CR de l’arc AR ajoute* le rayon O R et décrivez l’arc OZ dont le rayon est CRO. Par un point quelconque N de XY, élevez la perpendiculaire NP= OR= rayon de raccordement; par le point P, menez PO parallèle à XY jusqu’à sa rencontre O avec l’arc O Z. O est le centre de l’arc de raccordement. Tirez CO, abaissez de O la perpendiculaire O T à XY, les points R et T sont les points de raccordement. Avec OR = OT pour rayon, décrivez l’arc RT.

62. Deux points A, A' sont donnés de position sur deux parallèles PA' QA, on demande de raccorder ces points par deux arcs île cercle tangents entre eux, ainsi qu’aux droites dans les points A, A’ (fig. 2, pl. LXXX). Tirez AA', conduisez par le milieu M de cette droite une perpendiculaire, par les milieux m, m' de AM, MA', élevez eu sens inverses des perpendiculaires m O, m'O', puis respectivement de A et A' des perpendiculaires aux droites PA', QA. Les points 0,0' déterminés par les intersections de m'O' et A'O, mü et AO, sont les centres des arcs cherchés. La courbe AM A' est la cimaise.

63. Deux points A, A' sont donnés de position sur deux parallèles, on demande de les raccorder par un txloîX, c’est-à-dire par deux arcs tangents entre eux, mais non tangents aux droites (flg. 3, pl. LXXX). Joignez AA' que vous partagerez en deux parties égales au point M, puis divisez chaque moitié en deux parties égales aux points mm' par des perpendiculaires qui couperont PA1, QA aux points O, O'. C,es points sont les centres des arcs que l’on décrira avec les rayons 0 A = OM, O'A' «= O'M.

61. Etant données (lig. 4, pl. I.XXX) deux circonférences dont le centre commun est A, insérer entre elles un arc de cercle qui, à sa rencontre avec chacune, fasse avec elle un angle donné.

Soit AB ~ R le rayon de la grande circonférence,

AD =* r celui de la plus petite, g g p |e rayon de l’arc qui satisfait au problème,

ABU =■ B l’angle donné que l’arc cherché doit former avec la circonférence extérieure,

EDF = D l’angle donné que l’arc cherché doit former avec la circonférence intérieure ,

Soit enfin C le centre de l’arc de rayon p, les triangles ABC, ADC donnent ÂC*= R’ -f p* — 2 R p cos. B = r’ -j- p1 + 2 r p cos. D

attendu que ABC = 180» - D, on en tire

R* r’ = 2p( R cos. B -(-r cos. D)

= R cos. B + r cos. Ü. p

Pour construire celle expression, menez BG tangente au cercle r, vous ôf n» r’ • projetez le centre A en H sur la ligne donnée de posi-

?innCR I? vous aurez BU - R cos. B. l’ar le point U, menez U I faisant avec BH ÎCÎe KH I - D?preL H 1 — r. Projetez 1 en K, vous aurez 11 K = r cos. D, d’ou B K = R cos. B + f cos- D-

Du point B comme centre et du rayon BK, décrivez l’arc KL. Par M rencontre en L avec la circonférence intérieure, menez la secaute BL h celle

circonférence, vous aurez

BM = ^=

BL— R cos. B + rcos. D

Le rayon p étant déterminé, tracez l’arc cherché du centre C situé sur B H, à la distance ? de B. (M. Poncelet.)

65 Développer une surface conique (fig.5, pl. LXXX). Si fa surface est celle d’un cône droit , il est évident que le développement est une portion de cercle S'A'V' (fis 6) dont le rayon S'A” est égal à la genér.ilnce droite S A et dont l’arc a pour longueur celle de la circonférence dont le diamètre et ooni l aie - f niiiAntr le «lève nnuement . de décrire d’un point

a i Ait nuis de prendre sur cei arc, a p.um ...... u..

aueur de courbe A"A' =3.U16><AB; AJ étant ainsi déterminé, .1 ne reste plus qu’à tirer les rayons de développement A S , A S .

r c Si la surface conique droite est tronquée par un plan » b parallèle à sa base, on développe d’abord la surface entière en SA A , puis du ci et du rayon Sa'=:Sa, on décrit entre les rayons SA , SA toi Ta position est connue, l’arc de cercle a-a” ; on a ainsi je trapèze mixt.ligne a,o"A A' pour le développement de la surface tronc conique droite a 6 A B.

fV7 Si l’on ne connaît directement que la hauteur A du tronc et les rayons R et r de ses bases, on trace (Bg. 6) une droite indéfinie CS'; par un point n.ielconnue C de cette droite, on éleve une perpendiculaire CA' quon faU - R, puis de C en c, on porte la longueur h, enfin, ou mené par e une .«LTèle a'c— r à A'c; la droite tirée par A-a1 rencontre CS' en un point ^ mil est le centre de développement de la surface tronc conique. De ce point

S1 'et' avec les" rayons S'a', S’A', on décrit deux arcs indéfinis sur lesquels

on prend à partir de A' et a' des longueursde courbes A’A":=: 2it R, a'al'=2Tt r. Menant une droite AV', qui doit passer par S’ si l’on a bien opéré, on a \'a'\"a" pour le développement demandé.

68. Si l’on ne connaît que la génératrice A a et les rayons Rr, on construit un angle droit D, on porte de D en A' la différence R — r des rayons, puis de A1 en a' la génératrice connue A a, qui prolongée rencontre en S' la parallèle h Do' menée par un point C tel qu’on ait C'A' =: R. Le développement s’achève alors comme dans le cas précédent.

69. Enfin, si l’on connaît l’axe h, la génératrice et l’un des rayons, R par exemple, on fait un angle droit en C ; sur l’un des côtés de cet angle, on prend C czzh et sur l’autre côté A'C=R ; par c, on mène une parallèle a'e à A'C, et du point A1 avec un rayon égal & la génératrice donnée A a, on recoupe a'cen a'. On est ainsi ramené au cas précédent.

70. Si la surface conique droite (fig. 7, pl. LXXX) est tronquée par un plan ab non parallèle à sa base, on développe d’abord la surface entière „ SAB en S'B’A’B’ (fig. 8) comme on l’a fait plus haut. Puis décrivant sur le diamètre AB du cône le demi-cercle AC ED B, on partage sa circonférence

en un nombre n de parties égales qu’on a réduit ici a quatre pour rendre la figure plus distincte. De chacun des points de division C, E, D, on conduit des perpendiculaires au diamètre AB, et des points de rencontre, on mène des droites au sommet S, qui coupent la projection ai du plan d’intersection du cône, et enfin par ces derniers points de rencontre, on mène des parallèles h A B terminées aux génératrices SA, SB. Cela fait, on partage le développement total (fig. 8) en un nombre 2n de secteurs égaux symétriquement disposés par rapport à la ligne S'A' milieu du développement et qui correspond à la génératrice S A du côue; sur S'A', on prend S'a' zz Sa, puis successivement sur les S'C', S'E', SD', S'B', on prend S'c'zrSc, S'e'=:S«,

S’d' — S d, S' b' — S b, et faisant passer une courbe continue et symétrique par les points b'd'e'c'a'c'e'd'b' , on a ô'B'A'B'ô' pour le développement cherché.

Je termine ce résume de géométrie par une table des lignes naturelles donnant directement de minute en minute les sinus, cosinustangentes et cotangentes du cercle dont le rayon est 1.0000000.

On obtiendrait les valeurs de ces lignes de seconde en seconde, avec assez d’approximation, en ajoutant algébriquement le soixantième de la différence de deux termes consécutifs;

Ainsi sinus de 19°, 3', 22"

= sinus 19°, 3' — j— — (sin.l^,*' — sin. 19°, 3')

LIGNES NATURELLES

nus. I Tangente Cotangenlr