VU

La chaîne. . .

Voyez Rapport sur la stadia par le chevalier de Loslende; Puissant, Figuré du terrain.

26. Emploi de la mire comme stadia. A défaut de sladia, on peut employer au même usage une mire ordinaire (15) , après avoir, par divers essais, déterminé à quelles distances horizontales correspondent les cordes de l’angle visuel des fils de la lunette d’un instrument. La mesure des distances avec la mire simple est un peu plus longue qu’avec la stadia, mais clic plus exacte, et, lorsqu’on fait des nivellements, la distance des stations s’obtient ainsi fort rapidement en même temps que les cotes de niveau. Je choisis ce dernier cas pour exemple :

Le voyant de la mire étant placé comme pour prendre une cote de niveau, et cette cote inscrite par le porte-mire, on lui fait élever le voyant jusqu’à ce que son horizontale soit couverte par l’un des fils du réticule; puis il inscrit cette hauteur dans une colonne disposée à cet effet sur son registre. On lui faitalors abaisser le voyant jusqu’à ce que l’autre fil recouvre la même horizontale. La différence de ces deux cotes donne, à un millimètre près, l’espace embrassé sur la mire par les deux fils du réticule, et on en conclut la distance comme avec la stadia.

J’avais trouvé par exemple que, pour l’instrument que j’employais, chaque mètre embrassé sur la mire entre les deux fils extrêmes du réticule correspondait à 55 mèt. de distance horizontale. Je n’avais donc qu’à multiplier les différences des colos inferieures et supérieures de chaque station par le coelficieot constant 55, pour avoir los distances à quelques centimètres près.

Lorsque l’on ne pourra apercevoir que la partie supérieure de la mire, on se contentera de faire relever l’espace embrassé par le fil du milieu et le fil extrême. Il est clair que, pour avoir alors la distance, on doublera le multiplicateur constant qui, pour le cas cidessus, deviendrait 110. Ainsi, avec la boussole-niveau (13) cl une mire ordinaire (15), on obtient, à chaque station, la déviation d’un signal par rapport au méridien, sa distance, sa cote de nivellement, c’est-à-dire toutes les données d'uu levé ordinaire, mais peu étendu.

27. Si les levés dont l’ingénieur se trouve chargé, avaient au

INSTRUMENTS de l'ingénieur (le panlomêtre). 967

contraire une étendue considérable, et s’ils exigeaient dès lors une triangulation assez exacte, la boussole (13) ue pourrait plus lui en fournir les cléments. On ne peut guère, en effet, obtenir de cet instrument la valeur d’un angle horizontal à plus | degré prés, puisque le limbe ne porte pas de plus petite division, et qu’il n’y a point de vemitr (2). Ile plus, si l’on transporte la boussole sous deux méridiens successifs distants, les directions de I’aiglii.le aimanter ne sont plus sensiblement parallèles; enfin, tant d'influences perturbatrices peuvent agir sur elle, sans compter les variations diurnes, qu’il faut absolument en limiter l’emploi aux levés de détail. Une triangulation exigera donc généralement l’emploi d'instruments plus rigoureux, et dont la précision devra être porportionncc à l’étendue que le plan embrasse, l’our les levés d’une étendue assez faible, on pourra quelquefois (pourvu qu’on l’emploie avec sagacité) se coutenler du panlomêtre.

28. Panlomêtre. Cet instrument, tout à fait portatif, donne les angles à 4 minutes près (2) ; c’est un cylindre en laiton de 0“.09 hauteur et O^.OT diamètre, recoupé suivant un plan perpendiculaire à son axe, qui le partage en deux cylindres, l’un supérieur, l’autre inférieur. Ce dernier, qui est fixe, reçoit inférieurement une douille par laquelle on le dispose sur un pied ordinaire à trois branches, ou même sur un simple piquet dressé. Son bord supérieur est divisé en 360°; au dessous de sa division 0 est une fente longitudinale, et au-dessous de sa division 180°, une fenêtre au milieu de laquelle on a tendu un fii de soie verticalement. Le cylindre supérieur tourne sur l’inférieur à l’aide d’une vis et d’un petit engrenage. Il porto un petit arc de 1 divisé en 1 5 parties, et il est percé d’une lente et d’une fenêtre placées sur les mômes génératrices qu’au cylindre inferieur; mais il a, de plus que celui-ci, une seconde fente au-dessus de la division 90°, et une seconde fenêtre au-dessus de 270° — ; ce qui lui permet de donner immédiatement les directions perpendiculaires, et fait que le pantomètre remplace aujourd’hui avec avantage

29. L 'équerre d'arpenteur , que les arpenteurs eux-mômes n’emploient plus.

Pour rendre le panlomêtre plus portatif, la douille conique se dévisse à volonté, et on l’introduit par sa petite base dans l’ouverture laissée au-dessus du cylindre supérieur où elle se loge, et se fixe par son extrémité dans un écrou intérieur.

30. On conçoit immédiatement l’usage de cet instrument; en le faisant tourner tout entier sur sa douille, on vise par la fente o à travers la soie 180 dans la direction de droite, puis faisant tourner le cylindre supérieur seul, à l’aide de la vis, on amène sa ligne de foi , et par conséquent la soie de la fenêtre qui lui fait lace dans la di-

'J68 INSTRUMENTS de l'ingénieur (le théodolite). rection do gauche. On vise de nouveau dans la direction de droite à travers le cylindre inférieur, pour s’assurer que le mouvement du cylindre supérieur n’a pas fait tourner l’instrument sur sa douille, et, s’il n’a pas tourné, il n’y a plus qu’à lire l’angle des deux directions.

Il faut en visant que les soies coupent, autant que possible par le milieu, le pied des jalons, et l’instrument doit être placé bien verticalement, ce dont on peut s’assurer à l’aide d’un fil à plomb ou d’un petit niveau, qu’il est bon de porter sur soi.

Les perpendiculaires à une direction quelconque, sont immédiatement données par la fente 90° et la fenêtre 270°, lorsque la fente o et la fenêtre 180° ont été placées suivant cette direction primitive. Le pantométre ne suffirait plus s'il s’agissait d’une triangulation comprenant une étendue de quelques lieues, ou même moins encore, si I’oii était force, par les accidents locaux, de former un assez grand nombre de triangles s'appuyant les uns sur les autres. Il faudrait recourir alors, soit au sextant, dont nous nous occuperons plus bas (12), soit au

31. Cercle répétiteur , ou mieux au théodolite, qui a sur celui-ci l’avantage de réduire immédiatement les angles à l’horizon. Ces instruments munis de lunettes, qui pcrmeltcul de distinguer nettement les signaux à de grandes distances, de limbes d’un assez grand rayon pour recevoir des divisions extrêmement rapprochées, de vemiers (2) qui Iractionnenl encore ces divisions, exigent en général un temps considérable pour être vérifiés, réglés, et solidement disposés à chaque station. — Uniquement composés d’organes que nous avons déjà étudiés séparément, nous n’avons point à entrer ici dans leur description particulière; et, quant à leur vérification, elle se déduit directement des modes généraux exposés ci-dessous (37).

32. Le graphomètre. Je n’ai rien à dire dans celte petite revue de ce vieil instrument, que le sextant (42) remplacera toujours avec beaucoup d’avantages. Mais, avant de passer aux instruments à réflexion, il me reste un mot à dire sur

33. La planchette, dont l’emploi est, dans certaines circonstances, plus commode que celui de la boussole, et que d’ailleurs nul autre instrument ne peut remplacer convenablement lorsqu'il s'agit de tracer un projet sur le terrain.

La planchette est, ce que son nom indique, une petite planche, une tablette sur laquelle on fixe une feuille de papier. Elle est liée à un pied à trois branches qui la supporte à hauteur convenable, par un système qui ne lui permet de tourner que dans un plan hori zontal, lorsqu’à la manière de la boussole (13) on l’a une fois disposée dans ce plan. On s’arrange ordinairement pour que ce système de support puisse s’adapter sur le même pied que la boussole, ces deux instruments n’étant point employés à la fois.

INSTRUMENTS de l'ingénieur {la planchette). 969

3i. L'usage de la planchette exige celui d’une alidade, qu’on remplace quelquefois par une lunette à réticule (5), dont on peut le plus souvent se passer. L'alidade de la planchette est une règle en laiton de 0m.40 longueur, terminée par deux pinnules perpendiculaires à son plan, et portant des fentes et des fenêtres munies de soies ou de crins.

La planchette étant disposée horizontalement, et l’alidade passant par un point a du papier placé sur la verticale du point A du terrain qu'il représente, si l’on vise par les pinnules à un signal éloigné S cl qu’on trace au crajon, en suivant le hord de la règle la direction as , on obtiendra évidemment sur la planchette la trace du plan vertical passant par les points A et S du terrain.

Une seconde direction as1 vers un autre signal éloigne S’, tracée de la même manière, donnerait sur la planchette la projection horizontale de l’angle SAS' formé au point A du terrain par les deux signaux. Prenant alors sur la planchette dans les directions as , as' les distances AS AS' à l'échelle du plan, on voit que l’on aurait ainsi sur lo papier tous les éléments sas' de la projection horizontale du triangle SAS' du terrain.

Il convient toujours de tracer les directions sur la planchette, suivant toute la longueur de la règle.

Quelques auteurs recommandent l’emploi d’un compas d’épaisseur et d’un fil à plomb pour disposer exactement le point a de la planchette dans la verticale de A du terrain. Cette rigueur ne serait indispensable que s’il s’agissait de tracer sur le terrain un projet de peu d’étendue porté par la planchette; mais, dans les levés, à moins que l’échelle du plan ne soit pas très-grande, on n’établit jamais exactement celte superposition des points a et A. La plus grande distance de leurs projections étant au plus égale à la demi-diagonale de la planchette, celte erreur est à peine sensible par rapport aux distances et aux directions qu’on y trace dans les levés à l’échelle habituelle. On emploie quelquefois, conjointement avec la planchette, un instrument qui rend l’usage de celle-ci plus rapide et plus étendu, c’est le déclinatoire.

35. Le déclinatoire se réduit à une aiguille aimastêe placée dans une boîte rectangulaire un peu longue, et dont les longs côtés servent de règles. Deux petits arcs de 30 à 40 degrés forment des parties de limbe. Le milieu de l’un des arcs porte un N (nord), l’autre un S (sud). Ces points et le centre de l’aiguille sont placés dans un plan rigoureusement parallèle aux longs côtés de l’inslrnmcnt.

36. L’emploi du déelmatoire permet de donner à la planchette, à une station quelconque, une position parallèle à celle qu’elle occupait à la station précédente. En effet, placez le déclinatoire sur la planchette, de manière que les extrémités de l’aiguille coïncident

970 INSTRUMENTS de l'ingénieur (le déclinatoire). avec la ligne NS (nord-sud), l'aiguille étant parvenue au repos. Tirez une droite le long d’un des grands côtés de la boite, et marquez les extrémités de cette droite des lettres correspondantes n*. Supposez maintenant que la planchette est transportée à une autre station. Placez le grand côté du déclinatoire le long de la ligne ns du plan. Faites tourner la planchette sur son genou jusqu’à ce que les extrémités de l'aiguille reviennent en NS, et la planchette aura évidemment repris une position parallèlcàccllc qu’elle availd’abord, car les directions de l’aiguille aimantée dans les deux positions successives ne se rencontrant que sur l'axe de rotation de la terre, peuvent être regardées comme formant des angles égaux avec la droite que l’on mènerait de la première à la seconde station.

37. Rectification des instruments en général. La rectification de presque tous les instruments repose sur le principe suivant [planche LXXXI, fig. 6) :

Soient : un plan dont la trace est X Y ; /L une droite formant avec ce plan un angle a; AC un axe perpendiculaire au plan XY, cl autour duquel celui-ci peut tourner dans son propre plan ; enfin Im, LM des liens quelconques qui lient indissolublement la droite IL au plan X Y.

Si l’on fait décrire au plan une demi-révolution autour de l’axe, X passera en Y, I.M en L’M', Im en l'm', cl le prolongement Y Q de L'/' formera au-dessous du plan un angle LYQ = a = celui qu’elle formait au-dessus du plan dans la première position; enfin l’angle LOI', qui a son ouverture dans le même sens que les deux angles a cl qui est l’angle compris entre les deux positions tîe la droite, sera égal à 2 a.

Il en résulte que, soit que dans sa première position on fasse décrire à O L un angle LO V = * , soit que, dans la seconde, on fasse décrire à 01', en remontant, un angle l'OX = a, on ramènera la droite au parallélisme avec le plan. Ce simple lemme bien compris, on saisira, je crois, facilement le principe de toutes les méthodes de vérification. Nous allons en faire l’application à un instrument quelconque, composé d’un limbe gradué mM d’une lunette et d'un niveau à bulle d’air Nm (fig. 7, planche LXXXI); tel serait, par exemple, le niveau employé dans les plus grands nivellements (14).

38. La vérification de la lunette, quant à l’axe optique et aux fils du réticule, étant faite comme il est dit au paragraphe (10), on réglera le niveau comme suit :

39. Régler le niveau et mettre l’axe de l’instrument dans la verticale (fig . 7, planche LXXXI). On placera tout l’instrument dans une position qui disposera le limbe aussi horizontalement que possible. On tournera l’instrument sur son support jusqu’à ce que l’axe du niveau se trouve dans une direction perpendiculaire au plan

INSTRUMENTS de l'ingénieur ( vérifications ). 971’

vertical qui passerait par les axes de deux des vis à caler. Cela fait, on tournera la troisième vis à caler jusqu’à ce que le milieu de la bulle d'air se maintienne juste au milieu du tube. Alors on fera décrire à tout l’instrument 180° autour de sou axe. Si cet axe de rotation AC (fig. 7) n’était point vertical, le niveau nN prendra la position NV, et la bulle d’air quittant le milieu du tube parcourra une certaine distance bb'. A l’aide de la petite vis de rappel du tube, on fera parcourir à l’extrémité de celui-ci un petit arc tel, que la bulle revienne (non au milieu du tube) mais au milieu de l’intervalle bb' , qu’elle a parcouru en s’en éloignant; cela fait, le niveau aura pris une position parallèle à R' R, c’estfà-dirc parallèle au plan du limbe mil. Dans cet état, ramener la bulle d’air au milieu du tube, rendre celui-ci borizontal ou rendre l’axe AC vertical A'C, sont évidemment une seule et môme opération, qui se fera à l’aide de la troisième vis à caler.

Après avoir, par le retournement, replacé le niveau dans sa première position, on recommencera l’opération, s’il y a lieu; ce qui ne deviendra nécessaire qu’autant que l’on n’aurait pas bien saisi le milieu de l’intervalle bb' où l’on a cherché à ramener la bulle.

Cela fait, le niveau sera réglé par rapport au plan nNMm', il faut alors le régler par rapport à tous les autres. Pour cela, on fera tourner l’instrument entier autour de A'C (AC devenu perpendiculaire à nN), jusqu’à ce que le plan uN.M ail décrit 90° seulement. Si la bulle d’air occupe encore le milieu du tube dans cette position, le niveau tourne réellement dans un plan horizontal, et l’axe A'C est vertical , puisqu’il est pcrpendicu'airc à deux horizontales qui se coupent ( Géométrie . F. 12).

Si la bulle du niveau, au contraire, a quitté le milieu du tube, c’est que les choses sont dans la situation indiquée $7. 8. p/. LXXXf, qui montre qu'il faut ramener la bulle d’air au milieu du tube celte fois, et par le seul emploi de la vis à caler V.

On fera alors tourner l’instrument sur son axe AC , r<mdu vertical par l’effet de la vis Y, et si, dans toutes les positions qu’il pourra prendre, la bulle d'air ne reste pas au milieu du tube, un l’y ramènera à l’aide des vis à caler ; il convient toujours, dans ces tâtonnements, de placer successivement l’instrument dans deux positions perpendiculaires, l’une d’elle étant parallèle à la droite qui joint deux des vis, cl l’autre perpendiculaire à celte droite. On emploie ainsi les trois vis. Cette rectification ne doit d’ailleurs jamais se faire sur un plancher.

40. Accorder la lunette avec le niveau (fig. 9, planche LXXXI). Celle opération ne doit jamais se faire qu’après celle qui vient d’ôlre exposée. Elle suppose, eu outre, que la lunette considérée isolément a été rectifiée comme il est dit (t0).

972 INSTRUMENTS de V ingénieur ( vérifications ).

On disposera l'instrument de manière que la bulle d’air du niveau reste toujours au milieu du tube, puis on visera, à travers la croisée des fils de la lunette, un point éloigné, et, par exemple, l’intersection V du voyant de la mire. On fera décrire 180° à tout l’instrument sur son support AC , le niveau n N (fig. 9) se trouvera retourne en N'n', la lunette oO prendra la position 0'or, et, comme ce sera l’objectif O qui se trouvera du côté de l’observateur, il enlèvera la iuuette de ses collets CC'; — il la retournera seule bout pour bout, ramenant ainsi l’oculaire de son côté et l’objectif du côté de la mire ; — il visera alors de nouveau le point V. S’il le rencoutre à l’intersection des fils du réticule, l’instrument est réglé, cl l’axe optique de la lunette est parallèle au niveau. — S’il ne rencontre pas V, il fera signe au porte-mire pour qu’il amène le voyant dans la nouvelle direction de l’axe optique. — Puis, il lui fera partager en deux parties égales l’intervalle V V', et amener le voyant au milieu de cet intervalle.

Cela fait, à l’aide de la vis Z, qui sert à soulever le montant C audessus de M 0, ou à le rapprocher de ce plan, il fera basculer doucement la lunette autour de C, jusqu’à ce qu’il apperçoive le voyant sous la croisée des fils. Dans ce mouvement , la lunette aura pris sensiblement, mais non rigoureusement, la position RR' parallèle au niveau. On devra donc recommencer l’opératiou jusqu’à ce qu’après comme avant le retournement de l’instrument et le retournement de la lunette bout pour bout, l’intersection des fils du réticule se projette rigoureusement sur un même point de l’espace, la bulle d’air restant au milieu du tube.

•il. Accorder la lunette et le zéro des verniers arec le niveau dans la boussole ( planche LXXXIII). L’opération précédente suppose que l’on peut enlever la lunette de ses collets; cela n’a pas lieu dans la boussole. Enfin, il ne suffit pas que l’axe du niveau et l’axe optique de la lunette soient rigoureusement parallèles, il faut, en outre, que ce parallélisme ait lieu lorsque les verniers marquent zéro.

Avant d’indiquer comment on devra opérer avec cet instrument, remarquons que, dans la disposition des nombres correspondant aux divisions tracées sur la règle, on ne trouvera presque jamais la ligne des zéros sur le diamètre qui passe par le centre des arcs gradués. Il en résulte qu’en faisant faire à l’alidado autour de son axe une demi-révolution, les zéros des verniers ne viendront pas se placer sur les zéros de l’alidade, mais bien sur d’autres divisions. Ou ne sera donc assuré que le retournement a clé de 180° qu’autant que deux lignes homologues prises sur les deux verniers seront en coïncidence avec deux divisions du limbe d’égale graduation.

Cela posé, on rendra vertical l’axe de rotation de la boussole, la bulle d’air étant au milieu du tube; — on amènera les verniers à zéro; — on visera avec la lunette rectifiée (10) un point éloigné Yr

INSTRUMENTS de l'ingénieur (le sextant). 973

(*0); — on retournera la lunette en lui faisant décrire un plan vertical;— l’on s’assurera, comme il est dit ei-dessus, qu’elle a décrit 180°; — on fera faire à la boussole une demi-révolution horizontale sur son axe, ce qui ramènera l’oculaire de la lunette du côté de l’observateur; — on visera de nouveau au point V. Si l’intersection des fils du réticule le recouvre, tout est réglé; si elle ne le recouvre pas, elle se projette sur un autre point V' (fig . 9, planche LXXXI). — On fera alors placer le milieu du voyant de la mire au milieu de la distance VV', et l’on ramènera l’inlersectiou des fils sur ce milieu à l’aide de la vis E" (fig. 3, planche LXXXII1), c’est-à-dire qu’on fera mouvoir ensemble autour de l’axe A, fig. 2, la règle R' et l’alidade qui porte la lunette jusqu’à ce que la croisée des fils couvre le milieu de la distance VV'. Dans cette situation, l’axe optique de la lunette, ainsi que la corde des zéros du limbe se ront deux horizontales parallèles, mais le niveau, qui était horizontal avant ce mouvement, ne le sera plus. On ramènera la bulle d’air au milieu du tube, en agissant sur le niveau seulement, c’est-à-dire en le faisant tourner seul autour de sa charnière g".

L’instrument est complètement réglé, si l’on a opéré convenablement. Pour s’en assurer, on ramènera le zéro des verniers sur les zéros du iimbe, on fera faire une demi-révolution à la boussole, on ramènera la bulle au milieu du tube si elle s’est un peu dérangée, mais celte fois à l’aide des seules vis à caler, et on recommencera jusqu’à parfait règlement.

Passons aux instruments à réflexion.

42. Le sextant (planche LXXX, fig. 9). Soit N N' un miroir dont la position est invariable, — M M' un autre miroir mobile autour d’un axe O perpendiculaire au plan de la figure. Supposons que ce dernier miroir ait pris une position MÜM' rigoureusement parallèle à N N'. Dans celte situation, tout rayon incident GO (voyez Lumière) se réfléchira sur le miroir O, suivant OR , et après avoir subi une seconde réflexion en R, il pénétrera dans l’œil L suivant une direction RL parallèle à GO.

Si le miroir NN' est élamé sur la moitié de sa surface seulement, l’œil L verra deux images G , G' du môme objet, l’une directe G , l’autre réfléchie, cl ces images, à cause de la distance G O que l’on suppose très-considérable par rapporta celle des miroirs, paraîtront en coïncidence.

Si l’on suppose maintenant que le miroir MM' est lié par une tige rigide M'A, dont l’extrémité A munie d’un cemier (2) puisse glisser sur un limbe gradué PQ de 60° environ , faisant corps avec N N' et avec l’axe O, on aura une idée nette d’un sextant.

Donnons maintenant au miroir MM* une position quelconque tnm’B en promenant le vernier de A en B, les miroirs d’abord pa-

974 INSTRUMENTS de l'ingénieur (le sextant).

rallèlcs formeront entre eux un angle x donné en degrés minutes

par les divisions de l’are A B et le vcrnier.

Dans cette situation des miroirs, si l’œil aperçoit à travers N N' l’image d’un point quelconque X , et directement, par la partie non étamée, un autre point lumineux Z , l’angle y compris dans le plan XLZ de l’œil et de ces points sera le double de l’angle x des miroirs ( voyez Lumière)

Pour éviter d’avoir à doubler la graduation de l’arc AB qui mesure x , ou écrit sur le limbe des sextants le double de la graduation des arcs.

43. Relever un angle aoec le sextant. Disposez l’instrument dans le plan de l’angle à relever. Mettez l’alidade sur le zéro ; — visez à l’objet de droite que vous verrez alors directement et par réflexion ; — tournez peu à peu l’alidade en dirigeant graduellement la vision directe vers tous les objets situés vers la gauche, mais en conservant toujours la vue de l’image réfléchie de l’objet de droite. Cette image semblera ainsi marcher de la droite vers la gauche, et se superposer à tous les corps qui sont sur son passage et qu’on voit directement à travers la partie non étamée du petit miroir NN'.

Continuez à faire mouvoir l’alidade dans le même sens, jusqu’à ce que la superposition de l’image réfléchie de l’objet de droite et de l’objet de gauche soit exacte; — lisez l’angle sur le limbe.

44. Relever un angle de hauteur, la hauteur d’un astre au dessus de l’horizon, par exemple (p. 216).

Placez devant vous une surface polie parfaitement horizontale qu’on appelle horizon artificiel. Celte pièce se vend ordinairement avec le sextant; on peut, au reste, la remplacer avec avantage par un miroir bien plan, nageant dans un bain de mercure. Tournezvous de manière à y voir l’astre par réflexion à l’œil nu ; — disposez alors le sextant dans le plan vertical ; — puis, visant par la partie non étamée à l’image vue dans l’Aomon artificiel, amenez l’image réfléchie de l’astre en contact avec celle-ci. — Lisez l’angle, sa moitié est l’angle de hauteur cherché

hauteur cherchée = i angle observé.

En effet, c étant (fig. 10, planche LXXX) le centre du sextant, A l’astre, le rayon A H envoyé de l’astre à l’horizon artificiel sc réfléchit suivant HC , de sorte que A est vu par la partie non étamée en un point A’. L’astre A et son image A' sont donc deux objets dont on prend l’angle comme cn(43).ür, l’anglequ’on cherche est HUA, qui n’est que moitié de AH.V.

Il est vrai que l’angle oberve est réellement AC A', mais à cause

INSTRUMENTS de l'ingénieur (le sextant). ' 975

<lc l'éloignement de A , la petite distance H G est négligeable, et l’on a sensiblement - AHA' = A ACA',

45. A la mer, c’est l’horizon sensible qui remplace Vhorixon artificiel, et l’on amène alors le bord de l’image réfléchie de l’astre au contact avec un point convenable de la ligne que la nier dessine sur le ciel. La hauteur cherchée est alors égale à l’angle observé. Toutefois, on doit rigoureusement en rclranchtr le petit arc dû à la dépression de l’horizon au-dessous du niveau du pont du navire ou du point dont on observe (voyez pag. 512).

Les sextants portent d’ailleurs des verres colorés, qui affaiblissent à volonté l’éclat du soleil, lorsqu’on prend la hauteur de cet astre.

46. On parvient donc, à l’aide du sextant, à mesurer tous les angles qui ne dépassent pas 120°, et ce, dans tous les plans, sans le secours d’aucun aide, sans avoir à s’embarrasser d’un trépied qui porte l’instrument, sans qu’il soit même nécessaire que l’observateur soit immobile : ce qui fait que, soit à pied, soit à cheval, soit sur le pont mouvant d’un navire, on obtient facilement l’angle compris entre deux objets, jusqu’à un degré d’exactitude qui atteint une minute pour les plus petits sextants. Je possède un de ces instruments qui, enferme dans sa boite, formo un cylindre qui n’a pas plus de 0m.076 diamètre et O™. 035 hauteur.

47. Vérification et rectification du sextant. Avant de se servir d’un sextant, il faut s’assurer :

1° Que les plans des deux miroirs sont perpendiculaires au plan du limbe;

2° Que l’alidade marque zéro lorsque les deux miroirs sont parallèles ; --

3° (Si le sextant porte une lunette) que l’axe optique de cette lunette est parallèle au plan du limbe.

On vérifie la première condition par deux opérations successives. On s’assure d’abord que le plan du miroir mobile (le grand miroir) est perpendiculaire au plan du limbe, en le tournant de manière à voir par réflexion une portion de ce limbe. Si la surface réelle cl la surface refléchie sont le prolongement exact l’une de l’autre, la condition est satisfaite. Si elle ne l’est pas, on change l’inclinaison du plan du miroir au moyen des vis à ce destinées.

Maintenant, le plan du miroir fixe (petit miroir) sera parallèle à celui du grand, si les images directe et réfléchie d’un même objet éloigne se superposent exactement. Si la superposition n’a pas lieu, on tourne les vis du petit miroir jusqu’à ce qu’on l’obtienne rigoureusement.

C’est une conséquence du parallélisme des miroirs que l’alidade marque zéro, lorsque les images directe cl réfléchie d’un même objet se superposent exactement. Toutefois, si celle superposition ayant

976 INSTRUMENTS de l’ingénieur ( l'équerre A réflexion).

lieu, l’alidade, au lieu d’indiquer zéro, marquait -j- ou — *, il faudrait ajouter avec son signe celte valeur angulaire conslanlc à chaque angle observé.

Quant au parallélisme du limbe et de l’axe optique de la lunelle, on le vérifiera en posant sur le limbe du cercle rendu fixe à deux points diamétralement opposés, deux viseurs, c’est-à dire deux petits rectangles en cuivre de même hauteur, dont les plans sont perpendiculaires à une base plane qui coïncide avec le limbe. On regarde alors avec la lunette l’objet qui se trouve dans le plan de leurs arêtes supérieures. Si cet objet répond précisément au milieu de l’intervalle des fils, l’axe optique est parallèle au limbe. Dans le cas contraire, on élève ou on abaisse la lunette au moyen des vis, jusqu’à ce que le parallélisme soit établi.

48. L’équerre à réflexion ou à miroirs a sur l’équerre ordinaire l'avantage, t°de pouvoir être réduite à un très-petit volume; 2° de pouvoir être tenue à la main, ce qui dispense d’un pied, le plus embarrassant attirail en voyage ; 3° de donner les hauteurs sans aucun calcul ; 4° de donner facilement et avec précision les inclinaisons à 90°, à 45* et à 60° sans jalonnage.

Jusqu’à preuve contraire, je crois pouvoir avancer que cet instrument est dû à M. Lipkens, géomètre en chef du cadastre, qui le construisit à Foix (Ariége), vers l’année 1810.

49. U’équerrc à miroir (fig . 11, planche LXXX) se compose d’un parallélipipéde creux en cuivre ÀCPQ, d’environ 001. 12 longueur, et 0m.02 base, portant trois couples de miroirs, cl laissant sur ses bords des ouvertures pour permettre aux rayons lumineux de venir s’y réfléchir. Dans chacun des couples, l’un des miroirs n’est élamé que sur le milieu de sa surface.

Soient, par exemple, D et E deux miroirs dont les plans forment un angle dièdre de 90°, et 00' deux objets éloignés sur l’alignement desquels on veuille se placer. Il est évident que l’on occupera très-sensiblement cette position , si l’œil placé en M aperçoit les deux objets 00' en superposition exacte, le premier O directement par la partie non étarnéc du miroir D , le second O' par réflexion, la distance DE des miroirs étant négligeable par rapport à la distance des objets O, O'.

Les deux miroirs A II AC étant supposés, de leur côté, faire entre eux un angle de 45", il n’est pas moins évident que, en opérant comme ci-dessus, on obtiendra des directions inclinées à 2X 45=90", ce qui donne le moyen d’élever des perpendiculaires à une direction donnée sur le terrain. Si ces miroirs faisaient entre eux un angle de 22" j , on pourrait encore disposer l’instrument de manière que, après quatre réflexions (i oyez Limière), on obtint des directions réciproquement inclinées l’une à l’autre de 4 X 22.5 = 90°.

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INSTRUMENTS Je l'ingénieur. 977

De môme P N el QN étant iuclinés à 30°, on aura sur ie terrain des directions inclinées l’une à l’autre do 2 X 30 = 60°, qui permettront de construire des triangles équilatéraux.

50, Vérification de Péquerre à miroirs. Ces vérifications consistent à s’assurer que les angles des miroirs sont bien ceux que l’on suppose, et, s’il n’en est pas ainsi, à rétablir l’inclinaison cherchée à l’aide des vis.

Pour s’assurer que D et E sont perpendiculaires, on tracera un alignement 00’, puis se plaçant en un point de cet alignement, on fera mouvoir les miroirs jusqu’à ce que les points 00' paraissent en coïncidence.

Pour s’assurer que les miroirs AB, BC font entre eux un angle de 45°, on marchcra($/. 12, planche LXXX) sur un aligncmcnlOO'; — on choisira un point extérieur 0", par lequel on mènera une perpendiculaire à l’aide du point 0. Celte opération déterminera le point S de station, pied de la perpendiculaire O" S à SO. — Sans changer de station, on se retournera vers 0' et l’on mènera une perpendiculaire à SO". Si cette perpendiculaire coïncide avec SO', l’inslrumenl est réglé pour ces deux miroirs. — Si la coïncidence n’a pas lieu, on modifiera peu à peu l’inclinaison des miroirs.

Quant à P N et PQ, on s’assurera qu’ils font entre eux un angle de 30° en choisissant un point 0" (fig. 13, planche LXXX) hors de l’alignement 00' ; — on cheminera sur cet alignement jusqu’à ce qu’on ait déterminé, à l’aide de O, le point S, intersection de la ligne SO", qui fait avec OS un angle de 60° ; — puis sans changer de station, on fera avec SO", à l’aide de la quatrième réflexiou, un angle de 120\ Les miroirs ne seront réglés qde lorsque le côté de cet angle coïncidera avec la direction SO'.

51. Mener une horizontale par un point donné (fig. 14, planche LXXX). Soit L ce point. Plantez un jalon L'L en L', qne vous inclinerez jusqu’à ce que son extrémité L qui porte un fil à plomb, occupe le point L. Soit 0 le point où le plomb atteint le terrain. Placez en O un petit carré de papier blanc, ou tout autre objet distinct dont un bord rasera le point 0; — considérez alors la verticale LO comme une direction à laquelle il faut mener une perpendiculaire; — faites placer dans la direction trouvée LT par la méthode (49), un jalon MT dont le point T, bien visible cl mobile le long de MT, servira de mire. Lorsque la coïncidence des images OT aura lieu, la ligne LT sera l’horizontale demandée.

Dates. D’après un Annuaire des longitudes déjà ancien, la boussole était connue et employée en France, vers 1260 ; — les lunettes à lire s’introduisirent vers 1300; — les lunettes d’instruments, vers 1590; on y attribue la première idée de la lunette à deux verres convexes, à Kepler , année 1611 ; — la description du vernier est pu

bliéc en 1 63 1 ; — Morin applique la lunette aux arcs divisés, en 1 634; — le sextant est inventé par Hadle y en 1731 ; — Hall aurait construit une lunette achromatique dès 1750, et Dollond aurait publié la découverte des lunettes achromatiques, en 1758; — Mayer aurait, en 1752, donne l’idée de la répétition des angles mise à profit par Borda, dans son cercle répétiteur, en 1786.

INTÉGRALES. 1. Le calcul intégral est l’inverse du calcul différentiel. II a dès lors pour objet principal la détermination de la valeur d’une fonction, dont le coefficient différentiel est donné.

2. X étant, par exemple, une fonction de x dont la différentielle

Xdx = du ou dont le coefficient différentiel — = X est connu,

le problème général consiste à remonter de ce coefficient à la valeur u dont il dérive; problème dont la solution générale est indiquée par la notation

u — J ' \dx

3. La caractéristique J', inverse de la caractéristique d, est l’initiale du mot somme. Elle doit son origine à ce que, suivant les idées de Leibnitz , les différentielles représentant les accroissements infiniment petits des variables, il s’ensuit qu’une variable quelconque est réciproquement la somme du nombre infini d’accïoissemcnls qu’elle a reçus depuis son origine jusqu’au moment où on la considère.

4. Le signe Ç, qdi indique une intégration d opérer, détruirait

donc le signe d. (p. 528), on tant que celui-ci précéderait lui-méme une quantité d différentier , et l’on aurait dès lors immédiatement, et sans calcul (pag. 529),

J'd . xm rnxm~ ' dx — m J*

d'où l'on pourrait tirer directement

/3Jm

xm-' dx — — m

on aurait encore

di — xn

fd. VM —f^= = v/x

J' d . log. hyp.x = J’-j- = Iog. hyp.x

de sorte que l’ou trouverait ainsi, à l’article Différentielles , un assez grand nombre d'intégrales.

5. Quant aux régies à suivre pour intégrer, elles sont nombreuses, d’une application parfois difficile, et l’on est bien éloigné d’en avoir pour tous les cas; nous donnerons les plus usuelles et les plus générales, et nous les ferons suivre d’un assez grand nombre d’exemples.

6. Règle fondamentale. Renversez les règles qui ont ilé données pour différentier, et vous obtiendrez autant de règles pour intégrer. Nous avons vu, par exemple, que l’on avait pour la différentielle de u-j-r — te

d . (« v — w) — du -J- dv — dw on a donc réciproquement (4)

J'd. («-{-d — — w — J ^ (du -j- dv — dut)

or, évidemment

u — f du , v — f dv; — u> — — J dw

donc

J' (du -f- de — dw) = J'd u -j- J dv — J'dw — u 1 — te, ce qui montre que :

7. L’intégrale de la somme algébrique de plusieurs fonctions différentielles est égale d la somme algébrique des intégrales de chacune des fonctions.

8. De môme : puisque les quantités constantes liées aux variables parles signes -f- ou — disparaissent par la différentiation, il faut, lorsqu’on remonte à l’intégrale, ajouter après l’intégration de chaque monome une constante C', C", C'" ou une constante C égale à leur somme. C’est l’état de la question qui déterminera ensuite la valeur de cette constante.

Ainsi, par exemple, — -f- C étant la valeur générale de l’intégrale J‘afa~'dx-, si les conditions du problème sont telles que l’intégrale doive s'évanouir pour une valeur particulière de x (x = a, je suppose), on a évidemment pour déterminer la constante C, la condition

d’où C =

do sorte que l’intégrale complète devient, pour ce cas,

/ xm am

xm~‘dx—