PREFACE

Efl préjxir'inl h-\ /rço/is dr Mrf//>)t/>//of//>' iinitliriiKitKIUP à rU/iivc/.'sifé dr G'f/id, pour l'anuci' 1912-13, n<ji/s tirions prévK Kii chapitre co/isarré à } ciiiploi di's mntricrs et drs déterminants. Mais au rnonnnt de V exécution, le temps nous fit défaut pour arriver jusqu'à ce point.

J.a utètnc chose se produisit en 1913-1 i.

Pour être assuré de ne pas être pris encore au dépourvu nous nous étions proposé de traiter le sujet comme premier chapitre de notre Cours d'Alyphre eti l9iUI5.

Cette fois ce fut un ol)Stacle d'un tout autre ordre qui empêcha la rétdisation de nos projets. Par contre nous neûmes que trop de loisirs pour pousser et développer ces recherches ; et celles-ci ont ainsi atteint la taille d'un volume.

Nous présentons au public cet ouvrage sous le titre Algèbre à deux dimensions, parce que notre pensée dominante a été d'exploiter autant ciue possible Ir fait que les matrices et les déterminants ont longueur et largeur et se prêtent à des applications quand on les considère dans ces deux sens.

Nous avions songé d'abord à Vintituler Algèbre exceptionnelle ou conditionnelle ou restrictive à cause du genre de problèmes traités. En effet, on pourrait diviser V Algèbre en trois grandes parties, savoir l'Algèbre directe ou étude des opérations de calcul ; puis l'Algèbre inverse ou. théorie des équations ou étude des quaiitités qui doivent être combinées par les opérations de calcul de manière à obtenir un résultat donné ; et enfin l'étude des cas exceptionnels

que présentent les deux premières parties, et qui se ramènent en dernière analyse à la seule opération impossible, la division par zéro.

Ces exceptions ou cas particuliers ne se présentait que moyennant des conditions entre les coefficients des polynomes considérés. Qiion ne croie pas ces problèmes particuliers dénués d'intérêt, ni même de généralité, bien qffc ce dernier mot ait quelque chose de paradoxal: une droite et une surface étant prises au hasard, le contact est un phénomène excejHionnel, et cependant la théorie des tangentes est une théorie générale.

Nous prévenons toutefois Ir lecteur qu'il trouvera ici des développe rnenls où le caractère de cas particuliers est plus marqué que dans les théories algébriques habituelles. Par compensation nous croyons devoir creuser davantage la solution des questions traitées. Il ne suffit pas que la possibilité d'une solution ait été établie et ramenée à un nombre fini d'opérations connues. Nous adopterons un point de vue plus effectiviste et tâcherons d'exprimer les éléments de la solution des problèmes au moyen de matrices ou de déterminants.

Enfin un dernier caractère de notre travail est sa forme en apparence géométrique. En apparence seulement, car tout ce qui suit est de l'algèbre pure, mais l'interprétation géométrique est si familière et si utile qu'il serait maladroit de nous priver d'un tel secours.

Le contenu du travail est formé en partie de recherches originales et inédites, en partie de résultats nous appartenant mais dé/à publiés, et enfin de choses connues, mais nécessaires à l'intelligence de l'ensemble et exposées sous leur formée usuelle ou sous une formée neuve; nous préciserons dans chaque chapitre. La compréhension de notre travail n'exige que la connaissance de l Algèbre élémentaire y-compris la théorie des Déterminants.

Nous avons publié déjà un volume sur des sujets apparentés. Cinq Etudes de Géométrie .-malytique, Gand, Van Goethem, 1908 : nous citerons cet ouvrage en abrégé par les mots Cinq Études.

Notre premier chapitre ri-après donne des généralités; sur les ?}}(ïtriees e( porte le plxs rrtupreinfe de In destination, pritnilive du travail, celle de /on/ter un chapitre de méthodologie.

Les df'ur chapitres sul)sctj//f/i/s sont consacrés à des exemples d'applications géométriques de la théorie des .matrices.

Les théories d'élimination et d'/ncanan/ologie occupent ensuite les chapitres jusqu'à l'arant-dernicr.

Le dernier contient des / onsidéra/ions s//r la définition des courbes gauches algébriques et leur représentation par des matrices.

GendfjiiHjge.lez-Ginid , le 10 septembre 1919.