CHAPITRE I

Les Matrices.

1. La notion de déterminant s'est inirodnito à roecasion^ des équations linéaires L'id(''(' d'écrire

n'a d'abord que la valeur d'une notaiion i)ariiculi''remeut heureuse.

Mais la théorie ne pouvait prendre tout son déveloi)pement tant qu'on ne voyait, dans le tableau de gauche, que h; polynôme qu'on en peut extraire. En d'autres termes, le tableau imaginé pour représenter le polvnome n^h.^ — a.^b^ qui est le déterminant développé, no devient un outil vraiment précieux (jue si l'on sr(b.s/ie7it de le dévelo])per.

A partir de ce moment, lec(mcepi se «lédonble : on considèi'e, d'une part la matrice

et d'autn; pai't le (tétermimtnt 'i^^'i — "\^>i qu'on peut en extraire.

La notion se généralise instantanément; on a le matrice à m lignes et a colonnes, et l'on peut en extraire autant de déterminants à - lignes et colonnes (r -< ra, - <c 11) (ju'i! y a de combinaisons de m lignes - à r et de n coloimes - à -.

Alors on s'aperçoit bientôt nue la matrice n>présente encore autre chose que tous ces déterminants. Qu'on se rapp-dle notamments les laits de géométrie analytique se traduisant par l'r'vanouissement d'un <léterminant ou des déterminants d'une matrice rectangulain.» (trois i)lans ayant une droite commune, (piatre plans ayant un point commun, etc.); ces faits subsistent (|uand on multiplie les éléments d'une ligne ou colonne par un même facteur, bien (jue cette opération, eliectuée sur une matrice générale, altère les déterminants qu'on en extrait.

2. Pour montrer la même cliose sur un exemple plus précis et plus simple, reprenons le tableau

«1 Cl.,

La connaissance de ces quatre nombres et de la place qu'ils occupent entraine celle de toute fonction donnée de ces quatre nombres, en particulier du rapport de tr^ à a.^ divisé par le rapport de Aj à h^ ; et ce résultat demeure inaltéré quand on multiplie une ligne ou une colonne par un même facteui-. Et ceci est le rapport anharmonique de quatre points d'une ponctuelle, dont les deux premiers sont pris pour origines et dont le troisième et le quatrième ont respectivement i)0ur coordonnées liomogènes ft^, a.^ et />,, A^ ; car le rapport anliarmonique est le quotient des rapports de section du 3'' (H du 4*^ relativement aux deux premiers.

Appelons k^ : k., ce rapport anliarmonique :

dou

r/j (I., (ly Â'i /^J

Ainsi la matrice

représente un rap])ort anliarmonique; celui-ci est le rapport dos nombres par lesquels il faut multiplier les éléments de la seconde ligne ou colonne pour que le déterminant s'annule.

3. G. V. Staudt a appelé jet de ([uatre points un groupe de quatre points d'une droite, individualise- au point de vue projectif, en ce sens que deux jets sont équivalents si les groupes de quatre points sont projectifs.

G. Kolm appelle coordonnées homogènes du jet les quantités ky, k^ définies ci-dessus et cette notion se généralise. Ainsi b; jet de cinq points d'une droite, 0, 0', A {a^a.j^ ), B [b^. b.^ ), ■C{Ci, c.^ ) a pour coordonnées homogènes les quantités k^ k.^ k^

telles que les déterminanls à ([uatre éléments extraits de la matrice suivante s'annulent

Par exemple encore, soient cinq points d'an plan, dont trois ■quelconques non alignés; i)renons les trois premiers 0, 0', 0 pour sommets du triangle de référence, et soient a-^^. b^, c^ et «2- ^2- ^2 l*^s coordonnées homogènes des deux derniers ; le jet de ces cinq points est représenté \mv la matrice

et a poiu- coordonnées les quantités A',, A^. /,'.j par lesquelles il faut multijjlier les éléments de la seconde ligne i)Our que les trois déterminants s'annulent. Ainsi, cette même matrice considérée dans le sens des lignes ou des colonnes, représente soit cinq points d'une droite, soit cinq points d'un plan, (l

4. L'exemple précédent se prête à tles extensions immédiates et montre qui! y a intérêt à séparer la notion de matrice de la considération des déterminants (pi'on en peut extraire.

Pour atteindre au dernier terme de l'abstraction, dans l'étude d'une matrice à >)i lignes et /? colonnes, il faut envisager celle-ci comme un symliole comj)ortant la connaissance de 7)în élément et leur arranfiemenl en m lignes de ?i éléments. Conformément à ce qui se fait dans d'autres théories, on convient alors de l'égalité de deux matrices quand elles sont égales terme à terme, ce qui emi)éche, même dans une matrice carrée à moins qu'elle ne soit symétrique, d'intervertir les lignes avec les colonnes. On conviendra d'une addition terme à terme et d'une multiplication analogue à celle des déterminants, mais un peu différente toutefois et en général, non commutative. Nous reviendrons plus loin à ce calcul SYmbolique des matrices.

5. Mais, de l'i'galité et de l'addition svmbolii[ues et conventionelles de deux matrices, résulte qu'une matrice ne peut être

'1) Le lecteur peut s'exercer H prouver i|ue le jet de cIik) points d'un ■plan est aussi le jet des cinq points sur la conique qu'ils déterminent.

nulle que si tous les éléments le sont. Il v a là une contradiction avec un modo d'éci'iture assez usuel, lequel pose parexemple

7 ^ 7 ■* ,-^ Il = 0

pour exprimer que l'on a

et, dans ce cas, tout déterminant obtenu en adjoignant une ligne d'éléments arbitraires est évidemment nul aussi; même l'emarque pour une matrice nulle quelconque ayant moins de colonnes que de lignes et à laquelle on adjoint des colonnes.

Cette contradiction n'est pas bien grave, parce que, le plus souvent, le contexte indique quelle notation est choisie. Si l'on veut toutefois s'affranchir de tout inconvénient, il suffit d'introduire la notion de rang d'une matrice.

Une matrice est dite de j^ing r quand tous les iléterminants à plus de r lignes qu'on en peut extraire sont nuis, un au moins des déterminants à '• lignes étant différent de zéro. Dans l'exemple précédent, on l'crit donc

' bl b; bl ' ^^"^ 1

pour indiquer que tous les éléments ne sont pas nuls, mais

(1) Cuilis, Matrices and Determiiioïds, Cambridge 1913, appelle delerminoï'le la somme des déterminants extraits d'une matrice (à plus de colonnes que de lignes p. ex.) et atlectés de + ou — suivant que les numéros des colonnes utilisées ont une somme impaire ou paire. Ainsi le déterminoïde de la matrice ci-dessus est (ai ^2 — a^ ^i) — («i f>-^ — «3 f>i) + (03^3 — 0362); c'est, visiblement le déterminant obtenu en faisant précéder la matrice d'une ligne d'éléments 1 (ou de plusieurs lignes pareilles'.

En trigonométrie plane, on a. entre les éléments d'un triangle,

si't A sin B sin C

comme exercice on peut l'aire suivre cotte matrice d'une ligne de constantes telles que a^, b^, c'^, ou cos A, cos B. cos C, ou sin- A, sm^ B, sin^C, etc; on a chaq^ie fois un déterminant nul; ces déterminants développés doiuient donc des identités entre éléments du triangle. Remarque ana. logue en frigonojn<'>tri<^ i^phérique.

que les trois déterminants, a^ h-^ — a.,, A^. a^ h ^^ — a^ f\ " i ^'i — "s ^'i sont nuls, 'l

6. Mais ce n'est pas à cette lliéoi'ic abstraite des matrices que nous voulons nous arrêter pour le moment. Nous préférons indiquer d'abord quelques chapitres de géomiHrie où la notation des matrices se montre utile.

Le lien de la théorie avec celle des vecteurs est connu ; les projections du produit vectoriel G = P.X 1'' de deux vecteurs P, P\ sur les axes coordonnés sont les déterminants extraits de la matrice suivante, avec un changement de signe pour le déterminant des colonnes 1 et :>,

où œ, //, z sont les projections coordonnées de P ot ./•', //', :;' celles de P'. (2 '

A ceci se rattache un chapitre considérable de la géométrie de {"espace, où la droite est considérée comme élément.

^'isiblement la droite indéfinie est déterminée par un vecteur ê placé sur la droite et par le moment de ce vecteur relativement à l'origine (3'. Prenons, pour point de départ et extrémité

(1) Lictrcice : on a identiquenieiit. si x, y, 5 ne sont pas tous nuis.

un

xz-

et les déterminants- à (juatre éléments extraits de cette matrice carrée donnent toutes les identités quadratiques en x'^, y'^, :-'^. ay, xz, yz (car une telle identité doit contenir, dans un terme, ou bien [>. ex. x'^ X y'^ et alors elle .se complète par — [xy'^) ; ou bien x'^, t, ~- et elle se complète par — (■ry) {xs) ; quant à x'^ X «2/ il devrait se réduire avec un term^; contenant ■ xr^. etc.

(2) La notation vectorielle est l'objet de nombreux essais de' coordination ; nous prenons ici celle de l'Encyclopédie, t. 1\' : J. Matsau écrit .M P P' et appelle ce produit vectoriel le moment de Ppar P' ; il a été peu suivi à cause de la faible dispersion de ses publications. Pour la liaison (les uec<eur5 avec les q uatey^nio ns xn'ir aussi Encyclop. t. IV.

(3) Voir les passages de l'Encyclop. t. IV où il est question du vecteur ^'lissant; aussi A. Donoulin, Mémoire sur l'application d'une méthode vectorielle à divers i^ystèmes de droites. F^vuxelles, Paris 1894; ./. Massou, •Cinématique, Gand 1913, p. 176.

du vecieur edeux points de coordonnées rectangulaires respectives X, y, z et x', ]/, C-' La connaissance du vecteur ê et de son moment relatif à l'origine équivaut à celle de leurs projections, savoir x' — ./% y' — y, :■' — ^^ et les déterminants extraits de la

matrice

; rc y z ■'■ = ^ X' y' :.' '

ces six quantités, ou coordonnécsdeladroite,sont surabondantes, car la droite, on le sait, dépend de quatre constantes. Mais d'abord si le vecteur (Test remplacé par k"ë, la droite est la même et les six coordonnées sont multipliées ]3ar k, dont il faut connaître seulement les cinq rapports mutuels, et l'on a en réalité un système de coordonnées homogènes. Ensuite on a la relation identique

donc la connaissance de quatre des cinq rapports entraine celle du cinquième.

On donne plus de symétrie à ces formules en introduisant dès l'abord les coordonm-es homogènes x, y, :■, u; x', y', :•', ii' : la droite est donc détinie par les déterminants de la matrice jj. et par les quantités x'ii — xu', y'u — yu', z'a — zu', donc en somme par les six déterminants exti'aiis de

./• y z II

la notation suivante est encore plus commode,

.'/i y-i y-i yi - '

les points x {jc^, x.^, x^, œ^) et y {y^, y.^, y.^, y^ ) sont deux i)oints arbitraires de la droite. On peut aussi définir une droite par deux plans; le principe de dualité fournit donc un nouveau système de coordonnées homogènes de la droite.

7. Les coordonnées homogènes de la droite sont donc les rapports mutuels des six quantités

pih = XI y k — xhyi a, h = i, 2, ;3, 4)

entre lesquelles on a une identité quadratique. Pour établir cetteidentité, observons que deux droites xy, ei zu d'un même plan Y<'rifient la relation

jVc iii Ci u; -= U {i = 1,2, a, 4);

en dtl'vcloppanl ce déterminant par le théorème de Laplace suivant les deux premières colonnes, on a (qik étant les coordonnées de la droite zii),

Pi2 'lu + Pli 'hi + Pli <i%', -^ l'y, 'lu -f Ihi 'In -f Pm <hi = '^ ;

ceci est donc ré'alisé quand les deux droites se coupent. -i!)r, comme toute droite se coupe elle-même, on a

Réciproquement lors(|ue six (piantités jjik, non toutes nulles,, vérifient cette relation, elles définissent une droite, car en faisant y^ =^ i • et //, : //.j : //^ = py, : py^ : p^, on a un point du plan //i, à moins que j'^^j. ^yj,, /;^j ne soient tous nids; comme une des quantités pjik difîère de zéro, on peut toujours trouver deux points définissant la droite dans deux plans coordonnés. H

On fait un pas de plus, et de grande imjiortance en observant ceci : les rap])orls mutuels de six quantités sont les coordonnées liomogènes d"un point dans l'espace à cinq dimensions. Mais tous les points de cet espace ne répondent pas à des droites de l'espace ordinaire, car il faut satisfaire à la relation quadratique (.r). Or ceci, dans l'espace à cinq dimensions est l'équation d'une liypersurface du second degré ou (juadrique. Donc, les droites de V espace o?'dinaire sont rapportées unidéterminaticemeni au.r points d'une quadrique de Vesnace à cititj dimensions, -i

(1 La relation. (.S") entre six déterminants extraits d'une matrice à deux lignes et à quatre colonnes est identique à la relation utilisée dans la théorie des formes binaires, {ah) {cd) -{- {ac) {db) — (ad) (bc) = Q . Nous avons montré \L En-ieiyn^meni rnalhém. 1906 p. 28."5) les rapports de oes formules avec l'identité de Papi)us, le théorème de Ptolémée, etc. — I ne remarque évidente. pik^= — phi a conduit certains auteurs à utiliser, poulies systèmes de droites, une symboliijue où l'échange des indices s'accompagne d'un changement de signe, tandis que la symbolique habituelle des formes algébriiiues «,)-^)" + --> '— («i-'^i +^0 vg -f...)" suppose ain = -|- ohi.

(2J Suivant une communication verbale de A. DemouUu, on peut faire une proje-ti'in sréréoi'Taphi'iue (le cette quadrique: alors on a un espace

Enfin, au lieu des coordonnées Jiomogènes ci-dessus, on peut choisir des fonctions linéaires, indépendantes entre elles, de ces ■coordonnées, donc faire une transformation linéaire dans l'espace à cinq dimensions. Mais alors l'expression de la (juadrique (.3") se transforme et l'on clierclie la transformation la plus intéressante: celle-ci est fournie par la propriété de toute forme quadratique de pouvoir être convertie en une somme de carrés.

8. Au moyen de ces représentations de la droite, on étudie surtout les systèmes triplement infinis de droites ou complexes, représentés chacun par une seule équation ; on les classe suivant leur degn'' n quand cette équation est algébrique; a est \ ordre du cône du complexe de sommet arbitraire, donc le nombre des rayons menés dans un plan t: par un point P, donc aussi la classe de la courbe enveloppée par les rayons du complexe situé dans le plan n; ainsi, pour tout complexe algébrique, l'orrfre est égal à la classe.

Les intersections, totales ou partielles de deux complexes donnent des congruences de rayons ; de trois complexes des surfaces réglées; quatre complexes ont généralement un nombre fini de rayons communs. En particulier quatre complexes linéaires ont en commun deux rayons, à cause de l'identité quadratique,

}>Vi P.n + Pi:. Vil + VuPti == <';

par suite trois complexes linéaires ont on commun un système réglé du second ordre.

Pour une congruence algébrique de droites, Vordre est le nombre de rayons issus d'un point, la classe est le nombre de rayons du système situés dans un plan. Ces deux nombres peuvent difîc'rer : on sait, par exemple, que les bisécantes d'une cubique gauche forment une congruence de rayons d'ordre 1 et de classe :>. (i)

linéaire :\ <|uarre dinieiisions; mais ceci raïuène simplemeiir aux é(juat.ioiis d'une droite x -^ as + p, // ^ bs -|- q, où a. b, p, q sont les coordonnées non homofrènes de la dmite. Les coordonnées homogènes ont l'avantage de la symétrie; aussi leur usage est très fréciuent 5 cf. E. Bertini, Introdnzione alla geonietria degli iperspazi.

(1) Pour la bibliographie des complexes et congruences. v. E. Pascal, Repert. 1*^ étiit. t. II.

\'oici une propriété de deux congruences du premier ordre, 't\ el C3 (1) : elles peuvent toujours être transformées l'une dans l'autre par une transformation birationnoUe. Car soient deux faisceaux de plans projectifs /^ et /^ ; soient -^ et t.^ deux systèmes plans projectifs : un point P^ du premier est sur un rayon r^ de C\ ; le point correspondant P.^ est sur u)i rayon r., de 6'^ (les plans -j et -^ doivent donc être choisis non exceptionnels). On a ainsi une correspondance entre )\ ef 'i\. Uji point Ml de l'espace est dans un plan du faisceau /^ et sur un rayon r^ ; à celui-ci répond un rayon ;\, rpii perce en M.^ le pion de /a l'épondant au plan (/^ M-^^ ), La correspondance {My, M., ) est la transformation cherchée : si M^ décrit r^, M.^ décrit r^.

La portée de ce résultat est de transporter l'étude des congruences de premier ordre dans celle des transformations ; son intérêt pour nous résulte du fait que la transformation peut se représenter par une matrice.

9. Matrices de formes algébriques. — Pour fixer les idées, exprimons par la noialion

que tous les déterminants à neuf éléments extraits de. la matrice jIVi sont nuls. Cela revient à dire qu'il y a une même relation linéaire entre les éléments des quatre colonnes, et un faisceau de relations linéaires entre les éléments des trois lignes.

En prenant pour éléments de la matrice M des formes linéaires ternaires (les premiers membres de 12 équations de droites dans un plan), voyons pour combien de points du plan la matrice JW s'évanouit. Le problème est résolu depuis plus d'un demi-siècle : S. lioberts a clierché même les conditions plus générales pour que n équations linéaires à n -f- k inconnues homogènes aient oo'-' solutions, loisque les coefficients dépendent d'autres variables. Mais sous cette forme la théorie est moins féconde, parce que le système d'équations où les inconnues sont maintenues est moins maniable que la matrice.

(1) Signalée à i:otre attention par une comninuication nianuscrite de L,. Godeux'x.