AV (^ A'.^N

p Z^ = di X, 37, + rf. p ^ + d-i^-^'Ci <Vi,

en calculant ainsi, de deux manières x^ x^-, on obtient

ou encore

(A\ X, - d, X,^y- = (d, X, + d, X,Y (X, X, - m AV) ;

telle est l'équation de la surface B; pour avoir la projection, sur le plan X^, d'une section plane quelconque, remplaçons A"3 par À X^ + 1-^ '^'2 + ~' ^i '■

(A, A, - d, X.ry =^ , {d,X, + ^3 A,)n>AV + l^X.X, + vA, A, - mX,n

et pour avoir cette équation en coordonnées cartésiennes remplaçons A',, A2, A4 par ?/. X, ^x-^^î/-^-{ :

Dans le cas de d.^ non nul, la surface E a une arête cuspidale suivant A, X, et une arête nodale suivant la seconde intersection

d, Al + ^3 A2 = 0, Al A, — d, Xf = 0,

savoir /

d, A, + dg A, = 0, d, d, A, + d., X^ = 0,

et cette seconde droite coïncide avec la première dans le cas de f/j =-=0 ou de l'exception E'.

Dans ce dernier cas, l'équation (p) a la forme

i-(y-d.,x--)- + 2^xy{yy- d,x-) -\- My^ -\- Nx^y- -\~ P xy^ -j- Qy' = 0

et la courbe représentée possède à l'origine un point osc?îodal^ c'est-à-dire un rebroussement où deux branches de courbe sont osculatrices (i). En particulier les plans tangents à cette surface E' contiennent des couples de coniques osculatrices sur la droite cuspidale.

Voici un autre moyen de voir que la courbe (p) possède à l'origine deux branches, simplement tangentes quand d^ n'est

(1) G. Salmo?t. Courbes planes, p. 306.

pas nul et osculatrices dans le cas contraire. Choisissons x pour infiniment petit principal : l'équation (p) j fait correspondre quatre valeurs de y dont deux sont des infiniment petits du second ordre, et les autres supposées finies, ce qui peut être réalisé par un choix convenable de l'axe des y. Des six différences mutuelles de ces valeurs de y, cinq sont finies et une infiniment petite; leur produit est donc aussi infiniment petit et réciproquement, selon que ce produit est infiniment petit du second ou du troisième ordre, il en est de même de la différence des deux valeurs de y. Or le carré du produit des différences est le discriminant, et nous devons constater dans quel cas il est du quatrième ou du sixième ordre infinitésimal.

En écrivant l'équation (p) sous la forme abrégée Ay* -\- ^'f + Cy' -\-Dy ^ E=0, les coefficients A, B, C sont finis, D est du second ordre et 7:;^ du quatrième; le discriminant est, au signe près,

■zc

développons par le théorème de Laplace, d'abord pour les deux premières lignes, puis pour les deux suivantes, et ne prenons chaque fois que le terme d'ordre infinitésimal le moins élevé ; nous trouvons ce résultat du quatrième ordre,

{^AC — 3 B-) [(— 4 C-) iS C£ — 3 D-) — [- 2 CD) ( - 2 CD)]