Passons aux formules (8); elles donnent
a â?!^ + p ^1 iTa + Y {mx-i- + .-573°) + 0 (d/j Xi x.^ -\- d.^ x^ -\- cl^x.^x^) = ICx V.x ;
en égalant terme à terme, il est superflu d'écrire les relations contenant a et ,3, car elles sont toujours vérifiées par des choix convenables de a, j3 qui ne paraissent qu'une fois; donc on peut se restreindre à
11^ v^ = Y m + 0 di, îis V3 = Y, Ui l'g 4- M3 1?! = '^ (h,
des deux premières on déduit, en éliminant y>
W2 V.2, — m % fg = 0 d.^ ;
avec les deux dernières, ceci fournit les rapports mutuels de Dy, v-i, V3, 0, à moins que l'on n'ait
ceci exige, ou bien W3 = 0 avec Wj (d^ u^ — d^u^) = 0; ou bien W3 d.2 — u^d-^^ u^ d., -{- mii^ d^ = 0, ce qui représente la seule droite Wg = M3 = 0, à moins que d^- -\- md.^- ne soit nul et alors les coniques données passent par un au moins des points Xy = 0, i^3 = + i^a X/ m et nous avons exclu ce cas.
Les droites exceptionnelles de la transformation Cremona sont ici rédiiites à deux, savoir u^ ==u^ = 0 et 163 = ^3^1 — d^ u.^ = 0. La transformation même s'exprime par
Vi : v.^ : V3 = [z«^ (^<3 rf, — u.^ d.^) -[- d^ (m./ + mu.^^] : Ui {ù.^ di -f- mu^ d.^) : u^ {u.^ d^ — ii.^ rfg)
Si d^ n'est pas nul, ceci est, à une transformation linéaire près, une semi inversion trilinéaire ; si d^ est nul, c'est une quasi i?iversion (i), car les polynômes du second membre, interprétés en coordonnées ponctuelles représentent trois coniques ayant un contact bi- ou triponctuel.
Sur la droite exceptionnelle x^ =- 0 (ou u.^ = M3 = 0), seule
ck
— mu-i
(1) C Servais, loc cil.
droite exceptionnelle quand d^ est nul, l'involution des points neutres est
les points doubles sont donnés par
4 Y- m + 4 Y ^> d, — 0- rf.j- = 0 ;
les réseaux correspondant aux racines y : '^ de cette équation sont réels, imaginaires ou confondus suivant que md^- ■\- df est positif, négatif ou nul ; toutefois si d^ = 0, les racines sont toujours réelles et l'une est y = 0, les points doubles sont alors ^1^^2 = 0 et x^ = x-^ = 0.
La seconde droite exceptionnelle u.^ = 0, d.^ u^ — d^ 2/^ = 0, distincte de la première seulement si d^ diffère le zéro, a pour équation ponctuelle x^ dj -\- x.^d-^^^O; on en tire x.^ en fonction de Xi et, en remplaçant dans l'équation du système, on n'obtient que des termes en x^- et x^- ; donc la seconde droite exceptionnelle porte une involution dont les points doubles sont le point Xi X.2 et le point de rencontre de la droite exceptionnelle avec le côté x^. Par suite le système n'a qu'un réseau à trois points de base dont deux confondus au sommet Xj^ Xo.
La seconde droite exceptionnelle correspond à un faisceau de droites v que l'on trouve en faisant la substitution de p d^, p d^, 0 à Ui, M3. W3 dans les relations du début de ce paragraphe; ceci donne
P d-i v,^ -= Y m + 0 d,^, 0 = Y, P'h ^3 = '^ di, p d, r^ = 0 d.^,
ou simplement p d^ r.^ =0 d.^, p v-^ = '" ; le sommet de ce faisceau a pour équation
di '^3 — ds v.^ = 0;
il ne se trouve pas sur la droite exceptionnelle, car on devrait avoir 0 — d^ d^ = 0. Donc, dans le cas où d.^ n'est pas nul, le système ici considéré aurait pu être étudié au paragraphe précédent et, comme nous l'avons dit, il se confond avec le système (7) dans l'hypotlièse m = 0.
Pour avoir les coniques du système (8) qui se réduisent à des droites doubles, nous devons considérer les relations
2lc^u.^ = 0 rfj, 2 w, M.j = 0 d^i, u,' — 7n Uf == od.^',
«lies sont vérifiées pour u^ = W3 = 0 ; et en outre pour
^3 u./ — 2 d.^ u.y u.^ — m d.^ u.^~ = 0 ((c?3 diffère de 0) d'où
u, : Mo = ^ ~ — '-—-
puis
U]^ : Uo, = r/] : c/3.
c'est-à-dire pour deux droites réelles ou imaginaires, jamais confondues puisque df -{- m d^- n'est pas nul. En tout donc trois droites doubles.
Et si ^3 = 0, on a, ou bien u.^ = 0 et par suite u, = 0 ; ou bien u.^ = 0, mu.^- == 0 (i^, 2 Wj Wg = 0 d-^, d'où m^ = 0, mz«3 d-^ -j- 2 ^<, rf, == 0; en tout seulement deux droites doubles et elles sont réelles.
90. Considérons enfin les formules (9); elles donnent successivement
a Xy- + 3 x^ x.^ + Y X^' + "' (di Xi x-^ + do x.y^ x.^ + d^ X.^) = Ux Vx, Ui v^ -\- u^Vi = 0 dj, W2 V3 -(- W3 1*2 =^ ^ d.2, u-i v.^ = ô cfg ;
ces relations sont satisfaites, d'abord pour u^ = v-^ = 0 = 0, et alors l'équation du système, réduite à ses trois premiers termes, représente le réseau des couples de droites issues du sommet a?! «72. Donc on doit supposer u^ non nul et l'on aura successivement
-y, = 0 6^3 : Wg, u^ (0 ^3 : M3) -{- W3 Vy = 0 d^, Vi = 0 {d^ u, — rfg Wj) : W3', w^ (-î (i.j : u^) -\- M3 y.2 ~ 5 d.,, z?^ — $ (d, 1^3 — d^ u^) : ic^^,
et finalement
Vj : V2 : V3 = (rfj M3 — d^ u^) : {d., u^ — c/3 Mj) '• d^ W3 ;
ceci est une transformation linéaire en coordonnées tangentielles ; entre deux droites correspondantes Ux ^ u^x^-\- Uo, X2, + M3 ^3 et Vx ^ (dj M3 — fc?3 Ml) a?! -f- ((ij W3 — C^3 M^) ^2 + rfg M3 iCg, on a une relation très simple, car ^3 Ma; — Vœ = 0 est une équation privée du terme en x^, et d.^ Ux -\- vx ^^ 0 est une droite fixe d^ x^ -j- d., x.^ -\- 2 t/3 x-^ = Q; ainsi notre transformation est une homologie harmonique où x^ x^ est le
centre, et la droite fixe rf, œ-i -f- c?2 ^x-g + 2 d^ œ^ est l'axe. Quant aux droites pouvant porter des points neutres ou appartenir à un faisceau de coniques dégénérées, elles passent par le centre d'iiomologie, car les relations m, v^ -f- u^ v, = o d,, Wg Vg + ^^3 v.^ = 0 dg, W3 îjg = ô (^3 ne sont indéterminées en ^*i : 172 : v^ que si teg = 0.
L'involution de points tieuires sur chaque droite issue de iTj a?2 a ses points doubles au centre et sur l'axe d'iiomologie.
Pour avoir les droites doubles, il faut écrire 2 w, u.^ =- 5 c?u 2 Wg Wg = 0 d^, u.j" = 0 d.^, ce qui exige, ou bien u^ = 0. ou bien Ui : W2 : U3 = dj : do : 2 d^ : ainsi les droites doubles sont l'axe d'iiomologie et les rayons issus du centre d'iiomologie.
91. En résumé, les formules (8) dans le cas de d^ non nul, puis de ^3 nul, et les formules (9) constituent trois exceptions
B, E, E" au système de quatre coniques d'un plan ; la première peut aussi se représenter par les expressions (7) où Ion fait m = 0. Rappelons les formules réduites,
Xy x^, x^ x^, x.^, xc + nx.^ x.^ + px^^,
/, x^ x.^, mx.,^ -f ^3-, di x^ Xs -f c?3 ^2' + 0^3 ^2 ^3.
(F) a7iS œ^x,, mx,^ + x^"^, diX^x.^ + d.^a:^'',
(£") Xy^, x^Xi, .r/- d^XyX^ 4- d2^2-^i + d^x^^
Ces formules ne sont pas les plus simples possibles. Ainsi le système (E), sous sa première forme, gagne en simplicité si l'on déplace le côté x^ ; pour rendre en outre cette première forme analogue à la seconde et à des résultats connus» remplaçons x^, x.^, x^ par x^, x^, x^ — {nx^ : 2p); il vient
dans la dernière expression, les termes en x^ x^ se détruisent et, si l'on soustrait encore la jiremière de la seconde et la. troisième de la quatrième, on aboutit à
{E) x^ X,, X2 œs, x^^ x^ 4- 'px.^ ;
on peut même, en affectant les coordonnées de facteurs; convenables, remplacer cette dernière par x.£ + x^-, mais alors
on ne se préoccupe pas de la distinction du réel et del'imaginaire.
De même dans [E') on remplace x^.x.,.x-^ par x^^x.^^ [md^ Xii 2d.,) — x^. ce qui donne
'nid.
xX/-\ y \Z/\ tX .>, fttxJj.y' I l o 7 t/ 1 iX •> y >
ou encore
•zd, 113 1 - ^
en soustrayant la première, multipliée ])ar des facteurs convenables, de la troisième et de la quairième, puis la dernière, multipliée par (m : d.,^ ) de la troisième, on aboutit à
92. Pour vérifier certains résultats précédents, exprimons qu'un point x a même conjugué y pour les quatre coniques
dx'^ Uno^^ Cx' 1 dx' ''
Clx ay = 0, hx by = 0, Cx Cy = 0, dx dy =^ 0
d'où en éliminant les y,
ij (ixcii hxhi CxCi dxdi ii = 0 (ê= 1,2,3);
le premier membre est la ïnairice jacobienne (voir Cmq Eludes) des quatres polynômes donnés. Elle s'annule en général pour six points x et, à cause de la symétrie des formules, on a donc trois couples de points x, y répondant à la question. Ce sont les points doubles des involutions de points neutres, car soient D, U les points doubles d'une telle involution : il y a un réseau de coniques du système touchant en D la droite DD' ; les points D et D' sont conjugués pour toutes les courbes de ce réseau et aussi pour une conique non dégénérée du système tangente à DU en />'. La réciproque résulte du fait qu'il y a en général le même nombre de points conjugués et de points doubles.
lu
Voici maintenant le calcul effectué pour les systèmes exceptionnels E, E', E", les deux premiers sous la forme réduite du :paragraphe précédent :
Xo
tX/^
2px^
se vérifie pour .r^ -=^- .r., = 0, pour x.^ = x, = 0 et pour x, = 0 avec XrT = px-/, donc il y a quatre points conjugués.
X, 0 px.^ x'i 0 2.073 0 2x, px^
s'annule seulement pour
a?! = 57, = 0 et x^^ x^=^Ç) : deux
points conjugués,
0 d^ J7^ 0 ' (il cT, + (^-^î -^2
s'annule pour d^ x^ -f ^3 ^^j + ^c^^ *'3 = 0 ou pour ^^ = x^ on a wwe droite de points plus un point isolé.
93. Le problème faisant l'objet du présent chapitre peut être examiné à un nouveau point de vue. Exprimons algébriquement que les points x et y déterminent, non pas un faisceau mais un réseau de courbes du système oo^ : les deux relations
a ax-" + ? hx- + T ox- + 0 dx- = 0,
a ar + ? by- -h Y ci- + 0 dy^ = 0
ne permettent donc pas de calculer deux des paramètres a, [î, y, 0 en fonctions des deux autres, donc
ax-
ay-
hx''
by"
Cy''
dx^ dy-
Or ceci exprime que les relations,
X^ : A', : X3 : X^ = dx- '. bx" '. Cx' '. dx'
donnent un même système de valeurs aux rapports mutuels des X pour deux systèmes distincts Xy, x.^, x^ et y^, y.^, y.^ des l)aramètres. Et ces dernières relations sont les équations paramétriques d'une surface I, dans l'espace oii X-^. A',, X3, X^ sont coordonnées ponctuelles homogènes, en prenant pour paramètres
les rapports mutuels de a:,, ^^2,^73 ; ainsi notre formule donne les points doubles de la surface -. Il est bien connu que celle-ci est une surface de Steiner, généralement du quatrième ordre à trois droites doubles concourantes; ces droites doubles répondent aux trois droites de ^jofn^5 neutres dans le plan. De plus les formules réduites du cas 2:énéral
x^ x,^ : a'i x-^ : x., x.^ : {d, x^- -\- d. .r./ -j- rf^ x.J^)
donnent facilement l'équation de la surface (et ont été utilisées ■déjà pour cet objet) :
Aux droites du pian des x répondent des coniques sur l"; aux coniques du plan des x, des courbes 64 sur ï; aux coniques du système oo^, des sections planes de i^; aux coniques dégénérées de ce système, des sections tangentes; aux coniques réduites à des droites doubles, des sections touchant ï suivant une conique.
Faisons les calculs pour les exceptions E, E\ E" en commençant par E'\ la plus facile; on a
A', : A^ : A'^ : X, = x^' : XiX.^: x.f : (c/j Xy x.^ -|- d^ x^ x.^ + d.^ x^),
d'où X^- = X, A'3 et la surface de Steiner dégénère en un cône double.
Pour jFnous prendrons les formules (8) parce qu'il suffit d'y faire d^ = 0 pour avoir ensuite K\ nous aurons
P A'i = .r,^ p X, = X, x„ p A^ - mx^- + x.^, P A\ = ri, .r, .r., ~ d^ Xf + d.^ x, x^ ;
'd'où successivement
