La méthode emi)loyée ci-dessus pour étudier le système

03' de coniques ne diffère pas essentiellement du procédé connu

utilisant les coniques conjuguées, S nj m w/, des coniques

données ax-,ba;^,Cx", dœ-. En effet, ces coniques conjuguéesson t définies par la relation

5tll rtu + 2 aj2 <^fl2 + «22 «2-2

et par trois analogues,

"^l]^!] '''' ~ IJ^IJ ^> ll"tj ^•

Les quatre coniques données étant indépendantes entre elles, la matrice des coefficients des relations ci-dessus en c^ij n'est pas nulle ; soit, pour fixer les idées, le déterminant des quatre premières colonnes non nul; alors on peut exprimer «j^, ai., «22, «13 en fonctions de a^s, ass; puis en substituant dans - 'Mj Ui U), on a un faisceau tangentiel de coniques, faisceau dont deux éléments se trouvent respectivement en faisant 723 = 0 et cit33 = 0 dans l'équation du faisceau ou dans les équations qui v conduisent. Donc les quatre tangentes communes à ce faisceau tangentiel annulent la matrice

rtll «12 «22 «13 «23 «33

Cil Cl 2 C22 C'i3 Cn C33

f/ii c?i2 d'-zî d\z dz3 d'il

Ml-' Ui U-2 11^ U\ Uz U-i Ui Ur

Or, si cette matrice est nulle, on a la relation

ur = A On + [J- ^11 + ■■' Cn -\- ~ du

et cinq analogues, d'où en multipliant par x^-, 2œ^œ^,œ/, ..^ on trouve

(ux)- = X ax" + [A bx' + V cx- -\- T. dx~ ;

donc étudier les tangentes communes au faisceau conjugué revient à étudier les coniques du système oo^ qui se réduisent à des droites doubles {uxY' Ceci est un exemple d'un théorème dont l'hypothèse et la thèse consistent à lire une matrice M respectivement dans le sens des lignes ou dans le sens des colonnes.

95. Cela étant appelons A>le déterminant, affecté d'un signe convenable, extrait de la matrice M par suppression de la dernière ligne et des colonnes i, j. Nous avons fait l'hypothèse-

que Z)53 diffère deO. Et nous pouvons écrire le faisceau tangentiel de coniques conjuguées,

((n bu

ou encore

wr (D13-}

dit

Cn dn ur

a\i bi2

dvi

Ul M:;

Cn ~ ^^ C33

par

X Di- ) + Ul Ul (D,6 + X D,5) + Ur {D^i + a D,5)