lii Uj (D40 + X As) + U2 U3 Aô + À Z<3- A

Le discriminant est cubique en X. Dans les systèmes exceptionnels B, E' , E\ on a respectivement deux des droites doubles confondues, les quatre confondues deux à deux, ou trois confondues. Donc, dans le cas E, le discriminant a une racine double, dans le cas J5" une racine triple ; dans le cas E' les coniques ont un double contact.

Représentons en abrégé

A5, 1^25, Au, As

■DiG, Ae, As, Ae et D:,o

le discriminant du faisceau langentiel précédent devient

ri -\- X n 2 ' jj' -j- X p) r

ou développé et divisé par 2,

X3 [(4 mp — n-) r — pq-]

-\~ )2 i;(4 mp' -\- 4 ?n'p -{7 nq — 2 nJi') r — q- p' — 2 pqq']

-\- X [— mr- -{- {nq' + n'q -{- 4 m'p' — n'-) r — pq- — 2 p'qq']

-\- (— vt'r- -\- n'qj^ — p'q''^).

Si ce dernier polynôme s'écrit

a X3 + b l" 4- c X -i- fi,

il a une racine double quand son discriminant est nul ; or, ce discriminant est

ou développé

3(18 abcd — A IP d — 4 rtc^ — 27 «- d^ -f b- c^).

II faut remplacer a', h, c, d par leurs valeurs, puis examiner le rôle spécial de r = D-^^, car le calcul ayant été fait dans l'hypothèse de r non nul, si le discriminant o contient le facteur r, il faut le diviser par r. Or, c'est précisément le cas, car le discriminant o s'évanouit chaque fois que le polynôme A en X a un facteur carré: et, dans l'hypothèse r = 0, A se réduit

D'ailleurs, dans o le terme indépendant de r est

54 (^-pq"-) (- gy - 2pqq') (- V^l" -"^P'IQ') (- P'Q") . 12 ( g)3 (qp' + 2pq'f {-p'q") - 1^ i- P^) i- l'f iPQ' + -P^' — 81 p^-p-q'q' -f 3 q~q'- iqp' + ^pq'f {pr/ + 2 />'{/)- ;

en divisant par 3 q- q'\ le quoiient est

npp'qq' {2pq'4-p'q) {pq'-\-2p'q) 4- {2pq'-{-p'qY {pq' + 2p'qf' - 4 p'q '2 pq -r p'qf - ^ pq' {pq ^ 2 pqf — 27 p'p'-'q^q"

ou encore

(2;)-3ç'-3 A--opp'qq' ^2 p'^-q'-) (2 p^î'"- -4- 23 pp'ç^?' + 2 f'q'') -32py'qq'' - 48 py^^" " 2i pp'^q'q - 4 p\7^ 4p4g-. 2-ïp'pqq'^ - 4Sp'p'-q-q" — 'S'i p p"q'q'

les lermes posiuls sont

4p.,^'4 | Afyp'p'qq" + A p'p'-q-q''

-h lOp'p'qq" 4- 115;}^p"^$Y^ + 10 pp'^q'q'