Voici quelques remarques

Au lieu du procédé de la matrice résultante, Kronecker use d'une méthode un peu difiérente; nous avons indiqué déjà, dans un cliapitre précédent, l'avantage du cliemin que nous avons suivi.

De même pour écliapper à la situation exceptionnelle des cônes projetants, on a recours d'habitude à la substitution de Liouville, de manière à prendre pour sommet du cône un point variable (l). L'exposé ci-dessus montre comment, à notre avis, cette substitution peut être évitée.

On observera aussi que l'élimination d'une coordonnée équivaut à projeter d'un point, les courbes faisant partie d'une variété algébrique composée. La réductibilité du cône, si le sommet est convenablement clioisi, permet la séparation des courbes gauches.

Au lieu d'associer la formule L {x, y) = 0 aux équations Bi = 0, on peut s'exprimer ainsi : bien que les équations H, = 0 n'aient pas de diviseur commun en x, y, z, pour tout système de valeurs qui annule L, les équations /// en c ont une racine commune d'où un point de la courbe gauche. Cette variante, de pure forme, n'a rien d'essentiel.

130. Les calculs à effectuer dans cette théorie étant des éliminations, on aboutit toujours à une matrice. Donc, toute

(1) La substitution de Liouville substitue au plan x = 0 un plan indéterminé ; par élimination de s, on projette sur le plan 5 = 0. d'un point variable de l'infini du plan y = 0. Or pour un point arbitraire de rinfini du plan î/ = 0^on ne peut avoir 00 bisécantes, car soit A un point de la courbe; joignons-le aux centres de projection : la courbe est plane, l'équation de son plan est y ---• const. et le polynôme L {x, y) n'est pas régulier.

■courbe algébrique gauche est représentable, complètement et seule, par une matrice égalée à zéro.

D'ailleurs, si Sj, S.^, S-^, S^ sont les quatre surfaces qui la caractérisent, il est naturel d'écrire

Il Si S.^ iSa ^4 = 0.

On a, dans le présent travail, des exemples de courbes algébriques gauches représentées par une matrice ayant une colonne de plus que son nombre de lignes; — d'autres qui ne peuvent admettre cette représentation, mais qui répondent à une matrice ayant deux colonnes de plus que de lignes.

C'est une question non résolue, de savoir s'il y a des courbes non représentables par cette dernière forme et exigeant trois ■colonnes de plus que de lignes.

Appelons courbe du ni^™® étage une courbe gauche représentable, seule et totalement, par une matrice où le nombre de colonnes dépasse de n unités le nombre de lignes, et non représentable par une matrice où cette différence entre les nombres clc lio:nes et colonnes est inférieure à n.

Alors les développements précédents établissent ces deux théorèmes :

It n'y a pas plus de trois étages de courbes gauches algébriques.

Il existe des com^bes gauches du premier et du second étage .

Il reste indécis s'il existe des courbes du troisième étage. Ce qui peut faire douter, c'est l'exemple de la cubique gauche : bien que définie par trois surfaces circonscrites, elle est du ])remier étage. Il n'est pas impossible que les courbes définies par quatre surfaces soient du second étage; en tout cas, c'est une question à examiner et peut-être une question difficile.

Terminé le 3 juillet lOfi