CHAPITRE XII

Courbes gauches algébriqiies.

124. Il est nécessaire de donner une définition des courbes >auclies algébriques.

Certains auteurs, comme G. Salmon (Géom. anal, à 3 dim.) ont négligé de fournir une définition explicite. Tacitement ils admettent que la courbe gauche est Vinterseciion totale ou partielle de deux surfaces algébriques, et cette définition est donnée explicitement par des auteurs que nous citerons plus loin.

A. Cajley, dans le mémoire célèbre (C. R. de l'Acad. des Se.

Paris t. 54, p. 55) où il expose la représentation par cône et

monoïde, ne donne pas non plus de définition, mais il en admet

une implicite quand il démontra que toute courbe gauche

algébrique d'ordre m est représentable par un cône et une

monoïde. Car voici, en substance, le passage essentiel de sa

démonstration : « on peut faire passer par la courbe une^

« surface ayant pour équation Qw — P = 0, où P et Q sont

« des fonctions homogènes de x, y, z {x, y, z, io sont les

" coordonnées cartésiennes, rendues homogènes, du point),

" des ordres p et p — 1 respectivement, et l'on peut supposer

-^ que p soit égal tout au plus à m — 1 ; en effet, en prenant

{m — 1) m m {m H- 1) „ p = m — 1, l'équation contient \ ^

„ — i = m- — 1 constantes arbitraires et en déterminant •' convenablement 7n- — m -\- l de ces quantités, la surface •^ d'ordre m — 1 passe par m- -- m -|- 1 points de la courbe " d'ordre m, c'est-à-dire que cette surface contient la courbe ^' entière ». Ce raisonnement suppose que toute surface d'ordre m — 1 qui contient (m — l) m -\- l points d'une courbe algébrique d'ordre m la contient tout entière, ce qui est réalisé pour les courbes les plus anciennement connues, comme les-

courbes rationnelles sous forme jDararaétrique, et comme les courbes intersections toiales de deux surfaces; pour ces dernières, la propriété résulte du théorème de Bezout. Tacitement donc A. Cayley défuiit les com^bes gauches algébriques par le théorème de Bezout.

Ceci manque de précision, car on cherche à ranger, dans une même définition, des objets, d'existence problématique, plus ou moins analogues aux courbes connues.

De plus, comme on le sait, l'intersection d'un cône et d'une surface (monoïde) d'ordre m douée d'un point {m — 1) uple se compose d'une courbe et d'un système de droites, car une génératrice du cône coupe encore une fois la surface, sauf si elle est tout entière sur la surface (l).

125. G. H. Halplien (2) énonce la définition suivante: « une courbe algébrique est le lieu d'un point dont les ■» coordonnées rectilignes sont des fonctions algébriques d'une " même variable «.

Voilà délimité avec précision l'objet à étudier, si le mot «fonction algébrique» a un sens précis, ce que nous examinerons bientôt.

Seulement Halphen ne s'appuie, pas sur cette définition, mais bien sur la représentation par cône et monoïde de Cajlej ; il dit, à propos du théorème de Bezout (note de la p. 10) : « dans » Salmon cette proposition est un postulat; en réalité, elle se ^' démontre de bien des manières et elle devient évidente quand ^' on emploie le mode de représentation au moyen des surfaces » monoïdes ». Puis, plus loin (p. 19), après avoir rappelé, sans démonstration, la méthode de Cayley, Halphen ajoute : " toute courbe devenant, par l'adjonction de lignes droites, t: l'intersection complète de deux surfaces, le principe relatif » au nombre des intersections d'une courbe et d'une surface ■» devient évident. » Par malheur, Cayley s'est .servi, nous

(1) E. Pascal, Repert. t. II, p. 585 appelle variété algébrique à k ■dimensions et d'ordre v un espace à k dimensions contenu dans l'espace Rn et tel que tout espace linéaire Rn — k le coupe en ijénéral en k points différents: c'est encore prendj-e le théorème de Bezout ou plutôt le cas particulier relatif aux sections planes.

(2) Journ. Ec. polytechn. 52® cahier 18S2.

venons de le voir, de ce principe même, pour établir sa représentation, et, Halphen tourne dans un cercle vicieux, ou plutôt sa définition n'est qu'apparente et sa classification célèbre s'applique aux courbes définies par le théorème de Bezout, ou plus exactement aux courbes représentées par côno et monoïde(i).

Môme remarque pour E. Picard (2) qui dit : " nous allons •! nous borner aux courbes gauches algébriques : x, y, z sont ^. alors des fonctions algébriques arbitraires d'un paramètre t ^^. Mais E. Picard ne se sert pas de cette définition ; dans ses pp. 348-350 les fonctions pourraient être transcendantes et, à partir de la p. 350, il suit un ancien mémoire de Cayley (Journ. Liouville 1845) qui suppose les courbes définies par le théorème de Bezout.

Dans la représentation par cône et monoïde, la courbe,, avons-nous vu, est, ou bien l'intersection totale de deux surfaces, ou bien l'intersection partielle, le résidu étant constitué par des droites. M. Noether (3i prend pour définition générale explicite des courbes gauches algébriques, l'intersection totale ou partielle de deux surfaces algébriques.

Or, l'intersection totale de deux surfaces se projette, d'un point arbitraire, sur un plan quelconque, suivant une courbe ou un système de courbes dont on obtient facilement l'équaiion p:ir l'élimination d'une variable.

Si la réduction de cette équation est possible, chacune descourbes planes partielles cp est la projection d'une courbe gauche Cg, intersection partielle de deux surfaces données. Chacune de ces courbes gauches a une correspondance unidéterminative avec une courbe plane ; car (4) l'élimination d'une variable entre deux équations est la recherche de la condition pour l'existence d'une racine commune, et l'on sait (voir un chap. antér.) que cette racine commune s'exprime rationnellement au moyen des coeflîîcients des équations; ainsi les

(1) Ceci est aussi le cas pour E. Picard et G. Simart. Théorie des fonct. alg. de 2 var. indép. t. I, p. 212.

(2) Traité d'Analyse, V^ édit. t. I, p. 348.

(3) Journ. f. Math. t. 93.

(4) Le raisonnement qui suit est une simple esquisse. Plus loin, nous le retrouverons avec plus de détail et de précision.

coordonnées des points de Cg sont fonctions rationnelles docelles de Cp Cette propriété peut à son tour être prise pour définition des courbes gauches algébriques; M. Noether l'adopte dans la seconde partie de son mémoire.

Î26. P. Appell et E.Goursat (Fonct.algob.p.433) choisissent cette même définition et posent

où X, Y, Z sont les coordonnées d'un point de la courbe gauche, /, 'f, '^ des fonctions rationnelles, et F{z,iC) = {\ l'équation delà courbe plane d'ordre m (v. aussi Picard-Simart, I, p. 213).

Rapprochons cette définition de celle de G. H. Halphen vue plus haut. Par les relations ci-dessus, X est certainement une fonction algébrique de z, puisque l'on peut éliminer u entre X -= f {z, u) et F (z, u) = 0, ce qui donne un polynôme en X et ^ égalé à zéro, et c'est là ce qui caractérise une fonction algébrique; mais ces fonctions sont à m déterminations, et la courbe gauche établit une correspondance entre les diverses déterminations de A', Y, Z, fonctions algébriques de z. Ainsi une courbe gauche algébrique n'est pas seulement le lieu des points dont les coordonnées sont des fonctions algébriques d'un paramètre, mais des fonctions algébriques dont les déterminations multiples sont associées une à une. Sans doute chaque détermination d'une fonction algébrique de z est une fonction de ? ; mais si l'on veut, sans crainte d'ambiguité, appliquer le terme de fonction algébrique à chacune des déterminations, il est désirable qu'on en fasse la convention expresse.

Lorsque l'on a représenté la courbe gauche par les équations ci-dessus, on doit se demander si réciproquement elle est toujours intersection totale ou partielle de deux surfaces algébriques. La réponse est aisée, car en éliminant z et u entre trois des quatre équations, on a un cylindre X (A, 7) ^ 0 circonscrit à la courbe ; on en a un autre a {X, Z) = 0 en choisissant autrement trois des quatre équations.

Eliminer deux inconnues entre trois équations est une opération qui se définit avec rigueur et s'eflectue par des.

Tûoyens signalés dans nos chapitres précédents. La courbe en général est seulement l'intersection partielle des deux cylindres, car une génératrice du premier perce plusieurs fois le second et ne contient qu'un point de la courbe, puisque l'élimination donne les conditions pour que les trois équations considérées soient satisfaites en général par un seul système de valeurs de js et u. Ces valeurs, on s'en souvient, s'expriment en fonctions rationnelles de Z et F; la substitution dans Z = <]> (j, u) donne la monoïde qui, avec le cylindre a (A', Y) = 0 représente la courbe; mais avec des droites parasites; on est ainsi ramené à la représentation de Cayley. Toutefois, ceci suppose que le cylindre ou, si l'on passe aux coordonnées homogènes, le cône perspectif n'a pas toutes ses génératrices plurisécantes; et un exemple simple, la biquadratique de première espèce, montre que cette exception peut se présenter; il est possible d'y échapper en choisissant bien le sommet du cône, car tous les cônes perspectifs ne peuvent se trouver dans le cas exceptionnel, sans quoi la courbe aurait une double infinité de points : tous les rayons issus d'un point A de la courbe la rencontreraient encore.

Cette remarque achève de montrer que la représentation par cône et monoïde, donc aussi la classification de Halphen, s'appliquent à toutes les courbes intersections totales ou partielles de deux surfaces.

Nous avons indiqué deux cylindres X(X, Y)==0, [x {X, Z) = 0 contenant la courbe gauche, on peut en former un troisième de la même manière. Parfois ces trois surfaces ne suffisent pas à isoler la courbe gauche. La question de savoir quel système de surfaces circonscrites suffit à représenter une courbe gauche, sans, aucun point extérieur, se ramène à la recherche des conditions pour que quatre équations soient satisfaites par un même système de valeurs de z et u. C'est le problème de l'élimination ; il a été résolu pour Kronecker et l'application aux courbes gauches s'énonce : toute courbe gauche algébrique est déterminée par quatre surfaces circonscrites au plus.

Provisoirement, nous ne donnons que l'énoncé ; nous

reviendrons sur la démonstration. Un exemple simple, devenu

classique, d'une courbe gauche ne pouvant pas être représentée

par trois surfaces circonscrites a été donnée par Vahlen (Journ.

f. Math. t. 108).

127. Les llléories de Kronecker donnent au mot élimination toute l'extension possible; par suite elles s'appliquent à des •objets dont les courbes gauches ne sont qu'un cas très particulier; ce sont les variétés algébriques.

Une voTiété algébrique est l'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à un système d'équations algébriques, -dans lesquelles, outre les coordonnées, peuvent figurer des paramètres indéterminés.

On observe immédiatement ceci : il peut se faire que les points satisfaisant à ce système d'équations ne dépendent pas -tous de la variation du même nombre de variables arbitraires, mais se distribuent en diverses totalités dépendant lespcctivement de divers nombres de ces variables arbitraires, autrement dit de diverses dimensions.

Les courbes gauches algébriques sont donc les variétés algébriques à une dimension de l'espace à trois dimensions.

Chacune des variétés partielles vérifiant un système d'équations algébriques est représentable à elle seule par un système d'équations du même type. La chose a été démontrée par L. Kronecker dans un mémoire difficile à lire (Grundzùge einer arithmetischer Théorie... J. f. Math. t. 92); des exposés pius accessibles sont donnés par ,J. Molk, par J. Kônig, etc.^ mais ces ouvrages contiennent tout un corps de doctrine, et leur «tendue jusqu'au passage à utiliser est telle qu'on ne peut songer à les intercaler dans un travail consacré aux courbes -algébriques; c'pst pourquoi les géomètres se contentent d'y renvoyer.

Toutefois, il ne semble pas impossible de donner, en peu de mots, une idée du procédé : soient

Fi {.c, y,z; l, a, v, ...) = 0 (é = 1, 2, ... n)

n équations entières, non homogènes en oc, y, z\ X, ix, v, ... à coeflScients réels ou imaginaires. Les systèmes de valeurs de ^, y> 2; '^, 1-^, '', ... qui les vérifient simultanément peuvent être envisagés de deux manières :

Ou bien toutes les lettres sont des coordonnées, et les équations simultanées représentent des variétés de diverses dimensions dans un espace quelconque. Ou bien l'on ne considère que certaines lettres comme coordonnées cartésiennes.

par exemple œ, y, z, dans l'espace ordinaire donc, et l'onenvisage les systèmes de valeurs de ^r, y, z qui, avec des valeurs convenables des paramètres X, jj., v, ... satisfont aux équations ; ces systèmes se distribuent aussi en variétés, savoir des groupes de points, des courbes, des surfaces ou des familles de surfaces algébriques. La distinction entre variables et paramètres n'est pas essentielle ; elle porte seulement sur l'énoncé des problèmes à résoudre .

On procède à l'étude des variétés par l'élimination des paramètres. Mais on doit d'abord supposer les fonctions Fi sans facteurs multiples, car si l'on a Fi = A^ B? ; tout système de valeurs annulant A^ ou 5? annule A ow B\ donc on ne diminue pas le nombre de ces systèmes de valeurs en remplaçant F, par A.B. En algèbre, la suppression des facteurs multiples n'esD pas réputée accomplie tant qu'elle n'est pas ramenée à un^ nombre fini d'opérations praticables; en géométrie, on se contente habituellement de savoir que l'on représente toutes les variétés algébriques, aussi bien par l'ensemble des systèmes de fonctions sans facteurs multiples que par l'ensemble de tous les systèmes de fonctions.

Pareillement, les polynômes F sont supposés débarassés defacteurs communs; ces facteurs, suivant qu'ils contiennent ou non des paramètres >^, jj-, v, ... s'annulent chacun pour une famille de surfaces ou pour une surface.

128. L'élimination des paramètres s'effectue de proche en proche. On doit éliminer d'abord par exemple X entre toutes les équations données; on a vu dans un chapitre antérieur, comment se fait cette opération. Il ne suffirait pas, comme certains auteurs l'affirment erronément, de combiner les équations deux à deux; car il se peut, dans le cas de trois équations, que F\ et F^ aient un commun diviseur /, F^ et F^ en diviseur g, Fy et F^ un diviseur h sans que les trois polynômes aient un diviseur commun.

Au contraire, la méthode exposée dans un de nos chapitres précédents conduit à une matrice résultante indépendante de À ; celle-ci s'annule quand tous les polynômes ont un facteur commun, au moins du premier ordre.

Au préalable, il est utile de rendre les formes régulières par

rapport à toutes les variables, coordonnées ou paramètres. Ceci présente un double avantage. D'abord des formes régulières n'ont évidemment que des -diviseurs réguliers. Par suite, pour savoir si des polynômes ont un diviseur commun en X, \x, v, ... .'', i/, ;, il suffit de voir si elles en ont un en À. La théorie de la matrice résultante reste applicable si les coefficients contiennent d'autres indéterminées; seulement, lorsque l'on parle de l'évanouissement de la matrice résultante, c'est de l'évanouissement identique qu'il s'agit : dans cette théorie, toutes les égalités sont des identités (par exemple, si un polynôme F se décompose en deux facteurs G, H, il est identique au produit GH).

En second lieu, la matrice résultante fournit les conditions cherchées : et quand ces conditions sont satisfaites, elle donne aussi, comme on l'a vu, le diviseur commun sous forme d'un polynôme en À, à coefficients entiers en a, >, ... œ, y, z. Mais comme une forme régulière n'a que des diviseurs réguliers, ce polynôme en X est divisible par le coefficient de son premier terme; après suppression de ce facteur, on obtient seulement le diviseur commun régulier.

Enfin si la matrice résultante n'est pas identique à zéro, elle s'annule pour certains systèmes de valeurs de a, -i, ... x, y, z; ceux-ci, avec une valeur au moins de À, annulent les polynômes donnés. En particulier, si les déterminants R, extraits de la matrice résultante ont un ou plusieurs facteurs communs, ce que l'on aperçoit en les traitant comme les polynômes Fi, ces facteurs égalés à zéro représentent des surfaces dont les points annulent les F, ; on peut supprimer ces facteurs comme étrangers à la question des courbes gauches. Soient donc

ces polynômes débarassés de leurs facteurs communs. Les mêmes opérations leur font perdre successivement les paramètres [X, V, ...; à chaque étape, on pourra peut-être détacher des variétés qui seront nécessairement des surfaces ou des familles de surfaces.

On arrive ainsi à des polynômes Ht ne contenant que les coordonnées x, y, z et qui peuvent remplaceras formes Fi pour la représentation des courbes gauches et des groupes de points

isolés satisfaisant éventuellement aux relations Fi = 0. Ainsi les courbes gauches envisagées comme des variétés algébriques rentrent dans la définition des intersections totales ou partielles de surfaces et nous pourrions renvoyer à ce que nous en avons dit un peu plus haut. Cependant nous reprendrons ici cet exposé pour le rendre plus précis et pour indiquer les précautions à prendre dans la suite des calculs.

Entre les équations Hi = 0 éliminons c Ceci donne une matrice K, et soient Ki les déterminants qu'on en extrait; ici se fait sentir la distinction entre coordonnées et paramètres, car au lieu de rejeter les facteurs communs aux fonctions K, {œ, y), on portera son attention sur ces facteurs.

Soit L {oc, y) un de ces facteurs irréductibles; rcndons-le régulier et supposons la transformation nécessaire faite dès l'origine. Tout système de valeurs qui annule L satisfait aux équations Hi = 0 avec une valeur de z en général. D'ailleurs, les systèmes {x, y) annulant L ne peuvent pas, avec toute valeur de 3r, annuler les H; car alors L (œ, ij) serait facteur commun des polynômes Ri. En efiet, divisons Hi par L, en ordonnant par rapport à œ, et multipliant le dividende par un facteur qui empêche les fractions au quotient ; on a l'identité

AH, = L ' q -\- r\

les valeurs annulant L, avec toute valeur de z, annulent //,, doncr; ainsi, pour toute valeur de y et de c, les polynômes L et r en x, dont le second de degré inférieur au premier, ont le même nombre de racines; donc le second a ses coefficients nuls, pour tout y et tout z, c'est-à dire que r est identique à zéro.

Cela signifie que l'on est parvenu à une étape où les facteurs, tels que L, donnent des courbes, tandis que les précédentes donnaient des surfaces et familles de surfaces, et la suivante donnera des groupes de points. Cela signifie encore que les seules variétés à deux dimensions sont les surfaces algébriques représentées chacune par une équation entière en x., t/, *. Et si l'on avait opéré dans le plan, on aurait trouvé, pour seules variétés à une dimension, les courbes algébriques planes, ce que nous avons établi d'une autre manière dans un chapitre antérieur.

L'égalité L (ce, i/) = 0 représente un cylindre projetant une ou plusieurs des courbes gauches du système initial : une courbe, si un système arbitraire de œ et y annule les B avec une valeur de c. En tout cas, le système H,=^0, L = 0 représente une ou plusieurs courbes algébriques gauches.

Passons aux coordonnées tétraédriques j?i, œ.^, x-^, x^, en prenant pour sommet x^ x.^ x^ un point arbitraire de l'espace, et regardons x^ comme un paramètre : nous avons la représentation en coordonnées X\,x.i,x^, homogènes du cône perspectif aux courbes considérées, ou de la projection, dans le plan x^, de la courbe gauche ou des courbes gauches considérées. Ceci est une variété à une dimension donc représentable par une seule équation; cette équation reste unique dans toute transformation ultérieure de coordonnées, mais n'est peut-<Hre pas irréductible.

Pour achever de séparer les courbes gauches algébriques, il faut leur donner une correspondance unidéterminative avec une courbe plane irréductible. Supposons, pour fixer les idées, que toute génératrice du cylindre L {x, y) contienne deux points A, B des courbes gauches placées sur ledit cylindre. Formons les cônes perspectifs de sommets A, B, ces deux cônes sont des surfaces en nombre fini et il existedes points extérieurs; prenons un de ces derniers points S pour centre de projection : nous aurons pour la partie de courbe qui contient A, un rayon SA du cône 5 ne contenant qu'un point de la partie de courbe, et de même pour SB; suivant donc que le cône ^' est réductible ou non, la courbe gauche considérée est unique ou non.

La séparation étant terminée, on peut passer à la représentation de chaque courbe c, par cône et monoïdê, comme il est dit plus haut. On peut aussi projeter c de deux centres tels que S; les deux cônes se coupent suivant la courbe c et un résidu d ; car si les cônes avaient une surface commune, le sommet de l'un serait sur l'autre, ce qu'on peut éviter. Un troisième cône pareil S" peut être choisi de manière à ne couper d qu'en des points isolés Pi, P.2, P3, ... Pk ; car si les cônes S, S', S" ont en commun une partie d' de d, soit M un point arbitraire de 0^'; M est sur le cône du sommet S", donc *S" est sur le cône perspectif à c du sommet M; on peut éviter ceci en prenant successivement M sur chacune des courbes gauches algébriques irréductibles, en nombre fini, constituant le résidu d.

Enfin, les cônes perspectifs à c de sommets P,. P2. P3, ... Ph, sont en nombre fini et il existe des points extérieurs à tous ces cônes. Prenons un de ces points pour sommet *S"" d'un quatrième cône; alors on a quatre cônes n'ayant en commun que la courbe c. Rapproclié de l'exemple donné par Vahlen, ceci établit le théorème : toute courbe algéb)vque gauche est représentable par quatre surfaces algébriques circonso^ites au plus.