On iple de
Dans x années le père aura (50+x) et le fils (20+x). La mise
en équation donne 504+x=3(20+x) a=—5
Cette solution convient à l'équation.
Si on applique le principe ($ 28) et si on change dans l'équation le signe des termes contenant l'inconnue, l'équation devient
50—x=3 (20—x) qui donne pour solution æ=5 et le problème doit être interprété de la façon suivante :
Combien d'années y u-t-il que l'âge du père élait le triple de l'âge du fils ?
33. Problème IV.—On a acheté plusieurs mètres d'étoffe pour un certain prix. Si on avait payé le mètre 3 francs de plus et et qu'on eût pris 2 mètres de moins, on aurait payé 54 francs de moins ; tandis que, en payant un mètre 2 francs de moins et en prenant 3 mètres de plus on aurait dépensé 21 francs de plus. On demande le prix du inètre et le nombre de mètres achetés.
La mise en équation du problème donne les équations suivantes : (a+31(y—2)=5y—54| } (a—2)(y+3)=2y +20)
qui donnent pour valeurs =—f y=—24
Ces valeurs satisfont au système I, mais ne conviennent pas à l'énoncé du problème, car on aurait ncheté (—24) mètres qu'on aurat payé (—9) francs le mètre.
Appliquons le principe du $ 28 et changeons le signe des termes qui contiennent les inconnues qui donnent des solutions négatives ; il vient :
(—2+3) (—y—2)= (2) (—y)—541 (—2—2) (—y+3)= (—2) (—y)+21) ou encore (x—3) (y+2)=xy—54 17 (2+2) (y—3)=2y +21) Ce système II résolu donne pour valeurs a=° y=24
te
Ces solutions positives satisfont au problème posé, modifié comme suit :
“ Si on avait payé le mètre ? francs de moins (au lieu de plus) et pris 2 mètres de plus (au lieu de moins) on aurait dépensé 54 francs de moins ; tandis qu'en payant le mètre 2 francs de plus (au lieu de moins) et pris 3 mètres de moins (au lieu de plus) on aurait payé 21 francs de plus” Les solutions négatives z=—9 y=—24 provenaient d'un vice d'ins l’énonce du problème.
82. Problème VII.—Deux courriers partis en même temps de À et B se dirigent vers C distant de A de 120 milles et de Bde 60 milles. A quelle distance de C le premier aura-t-il atteint le second, sachant que leurs vitesses respectives sont 10 milles et 6 milles à l'heure ?
Noit D le point où le premier courrier rattrapera le second.
et appelons x la distance DC.
Les deux courriers partent ensemble de A et B et arrivent ensemble en D. Les temps qu’ils ont mis à parcourir les distances sont donc égaux.
Si E représente l’espace parcouru, V la vitesse et T le temps, on DEN E a: E=VT d'où T=; Le temps mis par le premier courrier est 120—r “ « « second “ 4 GO—x ü Donc = ns = (1) ce qui donne j x= —30 Changeons + en (—x) dans (1), il vient :
10 6 4=30 Et, dès lors, on voit que le ler courrier rattrapera le second à 30 milles au-delà du point C en D’
ce qui donne
35. Conclusion.—L'examen des problèmes ci-dessus permet de conclure que :
Toute solution négative trouvée pour un problème du premier degré indique, soit un vice dans l'énoncé du problème, soit une fausse hypothèse faite en mettant le problème en équation. Pour trouver l'erreur, on reinontera à l'équation primitive, on y changera le signe de l’inconnue pour laquelle on avait trouvé une vnleur négative. On comparera la nonvelle équation à l'équation primitive et on ln traduira en langage ordinaire, ou bien, on en deuuira la faute commise en mettant le problè ne en équation.
35. Problème VIII. —Quel est le nombre de 3 chiftres dont la somme vaut 4; üont le chittre des centaines surpasse de 8 la somme des 2 autres et tel que si on le renverse, il diminne de 693 ?
Soit x le chiffre des centaines, y celui des dizaines ct z celui des unités.
On a successivement les équations suivantes : i | x+y+2=4 1 2=Y+2+8 | 2+10y+100:=24107+1007- 693 ou encore a+ y+5-4 qui donne
Ces valeurs sont les seules qui véritient les équations. Les solutions négatives ne peuvent convenir au problème qui exige des valeurs positives.
‘86. Conclusion —Une solution nésative peut être inauvuise quant au problème ; celui-ci sera impossible, lorsque la nature de la question exige une solution positive et qu'il n'y a pas moyen de s’en rapporter à l’un des cas du K 30.
37. Problème IX.—[Deux mobiles se meuvent depuis un temps indéfini sur une droite avec des vitesses v et 2”. Ils se trouvent simultanément aux points À et A’ dont la distance est d.
Trouver le moment de la rencontre.
La question présente 4 cas Ier cas. Les deux mobiles marchent vers la droite. : Soit x le temps inconnu, — dla distance A’ et R le R :
point de rencontre.
vz-v'ad (1) £e cas. Les deux mobiles marchent vers la gauche. Si R’ est le puint de rencontre, on aura l'équation V'x—Vrz=d (2) de cas. Les mobiles vont à la rencontre l'un de l'autre.
Si R” est le point de rencontre, on a l'équation va+v'z=d (3)
4e cas. Les mobiles s'éloignent l’un de l’autre.
Il est évident qu'ils ne se rencontrent pas ; mais, en désignant par z le temps écoulé depuis leur rencontre entre À et À’, ils auraient fait lun ux et l’autre v'z lorsqu'ils arriveront au nrême moment l'un en À, l’autre en À’ et on aura l'équation vz+v'z=d (4)
Si lon convient de rempiacer par les nombres positifs (4v) et (4°) les vitesses dirigées vers la droite et par les nombres négatifs (—v) et (—v") les vitesses dirigées vers la gauche, les quatre équations peuvent se réduire à l'équation (1).
On obtient donc l'équation unique vr v't=d
et cette formule convient à tous les cas.
38. Conclusion.—L'avantage que l'on retire dé l'introduction des nombres négatifs dans les do..nées d’une question est de réduire à une seule équation qui correspond aux différents cas du problème, et, par suite, de n’avoir à considérer qu’une seule formule pour les résoudre.
89. Dans certaines sciences, par exemple en trigonométrie, en géométrie analytique, on démontre que lc: formules embrassent tous les cas, en adoptant au besoin la convention des nombres négatifs, nuls, ou infinis. Alors l'algèbre suffit pour résoudre une question dans tous les cas, et la discussion a été faite d'avance par le soin qu’on a pris à établir la généralité des problèmes.
