Analyse des équations déterminées

; ; ju rmpRESsION de cet ouvrage était à peine commencée lorsque la mort feuilles, mais aucun ordre pour le tirage n'avait encore été donné.

‘a frappé l’auteur, qui avait entièrement consacré aux sciences les der-

nières années de sa vie. Il a pu jeter les yeux sur les quatre premières

M. Fourier avait formé le projet de publier ses travaux sur l'analyse

alsébrique en deux parties , dont l’une devait comprendre l'Introduction,

é général du sujet, et les deux premiers livres. La deuxième partie, comprenant les cinq derniers livres, aurait été imprimée dans le cours de l’année suivante. Eu jetant un premier coup d’œil sur les nécessaires,

papiers qui nous ont été remis, il nous avait paru que la rédaction de la première partie était entièrement achevée, et € ul ne restait plus qu’à. I Ï q proxim çà

livrer le manuscrit à l'impression. Mais un examen plus attentif a fait avait seulement comme

reconnaître qu'il manquait au second livre les détails annoncés dans les n* 2 et 19, et qui ont pour objet d'apprendre à régler les calculs d’apcet article. Cette rédaction

ation des racines de manière à n’effectuer que des opérations scrits, et l'on y jusqu'à la 32° décim

et à ne déterminer jamais que des chiffres exacts. L'auteur de la racine de l'équation x°

ncé, sur deux feuillets séparés, la rédaction de

a été complétée avec l'aide d'anciens manua ajouté comme exemple le calcul de l’approximation

méritent pas d’être mentionnés.

livre, à la place que l'ordre des matières indiquait : elle commence à a été imprimé conformément à la rédaction préparée par l'auteur. Les

2æ— 5—o, que l’on a portée facilement ale. Cette addition a été intercalée dans le deuxième l'article 24 et finit à l’article 30 inclusivement. Tout le reste de l'ouvrage

légers changements, en fort petit nombre, qu'exigeait l’exactitude ne

A l'égard des livres suivants le travail n’en est pas à beaucoup près aussi avancé. Les matériaux existent à la vérité en grande partie, et Exposé synoptique que l'on publie aujourd'hui fait connaitre d’une

ee :

ij : AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

manière générale le sujet de l’ouvrage et l'ordre que l’on se proposait de suivre. Cet ouvrage peut donc être en quelque sorte restitué, et les recherches qui devaient en former le sujet ne seront point perdues pour les progrès des sciences. Mais quelques soins que l’on puisse yapporter, il manquera toujours aux parties à la rédaction desquelles l'auteur n'aura pas mis lui-même la dernière main, sans parler du mérite du style, cet intérêt qu'un esprit supérieur répand toujours sur un sujet dont il s’est occupé pendant tout le cours de sa vie, et qu’il a approfondi par de longues méditations.

L'examen des questions qu'il était nécessaire de résoudre pour perfectionner l'analyse algébrique sont un des premiers objets qui aient occupé M. Fourier. Les travaux de Viete, d'Harriot, de Descartes, de Newton, et ceux même des grands géomètres qui ont brillé dans le dernier siècle, avaient laissé imparfaite ce qu’on peut nommer la partie pratique de l'algèbre, c’est-à-dire les procédés au moyen desquels on distinguerait avec promptitude et süreté la nature des racines d’une équation, et l’on en obtiendrait une évaluation numérique exacte ou très-approchée. Les difficultés les plus importantes sont aujourd’hui complétement résolues. Au moyen des propositions nouvelles qui ont été découvertes par M. Fourier, on peut employer avec sureté les diverses méthodes d’approximation proposées pour le calcul des racines, et ces méthodes ont reçu tout le développement et la perfection qui étaient à désirer. Nous n’entrerons ici dans aucun détail à ce sujet. La PRÉFACE, l'Ixrropucrion et l'Exposé SYNOPTIQUE, apprendront au lecteur, mieux que nous ne pourrions le faire, la nature et l'étendue de ces recherches, quel est l'esprit dans lequel elles ont été entreprises, et sous quel aspect l’auteur a considéré l'analyse algébrique. Mais nous nous proposons de faire connaître, au moyen des documents certains que nous avons sous les yeux, les diverses époques AUxQUORE les principaux résultats qui sont exposés dans cet ouvrage ont êté obtenus et mis au jour.

Le plus ancien de ces documents est une copie d’un mémoire intitulé Recherches sur l'algèbre. Cette copie est incomplète : il ne reste que les vingt-huit premières pages. L'écrivain avait laissé en blanc, dans plusieurs endroits, la place des signes algébriques qui ont été en partie écrits par M. Fourier. La dernière feuille porte l'attestation suivante, donnée par une personne qui est vivante, et dont l'exactitude et la véracité ne Ray ent être suspectes.

« Je soussigné, ancien professeur de! mathématiques et de physique au collége d res: , certifie que ce mémoire sur l’algèbre, composé de

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. ii) quatorze feuillets que j'ai cotés et paraphés, est écrit (les notes et corrections exceptées) de la main de M. Bonard, ancien professeur de mathématiques. à l’école royale militaire d'Auxerre, décédé en 1819; qu’à mon retour de l’école Normale en 1795, il me le montra, en me parlant avec admiration de son auteur M. Fourier, son ancien élève, qui professait alors l'analyse à l’école Polytechnique, et qui l'avait COMPOSÉ , me dit-il, étant à peine âgé de dix-huit ans; et 1l ajouta qu'une copie plus soignée de cet écrit avait été envoyée à Paris en 1787. Auxerre, le 26 mars 1826. Signé Roux.» La signature de M. Roux est légalisée par M. le maire d'Auxerre.

Nous donnons un extrait de la partie de ce mémoire qui a été conservée®

Article 1%. L'auteur remarque que les équations du premier degré sont résolues par la division numérique ou littérale, les équations binomes par les extractions de racines, et que s'il existe une méthode générale pour la résolution des équations, elle doit être analogue à ces opérations qui n’en seraient que des cas particuliers.

IT. Imperfection des méthodes connues.

III. Examen des méthodes particulières des 2°, 3° et 4° degrés. On se propose dans la résolution des équations du 3°et du /° degré d'exprimer chacune des racines par une suite de radicaux, afin de n'avoir plus qu'à évaluer ces expressions selon les valeurs particulières des coefficients de l'équation donnée; en sorte que tout l’artifice consiste à exprimer les racines de l'équation par certaines fonctions des racines d'équations binomes qui sont censées résolues. On remarque à ce sujet 1° que cet artifice n’est d'aucun usage pour les équations littérales, si ce n’est pour celles du 2° degré, et qu’ainsi si l’on peut trouver une méthode générale pour résoudre ces équations, il faut pour atteindre ce but suivre une route différente; 2° qu’à l'égard des équations numériques, pour que la solution en soit complète, il faut, indépendamment de la solution de ces équations, pouvoir évaluer chacun des radicaux qui composent l'expression des racines : or on peut prouver que cette évaluation suppose la résolution de certaines classes d'équations non moins composées que celle qu'on veut résoudre, et ceci a lieu même dans le 2° degré que l’on regarde comme entièrement résolu. L'auteur entre dans les détails nécessaires pour justifier cette assertion. Il remarque par exemple que l'extraction de la racine carrée du nombre 12345678 suppose la résolution des quatre équations suivantes, x2°—12—0, x°+60%— 334—0, æ?+5007—056—0, et x°+702027—25578— 0, dont la premiere seule

Ca

° iv AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

est binome, et qui sont telles que, résolues à moins d’une unité près, une racine de chacune est un chiffre de la racine cherchée. De plus si l'on voulait appliquer la méthode du 2° degré à l’une de ces équations, on serait conduit à résoudre d’abord toutes celles qui la précèdent, puis elle-même. Cette remarque s'étend à tous les degrés, et en général une simple extraction de racine numérique suppose la résolution d’autant d'équations du même degré qu'il doit y avoir de chiffres à la racine : la première seulement de ces équations est binome, les autres ont tousleurs termes ; et leur racine, qu'il faut obtenir à moins d’une unité près, est un chiffre de la racine cherchée. La nature de ces équations est telle qu'il suffit pour les résoudre de. faire l'essai des neuf premiers nombres. c

IV. En ayant égard aux remarques précédentes, à l'inconvénient des cas irréductibles, qui se présenteraient sans doute dans tous les degrés, aux expressions incommensurables, tandis que les racines ne le sont pas, à la complication des expressions et à la difficulté extrême de résoudre tous les degrés de la même manière, enfin à ce que les formules ne s'appliquent pas aux équations littérales, on est porté à croire que ces moyens sont indirects, et que l'on peut leur en substituer de plus simples et de plus généraux. L'auteur a donc considéré la résolution des équations sous un point de vue différent des méthodes ordinaires, en regardant la résolution des équations numériques de tous les degrés comme une opération arithmétique absolument de la même nature que les extractions de racines, et la résolution des équations littérales comme une question semblable dans tous ses points aux extractions algébriques des racines littérales. Il termine cet article par ces deux remarques: 1° que dans la résolution des équations littérales on doit supposer celle des équations numériques; 2° que pour trouver un chiffre quelconque d’une racine d’une équation numérique on ne peut se dispenser d’éprouver successivement la suite des nombres naturels depuis 1 jusqu’à 9.

Les articles V° et suivants sont consacrés à la résolution des équations littérales. Nous indiquons seulement ici les sommaires de ces articles qui contiennent l'énoncé des principales regles, sans démonstration.