XII. Extraction d’une racine carrée

XII. Équations indéterminées dans lesquelles on suppose lune des variables infinie ou infiniment petite.

La suite du manuscrit traite de la résolution des équations numériques.

L'article XIV contient des remarques sur le théorème de Descartes. L'auteur avance que l'énoncé de ce théorème n’est point borné au seul cas où l'équation a toutes ses racines réelles, et 1l se propose d'établir deux vérités nouvelles. La première consiste en ce que le théorème dont il s’agit doit être entendu de la manière suivante : «1° Quelles que soient les racines d’une équation dont aucun des coefficients n'est zéro, elle ne peut avoir plus de racines positives que de changements de signe, et plus de racines négatives que de permanences. S'il y a moins de racines positives que de variations, et moins de racines négatives que de permanences, celles qui manquent sont imaginaires, en sorte que si l'équation a toutes ses racines réelles, 1l y a autant de racines positives que de variations de signe, et autant de négatives que de permanences. 2° Il ne peut manquer qu'un nombre pair de racines positives et un nombre pair de racines négatives , en sorte qu'une équation qui aurait un nombre impair de permanences ou un nombre impair de variations, aurait dans le premier cas au moins une racine réelle négative et dans le second au moins une racine réelle positive. »

XV. La seconde vérité que l'auteur entreprend d'établir est purement historique : elle consiste en ce que Descartes a connu au moins la première partie de la proposition précédente. Cette assertion est justifiée en montrant que l’on doit attribuer aux expressions employées par ce grand géomètre un sens différent de celui que De Gua leur a prêté.

XVI. L'auteur pense que l’on ne doit pas supposer, comme linsinue De Gua, que Descartes n’ait trouvé son théoreme que par induction. En effet il est possible de déduire de la composition des équations une démonstration purement algébrique de ce théorème.

XVII, Cet article est employé à développer cette démonstration. Elle consiste à prouver que si l’on considère un produit quelconque formé par la multiplication de plusieurs facteurs imaginaires trinomes , et réels binomes positifs ou négatifs, et que l’on multiplie ce produit par un

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nouveau facteur positif, où par un nouveau facteur négatif, la multiplication introduira dans le premier cas au moins une variation de signe de plus, et dans le second cas au moins une permanence de plus; d’où il suit qu’une équation a au moins autant de variations de signe que de racines positives, et au moins autant de permanences de signe que de racines négatives; où bien, conformément à l'énoncé de Descartes, qu’il peut y avoir dans chaque équation autant de racines réelles positives qu'il y a de variations, et autant de racines réelles négatives qu'il y a de’permanences de signes.

XVII. L'auteur explique la formation d’une courbe parabolique dont la description fait connaître la nature des racines d’une équation. On considere l'inconnue x comme une abscisse, et le premier membre de l'équation comme exprimant la valeur d’une ordonnée correspondante y. Les points d'intersection de la courbe avec l'axe donnent les racines réelles positives ou négatives. Il y a toujours au moins autant de racines réelles que la courbe coupe de fois son axe. L'auteur dit ax moins parce qu'il peut arriver que quelques-unes de ces racines coincident en un point multiple. Si le nombre de ces racines égales entre elles est pair, la courbe touche son axe en donnant de part et d'autre du point de contact des ordonnées de même signe; dans le cas contraire la courbe coupera son axe en donnant des ordonnées de signe différent de part et d'autre du point d’intersection. Lorsque la courbe s’approchant de son axe ne parvient pas à le couper, il y a un point de minimum : dans ce cas deux racines sont imaginaires. Il peut arriver aussi que plusieurs racines soient imaginaires sans qu'il y ait dans ces points autre chose qu'une inflexion , ou même sans que la courbure de la ligne parabolique soit altérée par aucune singularité.

XIX. Cet article indique la manière d'appliquer la considération des courbes dont il s’agit à la théoriedes équations. y—x"+pr"—"-+ etc. étant l'équation d’une courbe parabolique » On suppose que cette équation ayant

été différentiée, on en ait tiré successivement les expressions de TE ;

h as cs » eic., et enfin celle de SZ qui sera toujours une constante. Chacun de ces rapports étant regardé comme l’ordonnée d’une courbe dont les abscisses sont les mêmes que celles de l'équation proposée, on imagine que toutes ces courbes sont décrites sur les mêmes axes, en ayant un point commun pour l’origine des abscisses. Cela posé , il existera entre trois quelconques de ces courbes, pourvu qu’elles soient con-

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sécutives, les relations suivantes, 1° Les ordonnées croîtront ou diminueront en faisant croitre l’abscisse correspondante selon qu’à cette même abscisse répondra dans la seconde courbe une ordonnée positive ou négative, Si cette ordonnée de la seconde courbe est zéro, il y aura au point correspondant de la première un maximum ou un minimum, ou, pour parler plus exactement, la tangente sera parallèle aux abscisses. 2° En un point quelconque de la première courbe, la ligne sera convexe ou concave selon que le point correspondant de la troisième appartiendra à une ordonnée positive ou à une ordonnée négative. Si cette dernière ordonnée est zéro , le point considéré de la première courbe est-un point d'inflexion visible ou invisible. Ces principes sont d’une application féconde dans la question présente, parce qu’en vertu de la dépendance réciproque des courbes on peut juger facilement des propriétés de la première courbe en décrivant successivement toutes les autres en commençant par les moins composées.

XX. L'auteur montre que les considérations précédentes font connaître complètement la nature des racines d’une équation du 3° degré qu'il a prise pour exemple.

XXL. Il remarque que dans cette équation la suite des signes des coefficients est telle que la nature des racines est entièrement déterminée, mais qu'il peut arriver, et ce sont les cas les plus fréquents, que cette suite de signes ne soit pas suffisante. On peut être incertain, par exemple, si deux racines sont réelles ou imaginaires, parce que l'on ignore si la courbe, coupera son axe ou si elle feindra seulement de le couper. Il faudrait pour faire cette distinction employer non-seulement les signes, mais:les valeurs des coefficients, ce qui supposerait la résolution des équations, qui est l'objet même de la recherche. On rencontre d'ailleurs des cas, et c’est alors que l’on doit employer la méthode précédente, où certains coefficients étant égaux à zéro, la nature des racines est entièrement connue.

XXII. On remarque que, pour la description de chacune des courbes successives, on ne fait usage que de son ordonnée correspondante à l'origine des abscisses : que cette ordonnée est toujours le produit d’un des coefficients de l'équation par un facteur numérique positif introduit par la différentiation ; enfin que l’on n’emploie que le signe de ce coefficient. D’après cela on se propose cette question : Étant donnée la suite des signes des coefficients d’une équation, trouver dans tous les cas quelle est ou quelle peut être la nature des racines, On décrira donc successivement toutes les courbes, au moyen des deux principes qui ont été

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énoncés précédemment, en commençant par la plus simple, et la dernière indiquera par ses points d'intersection avec l'axe le nombre des racines, soit existantes, soit possibles. En effet dans la description de plusieurs courbes on ignorera si deux racines doivent étre faites réelles ou imaginaires; mais dans ce cas il faut toujours les supposer réelles, afin de connaître le plus grand nombre possible des racines. Au reste il sera toujours facile, par les mêmes moyens, de trouver de quelle manière l'imaginarité des racines de quelques courbes précédentes peut influer sur la nature des racines de la derniere courbe.

XXIIT La solution de la question précédente donne lieu à plusieurs applications. On en déduit immédiatement la démonstration de la pre: mière partie du théorème de Descartes, en premier lieu pour le cas où l'équation proposée n'a pas de racines imaginaires, puis pour toutes les équations. La seconde partie du théorème de Descartes est évidente dans tous les cas où aucun des coefficients n’est zéro. Dans ce dernier cas on trouvera facilement la troisième partie. Lorsqu'il manquera quelques termes dans une équation on appliquera le théorèmé de Descartes de la manière suivante : si le nombre des termes qui manquent est pair, on comparera seulement les deux termes subsistants séparés par ceux qu'on suppose évanouis, €t la combinaison qu'on trouvera entre eux indiquera une seule racine, toutes les autres étant imaginaires; s1 le nombre des termes évanouis est impair, on comparera seulement les termes subsistants qu'ils séparent. Si ces deux termes font une permanence, on n’en conelura aucune racine; s'ils font une variation on en conclura deux racines, l’une positive, Pautre négative. En appliquant Ja régle précédente on parviendra aux propositions connues sur les équations binomes et trinomes. |

XXIV. L'objet de cet article est la recherche des limites des racines d'une équation, recherche qui se réduit toujours à la solution du problème suivant: Deux nombres étant proposés, trouver combien l’'équation a de racines entre ces deux nombres. Les principes précédents peuvent être appliqués de la manière suivante à la recherche dont il s’agit. Supposons qu'on ait reconnu qu'une équation peut avoir cinq racines positives, et qu'on demande combien elle peut avoir de racines entre 0 et un nombre positif, comme 10. Substituant dans la proposée x + 10, on diminuera chaque racine de 10 unités. Admettons maintenant que la transformée ne puisse plus avoir que deux racines positives : on en conclura qu'il peut y avoir trois des racines positives de la proposée entre o et 10. On dit « qu'il peut y avoir », parce qu'il peut arriver que

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quelques-unes de ces racines soient imaginaires, mais elles seront toujours en nombre pair. Ainsi dans l'exemple cité deux des racines entre o et 10 peuvent être imaginaires, mais 1l y en à au moins une qui est réelle. En disant que deux racines peuvent devenir imaginaires entre o et 10, on ne prétend pas d’ailleurs donner des limites aux racines imaginaires, mais énoncer seulement que si ces racines existent elles se trouvent entre o et 10. Au reste il est facile de voir que les racines qui seraient imaginaires ne peuvent être limitées que deux à deux, quatre àquatre, et ainsi de suite. En général si le nombre des racines comprises entre deux limites est pair, on ignore si ces racines sont réelles ou imaginaires; mais si ce nombre est impair, on est assuré qu'entre ces limites il se trouve au moins une racine réelle. Par conséquent pour qu'il n'y ait plus aucun doute sur la nature des racines, il faut ou que chacune d'elles se trouve entre deux limites, ou que, par un moyen quelconque, on soit assuré si celles qu’on ne peut limiter ainsi sont réelles ou imaginaires. En effet, quoique deux racines se trouvent toutes deux entre deux limites tres-rapprochées, on n'en peut pas conclure qu'elles soient imaginaires, parce qu on est toujours censé ignorer si en resserrant ces limites on ne parviendrait pas à séparer les racines. Il faut donc un caractère auquel on puisse reconnaître l’imaginarité de ces racines, et c’est le défaut de ce caractère qui rend entièrement, défectueuse la méthode des cascades. On trouvera deux moyens de s'assurer de l'imaginarité des racines. Au reste cette dernière recherche, en y procédant directement, est peut-être ce qu'il y a ‘de plus difficile dans la question présente. L'auteur termine cet article en annonçant qu’il va passer aux règles pour la résolution des équations numériques, par lesquelles il se propose de trouver les valeurs exactes des racines commensurables, les valeurs des racines irrationnelles aussi approchées qu’on le voudra, enfin de discerner celles des racines qui sont imaginaires. Si ces règles sont bien conçues il faut qu’elles tiennent lieu de la division numérique , de l'extraction des racines de tous les degrés, et surtout qu’elles ne puissent manquer de conduire au but dans tous les cas imaginables. Il suffit d’ailleurs de donner des règles pour les racines positives, parce que les négatives peuvent facilement être rendues positives.

XXV. Cet article est intitulé: Règle pour connaître le nombre de chiffres d’une racine quelconque et le premier de ces chiffres. Nous le copions textuellement. « On substituera x + 1 à la place de l’inconnue en observant de commencer la substitution par les plus hautes puissances de x, de disposer verticalement toutes les parties de chacun des